Proposte didattiche di Gianfranco Arrigo Alta scuola pedagogica, Locarno NRD, Bologna Laboratorio di matematica FIGURE FIGURE FIGURE FIGURE AL LICEO agosto 2002 Indice Modo d’uso del file Geometria in situazione Prima situazione Seconda situazione Terza situazione Modo d’uso del file Dal menu “Presentazione”, attivare “Visualizza presentazione”. Tutte le diapositive sono automatizzate, perciò l’unica azione che deve compiere il visitatore è un semplice clic del mouse per passare da una diapositiva alla prossima. L’indice è un collegamento ipertestuale: basta cliccare su ciò che si desidera vedere. I bottoni verdi conducono all’indice. Geometria in situazione Proposte di laboratorio per il liceo Intenzione didattica «Per geometria non intendo lo studio artificioso di teorema-dimostrazione-c.v.d. che per moltissimo tempo è stato inflitto nel nome di Euclide a ragazzi innocenti: intendo l'uso di figure.» Ian Stewart docente dell'Università di Warwick Prima situazione Fondamenti (prima liceo) Consegna iniziale per gli studenti Di solito sotto il titolo “Fondamenti” trova posto una teoria complessa, rigorosa e difficile da padroneggiare. Non aver paura: le attività che ti proponiamo ti introdurranno in alcune questioni che concernono elementi geometrici basilari come punti, rette e circonferenze in modo da farti scoprire il piacere di ragionare in tutta tranquillità… … senza l'intenzione di intraprendere una costruzione rigorosa e completa della geometria (quella la lasciamo ai matematici), ma con la speranza di farti nascere l'interesse e il piacere di riflettere sui suoi fondamenti. Prima stimolazione: Punti e rette Quante rette passano per un punto A (dato, qualsiasi)? A Quante di queste passano anche per il dato punto B≠A? B Prima stimolazione: Punti e rette Quante rette parallele a una data retta r esistono? Quante di queste hanno una distanza data dalla retta r? r Commento Non sempre gli studenti vedono le due rette equidistanti da r. Seconda stimolazione: circonferenze Quante circonferenze passano per A e B? Dove si situano i loro centri? E se il segmento AB è diametro della circonferenza, quante ne esistono? A . B Commento Nelle risposte si curerà soprattutto la questione dell’asse di una corda. Seconda stimolazione: circonferenze Quante circonferenze di dato centro C esistono? Quante circonferenze di dato raggio r esistono? Quante circonferenze di dato centro C e di dato raggio r esistono? r CC Commento Finisce qui la prima parte, molto semplice anche per dare fiducia a chi ne avesse bisogno. Terza stimolazione: Circonferenze angoli e rette tangenti Dato un angolo a costruisci alcune circonferenze tangenti internamente ai suoi lati. aa . .. . .. C Dove si situano i centri di queste circonferenze? Come puoi usare quest’ultima conoscenza per costruire con precisione una circonferenza tangente ai lati di a? Terza stimolazione: Circonferenze angoli e rette tangenti Quanti angoli formano due rette r,s che s’intersecano in un punto I? Che relazioni esistono fra questi angoli? s s Costruisci alcune circonferenze tangenti alle due rette r, s. Dove si situano i loro centri? r r 180-a a a I 180-a Terza stimolazione: Circonferenze angoli e rette tangenti Il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti a due rette incidenti r,s è la coppia di bisettrici delle rette r,s… s Le due bisettrici sono perpendicolari, infatti: a 180 - a 90 (gradi sessagesimali) 2 2 (180-a)/2 a/2 r Quarta stimolazione: Circonferenze tangenti a tre rette date t Date tre rette r, s, t a due a due non parallele, costruisci tutte le circonferenze tangenti simultaneamente alle tre rette. Quante ne esistono? s . . . . r bisettrici r,t bisettrici s,t Sono esattamente quattro. bisettrici r,s Quarta stimolazione: Circonferenze tangenti a n rette date Commento È sufficiente variare da due a tre il numero delle rette per far sì che quello delle soluzioni passi da infinito a 4: questo fatto di solito stupisce lo studente, troppo abituato alla stimolazione dei problemi di primo grado il cui numero di soluzioni di solito è 1, eccezionalmente 0 oppure infinito. Può essere interessante chiedersi che cosa succede con n rette, per n>3. In generale non vi sono soluzioni, tranne nel caso che formino un poligono circoscrittibile, nel qual caso si ha una sola soluzione. Seconda situazione Quadrilateri inscritti in / circoscritti a un cerchio Guida per l’insegnante Molto spesso ci si interroga su quali siano le conoscenze di geometria piana che ogni studente liceale dovrebbe possedere. Qualunque elenco si stabilisca appare però o troppo carico (e quindi non proponibile) oppure lacunoso. Preferiamo modificare la domanda di fondo in: quali sono le situazioni geometriche più adatte a far acquisire agli studenti una sufficiente abilità operativa in geometria piana? Dopo il lavoro sui fondamenti, proponiamo alcune situazioni che ci paiono interessanti, perché toccano un ampio ventaglio di tematiche geometriche. Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un cerchio I triangoli isosceli hanno gli angoli alla base uguali. 2 a 2 2 2 360Þ 180° a a a 180Þ Condizione di inscrivibilità: la somma di due angoli opposti è un angolo piatto. Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un cerchio Quali particolari quadrilateri sono inscrivibili in un cerchio? Quali trapezi? d a a180 d180 ad180 180 condizioni di inscrittibilità proprietà dei trapezi Conseguenza: d a I trapezi isosceli. Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un cerchio Quali particolari quadrilateri sono inscrivibili in un cerchio? Quali parallelogrammi? a a I rettangoli. 2 a 2 180Þ a 90Þ Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un cerchio Gli unici parallelogrammi inscrivibili in un cerchio sono i rettangoli. Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un cerchio Allora, l’unico rombo inscrivibile in un cerchio è… 90° 90° 90° 90° … il quadrato. Prima stimolazione: quadrilateri inscritti in un cerchio Vi sono aquiloni inscrivibili in un cerchio? a a 180Þ a 90Þ a a … quelli rettangoli. Seconda stimolazione: quadrilateri circoscritti a un cerchio PS QR a b c d P a a PQ SR a d c b b d S b Q d c c R Condizione di circoscrivibilità: PS QR PQ SR Teorema. Un quadrilatero è circoscrivibile a un cerchio se e solo se la somma delle lunghezze dei lati opposti è costante. Seconda stimolazione: quadrilateri circoscritti a un cerchio I trapezi isosceli sono tutti circoscrivibili a un cerchio? a c Condizione di circoscrivibilità: c ab 2 c c b ab 2 Teorema. Un trapezio isoscele è circoscrivibile a un cerchio se e solo se il lato obliquo è la media aritmetica delle due basi. Seconda stimolazione: quadrilateri circoscritti a un cerchio Quali parallelogrammi sono circoscrivibili a un cerchio? b b Condizione di circoscrivibilità: 2a 2b ab Teorema. Se un parallelogrammo è circoscrivibile a un cerchio, allora è un rombo. Terza situazione A scuola da Archimede Consegna iniziale per gli studenti In questa attività potrai calcolare volumi di alcuni solidi usando la sola formula relativa al volume del cilindro, seguendo il geniale “metodo di esaustione” ideato con incredibile intuizione da Archimede di Siracusa (–287…–212) con l'anticipo di quasi due millenni sulla storia della matematica. Gli oggetti matematici di questa incredibile avventura sono: il cilindro, il cono, la semisfera e la “scodella di Archimede”. Prima stimolazione: i solidi di Archimede Ecco i personaggi tutti insieme… …come Archimede li disegnava sulla sabbia. semisfera cilindro scodella Commento Questa figura ha un suo fascino particolare: rappresenta la sintesi suprema della situazione studiata. Inoltre offre alcune semplificazioni tecniche da non sottovalutare. In particolare l'inclinazione di 45˚ delle generatrici di profilo del cono semplifica in modo evidente i calcoli che seguono. Seconda stimolazione: volume del cono Il cono viene approssimato con una pila di cilindri piatti (di altezza Dh) dal più grande (subito sopra la base) al più piccolo (in prossimità del vertice): r r - 3 Dh r - 2 Dh r r – Dh 3 Dh 2 Dh Dh Seconda stimolazione: volume del cono Vn (r - Dh)2 Dh r (r - 2 Dh)2 Dh r - 3 Dh r - 2 Dh r – Dh r 3 Dh 2 Dh (r - 3 Dh)2 Dh Dh (r - i Dh)2 Dh n Vn Dh (r - i Dh) 2 (r - n Dh)2 Dh i1 ( i1 n ) Dh r 2 - 2 r i Dh i2 Dh2 Seconda stimolazione: volume del cono n Vn Dh (r - i Dh) 2 i1 ( i1 ) n Dh r 2 - 2 r i Dh i2 Dh2 n n 2 2 2 Dh n r - 2 r Dh i Dh i i1 i1 r Dh n - 2 r Dh 2 r Poniamo : Dh n 2 n (n 1) 3 n (n 1) (2 n 1) Dh 6 2 Seconda stimolazione: volume del cono Vn r 3 - r3 - r 3 n (n 1) 2 n ( r 3 n (n 1) (2 n 1) 6 n3 ) r3 (2 n3 3 n2 n) r 3 n2 n n2 6 n3 3 1 r 3 1 3 3 r - r 1 2 2 n 6 n n Vcono 3 3 r r r3 - r3 3 3 Terza stimolazione: relazioni fra i volumi Analogamente si può calcolare il volume della semisfera; si ottiene: 2 3 Vsemisfera r 3 Inoltre: Vscodella Vcilindro - Vsemisfera r3 - 2 3 r3 r 3 3 Si osserva che i volumi della scodella e del cono di Archimede sono uguali! Quarta stimolazione: un po’ di storia Quasi due millenni dopo Archimede… … Galileo Galilei (1564-1642), nel suo trattato: “Discorsi e dissertazioni matematiche intorno a due nuove scienze” parla di «una elegante determinazione del volume di un emisfero» dovuta a Luca Valerio (1552-1618), definito «nuovo Archimede dell'età nostra». Si basa sul Principio di Bonaventura Cavalieri (1598-1647), Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, Bologna, 1635). Quarta stimolazione: un po’ di storia y r Piano Sezione di Cavalieri z (z) x 0 A sez. cono (z) (r - z) 2 2 t (z ) r - (r - z) 2 2 t(z) 2 Asez. scodella r 2 - t2 (z) r 2 - r 2 - (r - z) (r - z ) Asez. cono 2 2 CONTINUA © 2002 [email protected]