COORDINATE POLARI
• Sia P ha coordinate cartesiane
( xP , y P )
y
P2
P

yP

O
xP
P1
x
Le coordinate polari di P sono:
  asse x Oˆ P
  OP
1
COORDINATE POLARI
• P ha coordinate cartesiane (1, 1)
y
P2
yP  1
P
 2

4
x P  1 P1

O
x
Le coordinate polari di P sono:

 ,    ( 2 , )
4
2
COORDINATE POLARI
• Esiste la seguente relazione tra le
coordinate polari e cartesiane di un punto:
x   cos
y   sin 
• si osservi che:
 x2y
2
3
PRODOTTO SCALARE
• Si chiama prodotto interno ( o moltiplicazione scalare) tra due
vettori il numero definito da:
n
 x, y   xi yi
i 1
• Si chiama norma euclidea di un vettore il numero definito da:
x 
n
 (x )
i 1
i
2
 x, x 
1/ 2
• La norma (euclidea) di un vettore rappresenta la lunghezza del
vettore.
4
NORMA
• Possono essere definite altri tipi di norma.
• La norma di un vettore è una funzione che soddisfa:
1.
x 0, x 0 x 0
2.
 x   x
3.
x1  x2  x1  x2
  R
x1 , x2
5
PRODOTTO SCALARE
• Si considerino i due vettori :
 4
x 
 2
 1
y 
2
5
4
La lunghezza (la norma euclidea)
dei due vettori è data da:
3
2
y
x  16  4  20
y  1 4  5
1
-4
-2
0
 


2
x
x
4
6
PRODOTTO SCALARE
• Rappresentando le componenti dei 2 vettori in coordinate
polari si ha :
4  20 cos  
x 

2  20 sin  
 1  5 cos  
y 

 2   5 sin  
• Il prodotto scalare dei due vettori diventa:
 x, y 
 20 cos   5 cos   20 sin   5 cos  
 20  5  (cos   cos   sin   sin  ) 
 x  y  cos(   )
7
PRODOTTO SCALARE
• Si noti che il prodotto scalare dei due vettori non nulli:
 4
x 
 2
 1
y 
2
• è nullo in quanto i due vettori sono perpendicolari, per cui
cos(   )  0
8
VETTORI ORTONORMALI
• Dato un qualunque vettore x di norma x si può
*
x
introdurre il vettore normalizzato espresso da:
x
x 
x
*
y
e
si dicono ortonormali se sono
*
*
x
• Due vettori
ortogonali e ciascuno ha norma unitaria.
• Se le colonne (o le righe) di una matrice sono a 2 a 2
ortonormali la matrice è ortogonale.
9
ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI
CORRELAZIONE LINEARE
• Esempio
Si considerino i due vettori x e y costituiti dai prezzi di
chiusura settimanale di 2 titoli nelle ultime n settimane.
Il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie di
prezzi può essere espresso da:
 x  M 1 ( x), y  M 2 ( y ) 
r
x  M 1 ( x)  y  M 2 ( y )
dove M i ( x), i  1,2, rappresenta la media aritmetica dei
prezzi di chiusura del titolo i-esimo.
10
ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI
CORRELAZIONE LINEARE
• Siano dati 2 titoli i cui prezzi di chiusura nelle ultime 4
settimane sono stati:
10
10
11
x 
13
 
14
8
y
9

5





• Il prezzo medio nelle ultime 4 settimane per ciascun
titolo è dato dalla rispettiva media aritmetica
10  11  13  14
M 1 ( x) 
 12
4
10  8  9  5
M 2 ( y) 
8
4
11
ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI
CORRELAZIONE LINEARE
• Per calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra i 2 titoli
è utile costruire i 2 vettori:
10  12  2
11  12   1 
 
x  M 1 ( x)  
13  12   1 

  
14  12  2
10  8  2
8  8  0 
 
y  M 2 ( y)  
9  8   1 

  
5  8   3 
• Per cui si ha:
 x  M 1 ( x), y  M 2 ( y ) 
9
r

 -0,76064
3,162278  3,741657
x  M 1 ( x)  y  M 2 ( y )
12
SPAZI VETTORIALI
Definizione ed esempi
Si considerino 2 insiemi V e K.
Si introducano 2 operazioni:
• “composizione interna” tra elementi di V;
• “composizione esterna” tra elementi di V ed elementi di K.
Esempio 1.
V  M n  e K  R
Composizione interna = somma tra matrici quadrate;
Composizione esterna = prodotto di una matrice per uno
scalare.
13
SPAZI VETTORIALI
Definizione ed esempi
Esempio 2
Sia V l’insieme dei polinomi algebrici di grado al massimo n.
V  pn ( x) e K  R
Composizione interna = somma tra polinomi;
Composizione esterna = prodotto di un polinomio per uno
scalare.
N.B.
Controllare cosa succede se V è l’insieme dei polinomi
algebrici di grado n.
14
SPAZI VETTORIALI
Un vettore x in Fisica è definito come un ente costituito
da un punto di applicazione (O), una direzione (retta
per O e per P) e un verso (da O a P), una lunghezza
(misura di OP).
y
P2
P
OP
yP
O
xP
P1
x
15
SPAZI VETTORIALI
I vettori nella figura che segue
sono equivalenti al vettore x .
y
P2
P
OP
yP
O
xP
P1
x
Da questo momento faremo riferimento ai vettori applicati
nell’origine.
16
SPAZI VETTORIALI
Dati i due vettori x e y si definiscono il vettore somma
e il vettore differenza come i vettori che hanno come
componenti rispettivamente la somma e la differenza
delle componenti di x e di y ; geometricamente sono
le diagonali OQ e PR del parallelogramma OPQRO.
Q
y
P
x
R
y
O
x
17
COMBINAZIONE LINEARE
Sia V uno spazio vettoriale rispetto al campo degli
scalari K. Se W è sottoinsieme di V e W è a sua volta
uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K,
allora si dice che W è sottospazio vettoriale di V.
Dati n elementi (vettori) x1, x2 ,..., xn di uno spazio
vettoriale V ed n scalari 1, 2 ,..., n si definisce
combinazione lineare il vettore di V espresso da :
z  1x1   2 x2  ...   n xn
18
LINEARE INDIPENDENZA
Gli n vettori x1, x2 ,..., xn dello spazio vettoriale V si
dicono linearmente indipendenti se risulta
1x1   2 x2  ...   n xn  0
se e solo se gli n scalari 1, 2 ,..., n sono tutti
contemporaneamente nulli.
Se il vettore nullo si ottiene come combinazione lineare
di n vettori con coefficienti non tutti nulli allora i vettori
si dicono linearmente dipendenti.
19
LINEARE DIPENDENZA
Gli n vettori x1, x2 ,..., xn dello spazio vettoriale V sono
linearmente dipendenti, e supponiamo che 1  0
1x1   2 x2  ...   n xn  0
allora , dividendo per 1 , si ottiene:
2
n
x1   x2  ... 
xn
1
1
ovvero x1 è combinazione lineare degli altri vettori.
20
ESEMPIO DI L.D.
Si analizzi la lineare dipendenza o indipendenza dei
seguenti 3 vettori:
.
 1 
 2 
 0
  2

x1  
 1 


0


 4 

x2  
  2


0


 1 

x3  
 2



1


21
SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D.
Per stabilire la dipendenza o indipendenza lineare dei 3
vettori, occorre determinare le soluzioni del sistema:
1  2 2  0
2  4    0
 1
2
3

 1  2 2  2 3  0

 3  0
22
SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D.
La matrice dei coefficienti:
1
2
A
 1

0
2
4
2
0
0
 1

2

1
1

ha rango 2, quindi il sistema ammette
soluzioni :
1 2 3 T  1
e risulta:
1/ 2
0T
x2  2x1
23
ESEMPIO 2 DI L.D.
Si vuole esprimere il polinomio
p( x)  x 2  4 x  3
come combinazione lineare dei seguenti polinomi:
p (1) ( x)  x 2  2 x  5
p ( 2) ( x)  2 x 2  3 x
p (3) ( x )  x  3
24
GENERATORI E BASI
Dati gli n vettori x1, x2 ,..., xn dello spazio vettoriale V
Sia V * l’insieme delle combinazioni lineari
1x1   2 x2  ...   n xn
V * è un sottospazio vettoriale di V e i vettori
x1
*
x1, x2 ,..., xn sono chiamati generatori di V .
Se h vettori x1, x2 ,..., xh tra gli n generatori sono
linearmente indipendenti lo spazio vettorialeV ** da
*
V
essi generato coincide con
.
I vettori x1, x2 ,..., xh costituiscono una base di V *
25
GENERATORI E BASI
I vettori x1, x2 ,..., xh costituiscono una base di V * .
Il numero h dei vettori della base viene chiamato
dimensione di V * .
Dato un qualunque vettore x  V * esso può essere
scritto come x  1x1   2 x2  ... h xh e i coefficienti
1, 2 ,..., h della combinazione lineare vengono
denominati coordinate (sono uniche!) del vettore x
rispetto alla base x1, x2 ,..., xh .
*
V
Dato lo spazio vettoriale
di dimensione h, esistono
più basi.
26
GENERATORI E BASI
Si considerino 2 basi di V *
v1, v2 ,...,vh
w1, w2 ,..., wh
Un vettore x  V *può essere espresso nelle 2 basi da
x  1v1   2v2  ...   hvh
x  1w1   2 w2  ...   h wh
Ovvero come:
x  B*
x  B
Dove : B  v1 v2 vh 
  1  2 ...  h 
T
B*  w1  w2  wh 
  1 2 ... h 
T
27
GENERATORI E BASI
Uguagliando si ha
B  B*
da cui :
  B1B*
ovvero
  ( B * ) 1 B
1
*
La matrice A  B  B è denominata matrice di
cambiamento di base.
28
ESEMPIO DI GENERATORI E BASI
Si consideri lo spazio vettoriale V dei polinomi algebrici
di grado minore o uguale a 3:
p ( x)  a0 x3  a1x 2  a2 x1  a3
Si considerino i vettori di V :
z1  x
3
z2  x 2
z3  x1
z4  2x1
z5  x 0
Essi sono generatori di V.
Non sono linearmente indipendenti.
I vettori z1, z2 , z3 , z5 sono linearmente indipendenti.
29
BASE CANONICA
Si consideri lo spazio vettoriale V delle matrici quadrate
di ordine 2. Una base è costituita da
Si considerino i vettori di V :
1
e1  
0
0
0
e2  

0
0
1
0
0
e3  
1
0
0
0
e4  
0
0
1
Sono una base per V, detta canonica.
30
ESEMPIO DI CAMBIAMENTO DI BASE
Si considerino i 2 vettori dello spazio vettoriale delle
matrici 2x1:
v
(1)
 3
 
 2
v
( 2)
 2 
 
 3
Si determini la matrice di cambiamento di base rispetto
alla base canonica.
31
TRASFORMAZIONI LINEARI
Dati due spazi vettoriali W e W * si definisce
trasformazione lineare di W in W * ogni funzione tale
che:
• T ( x  y )  T ( x)  T ( y )
• T (kx)  kT ( x)
Nucleo di T, ker(T), l’insieme dei vettori di W che hanno
come immagine il vettore nullo di W * .
Immagine di T, Im(T), l’insieme di vettori di W * che
provengono da vettori di W.
32
ESEMPIO DI T.L.
2
R
Dati i due spazi vettoriali e R si consideri la
trasformazione lineare di R 2 in R :
• T ( x1, x2 )  x1  x2
L’immagine della t.l. è l’insieme R . Il nucleo di T, ker(T),
è l’insieme dei vettori di R 2 che hanno come immagine
il vettore nullo di R , ovvero T ( x1, x2 )  x1  x2  0
Da cui si ricava:
x2   x1
Quindi
ker(T )  ( x1, x1 ); x1  R

33
ESEMPIO DI T.L.
Dati i due spazi vettoriali R ne R si dimostri che la
legge seguente è una trasformazione
lineare :
n
T ( x1, x2 ,..., xn )   xi  u, x 
•
i 1
dove
T
T
u  11 ...1
x  x1 x2 ... xn 
Analogamente si dimostra che la trasformazione che
associa al vettore x la media aritmetica delle
componenti è una trasformazione lineare:
1 n
T ( x1, x2 ,..., xn )   xi
n i 1
34
ESEMPIO DI T.L.
Si determini la trasformazione lineare tra R n e R n che
fa corrispondere ad ogni vettore x il vettore degli
scarti dalla media aritmetica.
•
35
TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE
Si consideri la trasformazione lineare T tra i due spazi
vettoriali W1 e W2 , si può dimostrare il seguente
teorema di rappresentazione:
Se
dim W1  dim Im T  dim ker T
Im T  W2
ker T  0

La trasformazione lineare viene denominata
isomorfismo.
36
EQUAZIONE CARATTERISTICA
L’equazione caratteristica è data da:
det( A  I )  (1)n n   1n 1  ...   n0  0
ovvero:
n  c1n 1  ...  cn  0
Le soluzioni 1, 2 ,...,n vengono denominate
autovalori. Le soluzioni del sistema:
( A  i I ) x  0
vengono denominate autovettori corrispondenti
all’autovalore i .
37
EQUAZIONE CARATTERISTICA
Per l’equazione caratteristica valgono i seguenti
teoremi:
n i

1. Il coefficiente ci della potenza
può essere
n
ottenuto dalla somma degli  i  minori principali di
 
i
(
1
)
ordine i della matrice A moltiplicata per
.
2. Il coefficiente ci della potenza ni può essere
ottenuto dalla somma degli  n  prodotti degli
i
i
autovalori presi i alla volta moltiplicata per (1) .
38
EQUAZIONE CARATTERISTICA
• Si verifichino i teoremi nel caso della matrice:

 1
 6
A  
 7
 3

2
1
36

7

0

2

6

EQUAZIONE CARATTERISTICA
Teorema 3
“Una matrice quadrata ammette l’autovalore
nullo se e solo il determinante è nullo”.
Teorema 4
“Ogni matrice quadrata soddisfa la sua
equazione caratteristica”.
EQUAZIONE CARATTERISTICA
Teorema 5
“Se il rango di una matrice quadrata è r allora
l’autovalore nullo ha molteplicità algebrica
h  n  r ”.
Teorema 6
“Gli autovalori di una matrice triangolare
coincidono con gli elementi della diagonale
principale”.
MOLTEPLICITA’
Teorema 7
“Ad autovalori diversi corrispondono autovettori
linearmente indipendenti”.
hi
Molteplicità algebrica
Molteplicità geometrica g i
Teorema 8
“La molteplicità algebrica hidell’autovalore i è
maggiore o uguale alla moteplicità geometrica g i ”.
MATRICE MODALE
Si definisce matrice modale della matrice A la
matrice le cui colonne sono costituite dagli
autovettori della matrice A”
Teorema 9
“Gli autovalori di una matrice simmetrica sono
reali”
Teorema 10
“La matrice modale di una matrice simmetrica è
ortogonale.”
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Un sistema di equazioni differenziali lineari è:
 
 x1  a11 x1 (t )  a12 x2 (t )  ...  a1n xn (t )  g1 (t )
 
 x2  a21 x1 (t )  a22 x2 (t )  ...  a2 n xn (t )  g 2 (t )

...
 
 x  a x (t )  a x (t )  ...  a x (t )  g (t )
n1 1
n2 2
nn n
n
 n
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Un sistema di equazioni differenziali lineari
omogeneo è:
 
 x1  a11 x1 (t )  a12 x2 (t )  ...  a1n xn (t )
 
 x2  a21 x1 (t )  a22 x2 (t )  ...  a2 n xn (t )

...
 
 x  a x (t )  a x (t )  ...  a x (t )
n1 1
n2 2
nn n
 n
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Esempio 2.
 
 x1  3 x1 (t )  2 x2 (t )  4 x3 (t )

 
 2 x3 (t )
 x2  2 x1 (t )
 
 x3  4 x1 (t )  2 x2 (t )  3 x3 (t )


SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Esempio 3.
 
 x1  x1 (t )

 
 x2   4 x1 (t )  x2 (t )
 
 x3  3 x1 (t )  6 x2 (t )  2 x3 (t )


SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Esempio 4.
 
 x1  9 x1 (t )  9 x2 (t )  4 x3 (t )

 
 x2   3 x1 (t )  7 x2 (t )  x3 (t )
 
 x3   7 x1 (t )  17 x2 (t )  2 x3 (t )

