Esame di Stato 2001
LICEO SCIENTIFICO PNI
Risoluzione del secondo problema
a cura
del Prof. Fernando D’Angelo
PROBLEMA 2
2
Nel piano è assegnata la funzione y  x  a log x  b  con a e b diversi da
zero
a) Si trovino i valori di a e b tali che la curva G grafico della funzione passi
per l’origine degli assi e presenti un minimo assoluto in x = 1;
b) Si studi e si disegni G;
c) Si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati
un’approssimazione della intersezione positiva di G con l’asse x;
d) Si determini l’equazione della curva G’ simmetrica di G rispetto alla retta y
= y (1)
e) Si disegni per i valori di a e b trovati il grafico di y  x 2  a log x  b 
a  R  0
b  R  0
D   b,
y  x 2  a log x  b 
a) Si trovino i valori di a e b tali che la curva G grafico della
funzione passi per l’origine degli assi e presenti un minimo
assoluto in x = 1;
a  0, b  0 non accettabil e
O0,0  G  a log b  0 
a  0,b  1 accettabil e
y  x 2  a log x  1

D   1 ,  


Affinché la
funzione abbia
minimo assoluto è
necessario che
nessun limite
risulti   !!
lim
x 2  a log 1  x   1  a      a  0
x   1
a log 1  x   ?
lim
x 2  a log 1  x   lim x 2 1 

2
x

x   
x    


F.I.    
Calcolo a parte:
lim
x   
log 1  x 

2
x
(H )
1
lim  1  x
x    2 x
1
lim
 0

2 x  1  x 
x   
log 1  x    
2
2
lim
lim
x  a log 1  x  
x 1  a 

2
x

x   
x    


0
y  x 2  a log x  1
D  1,
a0
a
f ' x   2 x 
x 1
a
f ' ' x   2 
x  12
 f ' 1  0


 f ' ' 1  0
a

 2  2  0  a  4

4
 0  ok minimo
2 
2
 1  1
y  x 2  4 log x  1
D  1,
D  1,
y  x 2  4 log x  1
Intersezioni con gli assi
Ponendo f(x)=0 si ha x  4 log x  1  0 e l’interse2
zione grafica x 2  4 log x  1
fornisce i valori
x  0, x   con  di poco superiore a 2
I .P.  (1 , 0)    ,
I.N.   0 , 

2,139098578
Link > METODO DI NEWTON
Limiti interessanti ed eventuali asintoti


lim
x 2  4 log 1  x   1  4    
x   1
x=1 è un asintoto verticale destro
4 log 1  x    
lim
x 2  4 log 1  x   lim x 2 1 

2
x

x   
x    


2
4 log 1  x    

x
 4 log 1  x 
m  lim
lim
x 1 


2
x
x

x   
x    
Pertanto non c’è asintoto obliquo
Derivata prima
4
2  x  1 x  2 
y  2 x 

x 1
x 1
-2

m 1 , 1  4 2  1.77
Derivata seconda
_
-1
+
1



2 x2  2x  3
y 
2
x  1
La derivata seconda è sempre positiva per cui la funzione
è concava verso l’alto
Grafico
e) Si disegni per i valori di a e b trovati il grafico di
y  x 2  a log  x  b 