L’ IPERBOLE x2y21 a2 b2 1 ARGOMENTI TRATTATI 1. L’equazione canonica dell’iperbole 2. Questioni basilari 3. Questioni relative alle rette tangenti 4. Curve deducibili dall’iperbole 5. La funzione omografica 6. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro 7. Proprietà ottica dell’iperbole 2 L’EQUAZIONE CANONICA DELL’IPERBOLE Definizione Si dice iperbole I il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi. Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione canonica dell’iperbole. Siano F1(- c ; 0 ) e F2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della I . Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè: PF1 PF2 2a con a R 0 (*) . Considerat o il triangolo PF1F2 , si ha PF1 PF2 F1F2 , cioè 2a 2c , a c . Riscriviam o analiticam ente la relazione(*): x c2 y2 x c2 y2 2a , ossia: x c2 y2 2a x c2 y2 . Elevandoal quadratosi ha : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x c 2 cx y 4 a x c 2 cx y 4 a x c y ; 4cx 4a 4 a x c y ; 2 2 c x a 2 a cx a x a c 2 a cx a y ; a x c x a y a a c ; c a x a y a c a . 2 2 2 2 4 22 2 2 2 cx a a x c y ; elevando ancora otteniamo : c x a 2 a cx a x c 2 cx y ; 2 2 2 4 22 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 4 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3 22 2 22 Poichè a c , è sicurament e c a 0 , quindi possiamo porre b c a con b R e scive : 0 2 22 22 2 2 2 b x a y a b , infine , poichè a 0 e b 0 , possiamo dividere per a b : 22 x y 1 ,equazione canonica dell' iperbole con i fuoch sull' asse .x 22 a b Analogamen tesipuò dimostrare che, se i fuochi appartengo no all' asse delle y, ponendo PF PF 2 b, con b R 1 2 0 2 e c2b a2, con c R b, siottiene : 0 ec 2 x2 y 2 1 , a2 b equazione canonica dell' iperbole con i fuochi sull' asse y. 4 Rappresent azionegraficadell'iperbole Fuochisull'asse x Ricordiamoche a R0 , b R0 . x2 y2 1 Intersezio ne asse x: a 2 b2 x2 a 2 ; x a . y 0 x2 y2 1 Intersezio ne asse y : a 2 b2 y2 b2 , nessunasol. x 0 I punti A1 a ; 0 e A2 a ; 0 si chiamanoverticidell'iperbole, l'asse x si chiamaasse trasvers o e l'asse y asse non trasv erso. In partcolarei segmentiA1A2 e B1B2 si chiamanoancora rispettiva menteasse trasvers o e asse non trasv erso. Cerchiamo gli insiemi d' appartenen za di e y x : 2 2 2 y x x b 22 22 1 ; y b 1 ;y x a x a 0 ,cioè a x a .x 2 2 2 a b a a 2 2 2 x y y a2 2 22 1 ; a 1 x ; b x y b y 0 , y R . 2 2 2 b a b b 5 Rappresent azionegraficadell'iperbole Fuochisull'asse y Ricordiamoche a R0 , b R0 . x2 y2 1 Intersezio ne asse x: a 2 b2 x2 a 2 , nessunasol. y 0 x2 y2 1 Intersezio ne asse y : a 2 b2 y2 b2 , y b. x 0 I punti B10 ; b e B2 0 ; b si chiamanoverticidell'iperbole, l'asse y si chiamaasse trasvers o e l'asse x asse non trasv erso. In partcolarei segmentiB1B2 e A1A2 si chiamanoancora rispettiva menteasse trasvers o e asse non trasv erso. Cerchiamo gli insiemi d' appartenen za di e y x : 2 2 2 y x x b 22 22 1 ; y b 1 ; y x a x a 0 , x R . 2 2 2 a b a a 2 2 2 x y y a 22 22 1 ; a 1 x ; b x y y b 0 ,cioè y b y b . 2 2 2 b a b b 6 Osservazioni e altre definizioni a. Gli insiemi d’appartenenza di x e y indicano che l’iperbole è una curva illimitata, cioè le coordinate dei suoi punti possono assumere valori comunque grandi. b. L’iperbole è una curva che ha due asintoti di equazione y = ± (b/a)x . c. Per tracciare il grafico è conveniente tracciare il rettangolo come in figura, avente i lati lunghi 2a e 2b, i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) e le diagonali appartenenti agli asintoti. d. Il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c . e. Simmetrie nell’iperbole con equazione canonica: F(-x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0); F(-x;y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ; F(x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x . f. Considerazione sul grafico per ricordare la relazione c2 – a2 = b2 oppure c2 = a2 + b2 : applicare il teorema di Pitagora sul triangolo OA2H. g. Coordinate dei fuochi di un’iperbole di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(-c ; 0), F2(c ; 0), oppure F1(0 ;-c ), F2(0 ; c). h. Se a = b l’iperbole si dice equilatera; il rettangolo del punto ‘c’ diventa un quadrato e gli asintoti hanno equazione y = ± x . i. Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la distanza fra i vertici di un’iperbole è detto eccentricità: c a2b2 dis tan za focale e . lunghezza dell' asse trasvers o 7 Fuochisull'asse x 2c c e , con e 1 (c a) . 2a a Per comprender e il significat o geometrico dell'eccentrici tà, fissiamo il valore di 'a' e consideria moi duecasilimite : e 1 se c a2 b2 a , cioèper b 0: i fuochicoincidono coni verticie l'iperbole degenera nelle duesemirette conoriginei vertici. e se c , quindiancheb : i fuochisi allontanan o daiverticie aumenta l'apertura dei ramidell'iperbole. Fuochi sull' asse y 2 c c e , con e 1 (c b) . 2 b b Seguono consideraz ioni geometrich e analoghe al caso precedente : fissare ' b' e conside e i due casi limi 8 QUESTIONI BASILARI 1. Date le seguenti equazioni canoniche di iperboli, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’asse trasverso, l’eccentricità, gli asintoti. 2 2 x y 1 ; 1616 a. a b 4 ; a b , iperbole equilatera ; 2 i fuochi sitrovano sull' asse ; xc a2 b 42. 4;0;A ; fuochi vertic iA 4 ;0 F 42;0; F 1 2 1 242;0; asse trasvers oA A 8 ; 1 2 c 42 eccentrici tàe 2; a 4 b asintoti y x ; y x . Per ilgrafico tracciar eilrettangolo . a 2 2 2 2 b.y 4x 1 0 ; 4x y 1 ; ifuochi sono sull' asse y ;a 1 2 ;b 1 ; 2 2 c a b52 . 0 ;B 0 ; fuochi vertici B ; 1 ;1 F ; 52 ;F ; 52 ; 1 2 10 20 c 5 asse trasverso B B 2 ; eccentrici tà e 1,12 ; 1 2 b 2 asintoti y 2 x . Per il grafico tracciare il rettangolo . 9 1. Dato il fascio di curve di equazione: kx 2 + (2 - 3k )y2 = 1 , con k R - {0 ; 2/3}, determinare per quali valori di k l’equazione rappresenta: a) b) c) d) e) un’ellisse ; una circonferenza ; un’iperbole con i fuochi sull’asse x ; un’iperbole con i fuochi sull’asse y ; un’iperbole equilatera. x2 y2 Riscrivi l'equazione del fascio nella seguente forma canonica : 1, 1k 123k x2 y2 quindi esegui un confronto con leequazioni 1: a2 b2 1k0 k0 a)per avere un' ellisse : ; 0k2/3 ; 123 k0 k2/3 b)per avere una circonfere nza : 1k123 k; k2-3k ; k1/2 ; 1k0 k0 c)per avere un' iperbole con i fuochi sull' asse x : ; k2/3 ; 123 k0 k2/3 1k0 k0 d)per avere un' iperbole con i fuochi sull' asse y: ; k0; 123 k0 k2/3 e)per avere un' iperbole equilatera : 1k 123k; k23k ; k1. 10 3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di un’iperbole. Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’iperbole significa determinare i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio: • • • • • conosco a o b o b/a (coordinate dei vertici o lunghezza del semiasse trasverso o equazione asintoti) conosco c (coordinate dei fuochi) passaggio per un dato punto P(xp ; yp) (xp)2 /a2 - (yp)2 / b2 = ± 1 conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q vedi Iperbole tangente ad una retta . 3 .a Determina l' equazione dell' iperbole riferita ai suoi assi di simmetria , con fuoco F 5 epassante 20; per ilpunto P 2;23. 2 12 1 (passaggio per P) a 1 2 2 ;... a4 9 a2 10 0 ; ; a b b 2 2 2 2 2 2 5 a b ( c a b ) 2 y x 1 equazione canonica . 4 2 3.b Determina l' equazione dell' iperbole avente come asse focale l' asse x , passante per P(5;3/4) eavente 1 come asintoti le rette y x . 4 25 9 2 1 (passaggio per P) 2 a 4 x a2 16 b 2 ; ... ; y 1 equazione canonica . 1 b b b 1 16 x, equaz. asintoti y 4 a a 11 12 QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI Analizziamo questi due problemi: 1. 2. determinare le equazioni delle rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto di note coordinate; determinare l’equazione dell’iperbole tangente ad una retta di nota equazione. 1. Rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto P Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento. Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene all’iperbole. Esempi a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x 2 - 9y2 = 9 e parallele alla bisettrice del 2° e 4° quadrante. Metodo del discrimina nte nullo 2 2 x 9 y 9 Δ2 2 2 2 ... 8 x 18 q x 9 q 9 0 ; 81 q 72 q 72 0 ;q 2 2 1,2 4 y x q Rette tangenti in P :y x 2 2 . 13 a. Determina l’equazione della retta tangente all’iperbole di equaz. 16x 2 - 3y2 = 1 nel suo punto A, del secondo quadrante, di ascissa -1/2 . Metodo delle " formule di sdoppiamen to" 16 2 2 Determino l' ordinata di A : 3 y 1 ;y 1 ;y 1 ; A 4 1 A ; 1 2 2 2 1 6x 3 y 1 1 applico le formule di sdoppiamen to :16x - 3y 1 ;r etta polare e tangente :8 x 3y 1 0 . 2 a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x 2 - 4y2 = 9 , condotte dal punto P(9/5;0). Verifico se P appartiene all’iperbole: 81/ 25 9 P non appartiene all’iperbole, quindi posso avere due soluzioni. Metodo delle " formule di sdoppiamen to" 9 P 0 ; 5 2 x 4 y 9 2 9 applico le formule di sdoppiamen to : 9 ; x r etta polare : 5 x . 5 x 5 ;T D etermino le coordinate dei punti ditangenza T e T : ;y 2 ;T 5 ; 2 5 ; 2 1 2 1 2 2 2 x 4 y 9 2 5 5 9 9 Determino le equaz. delle tangenti PT PT : y m x - ; m ; y x . 1e 2 1,2 1,2 5 9/5 8 8 8 5 14 Grafici relativi agli esempi 1a, 1b, 1c 15 2. Iperbole tangente ad una retta di nota equazione Esempio Deter mina l'equazione dell'iperbole x2 y2 1, cheha un vertice a2 b2 di coordinate V2 2; 0 ed è tangente del tipo allarettadi equazione 2x- 3y - 2 0. a 2 2 x y2 2 2 1 0 b a 2x- 3y - 2 0 a 2 2 x 1 2 By 1 , con B 2 4 b 3 x y 1 2 2 3 y 2 1 2 By 1 ; 2 4 2 9y 12 y 4 2 3 2 2 4 y By 1 ; ... 9 16B 12 y 12 0 ; 36 12 9 16B 0... B b . 16 4 4 3 a 2 2 x 32 Conclusion e : 23; equazione dell' iperbole : y 1 . 44 b 3 16 CURVE DEDUCIBILI DALL’ IPERBOLE Esplicitando l’equazione di secondo grado x2/a2 - y2/b2 = ± 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono otto equazioni, quattro per i fuochi sull’asse x e quattro per i fuochi sull’asse y, con coppie di equazioni del tipo 1, 2, 3, 4, scritte sotto. Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiiperboli. a ) Fuochi sull' asse x b a 2 2 2 2 Grafici delle equazioni y x a , con -a x a , e x b y x , y R . a b (1) (2) 17 b) Fuochi sull' asse y b a 22 22 Grafici delle equazioni y x a , x R ;x y b ,con y b y b . a b (3) (4) 18 Esempi. x y24 Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate. 1. y 1 x2 ; questa equazione equivale al sistema 4 2 2 x2 x 2 y 1 y2 1 a 2, b1 4 4 y0; xR; y 0 ; x R ; x2 dove y2 1 è l'equazione di un' iperbole 4 di vertici V30;-1, V40;1; y0è il semipiano chesi trova "sopra" l'assex, compresi i punti di ordionata y0. 2. x y24; questa equazione equivale alsistema x2 y2 1 ab2 4 4 x0; y-2 y2; x2 y2 dove 1 è l'equazione diun' iperbole equilat. 4 4 di vertici V 0;-2, V 0;2; 3 4 x 0èilsemipiano che si trova "a sinistra" dell' asse y, compresi i punti diascissa x 0. 19 2 2 2 x y 16 x 2 y 27 0 (*) x 3 .y 2 4 x 7 1 ;questa equazione equivale al sistema 4 y 1 ; 2 x x 1 4(Radicando 0) Classifich iamo la conica (*) : 1 0 8 0 1 1 28 64 92 0 ,conica non degenere; 1 0 èun' iperbole 8 1 27 manca il termine in 'xy' assi di simm. non ruotati rispetto al sistema di riferiment o. x Ricerca del centro di simmetria C ;y traslazi one : 0 0 , mediante x x x T 0 x 2 y 2 16 x 2 y 27 x y x y 0 T 0 T 0 T 0 T 0 y y y T 0 2 2 2 2 2 x y ...T x y x 16 2 y 2 x y 16 x 2 y 27 0 . T 0 T 0 T 0 0 0 0 Perl'iperbole non ruotata e centrata nell' origine delriferiment o, i termini diprimo grado in'x'e 'y'devono essere nulli , . quindi 0x 8 e y0 1, cioèC8;1 Ricerca deivertici : y1 y1 2 2 14 x2y270 x2 e x x y 16 28;1. quindi , i vertici sono :V 1 2;1 , V 20 LA FUNZIONE OMOGRAFICA 1. Iperbole equilatera riferita agli asintoti L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria è x2 - y2 = a2 . Mediante una rotazione del sistema di riferimento di un angolo = ± 45° , gli asintoti diventano i nuovi assi cartesiani e l’equazione dell’iperbole diventa xy = k (*) , con k R0 , x0 e y0 . (Vedi i grafici in coda al capitolo) k L 'equazione *, puo essere anche scritta : y ; questa èla particolar efunzione omografica x con centro di simmetria coincident econ l' origine del riferiment o. 2 2 2 Ricaviamo la *. Nel vecchio riferiment oabbiamo -x y a ; V V 2 x x y v 2 n n 1.effettuiam ouna rotazione 45 : 2 y x y v n n 2 1 2 x y 2 x y 2 a , n n n n 2 2 a 12 2 1 2 2 2 2 x y 2 xy x y 2 xy a ; 4 x y a ; x y n n n n . n n n n n n n n 2 2 2 21 2 x x y v 2 n n 2.effettuiam ouna rotazione 45 : 2 y x y v n n 2 1 x y 2x y 2a2, n n n n 2 2 a 1 2 1 x y2 2x y x2 y2 2x y a2 ; 4xnyn a2 ; xnyn . n n n n n n n n 2 2 2 a2 Conclusion e: ponendo k , con k R e, 0 , si hax ny n k einparticolar 2 a2 se k 0, ilgrafico si trova nel 1 e3 quadrante; 2 a2 se k 0, ilgrafico si trova nel 2 e4 quadrante. 2 Osservazioni 1. L’equazione xy = k , ovvero y = k/x , indica che fra le variabili x e y c’è proporzionalità inversa e k è la costante di proporzionalità. 2. Gli assi di simmetria dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti sono le bisettrici dei quadranti e quindi i fuochi e i vertici appartengono a tali rette. Le coordinate dei vertici reali sono le soluzioni del sistema: xy k se k 0 x y k ;A k ; k ; A k ;k 1 2 y x xy k se k 0 x y k ;A k ; k ; A k ; k 1 2 y x 22 Le coordinate dei fuochi sono: ; A 2k; 2k F 2 k; 2 k sek 0 , F ; 2 k; F ; 2 k 1 2k 2 2k sek 0 , 1 2 Per ottenere queste coordinate , basta ricordare che a2 . A O a , F O c 2 a , a 2 k k 1,2 1,2 2 Esempio Descrivi , disegna e ricava l'equazione canonica della conica diequazione xy 4. E'un' iperbole equilatera riferita agliasintoti, cioè unafunzione omografica centrata nell' origine; haperassetrasvers o la retta y x, inoltre k4, quindi A12;2, A22;2, F1 8; 8 , F2 8; 8 , a 2k 2 2, e l'equazione canonica è 2xy2 8. 23 24 2. Iperbole equilatera traslata – funzione omografica traslata Mediante una traslazione del sistema di riferimento dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti si ottiene l’equazione della funzione omografica che ha per grafico una curva non centrata nell’origine: xvyv k yn ax n b cx n d Dimostrazi one x v x n effettuiam o la traslazi one . y y n v Sostituend o nell' equazione x v y v k si ottiene x n y n k , x n y n x n y n k , x n y n x n k , y moltiplica ndo numeratore si ottiene y x n k , xn e denominato re per c R 0 c x n c k , quindi fatte le cx n c d c (*) , a c ax b yn n . cx n d a c assegnazio ni b c k d c si ottiene l' equazione cercata : 25 axb ( da questopuntotrascuriam o i pedici'n') . cxd 1. Il precedente sistema (*) fornisce le coordinate del centrodi simmetria C nel nuovoriferiment o, Analisidell' equazioney d a d a C(;) C- ; e le equazioni degliasintoti x - , y . c c c c 2. L'equazione rappresent a un'iperbole se a b a. c 0. Infattise c 0 e d 0 l'equazione diventa : y x , cheè unaretta. d d b. a b ad- bc 0. Infattise ad- bc 0, a/c b/d , conR0 , allorasi ha anche c d cxd , cxd y , conx -d/c, cioèunarettaparallela all'assex, privata del puntoP(-d/c ;) . che a c , b d e axb cxd, e l'equazione diventay EsempioDatoil fasciodi funzioni di equazioney k -1x 2 , determina : kx4 a. perqualivaloridi k l'equazione rappresent a iperboli equilatere ; b. le coordinate dei puntibase(punticomuni a tuttele curve) ; c. il luogogeometrico dei centridi simmetria. a. c 0 k 0; perk 0 si ha la retta y x/4-1/2. a b k 1 2 4k 42k 0 ; k 2/3; perk 2/3 si ha y 2/3-1x 2 ; c d k 4 (2/ 3)x 4 26 - x - 6 1 retta y - privatadel puntoP(6; -1/2). 2x - 6 2 Conclusine : l'equazione datarappresent a iperboliequilaterekR - 0; 2/3. y b. Cerchiamo i puntibasedel fascio , scrivendo la sua equazione nellaformaimplicita kx- 4y k 1x 2 kxy- x 4y x 2 0. e raccoglien do k: Per ottenerele coordinate dei puntibase, risolviamo il sistema : xy- x 0 x 0 ; y 1 puntibaseA(0; -1/2), B(6;1) . 4y x 2 0 4y x 2 0 4 4 4 x k 1 k 4 k 1 x x c. Centridi simmetria C(-d/c ; a/c) C ; y ; 4 k 1 k k y x k 4- x x x y x y 1 con x 0; quindiil luogodei centriè la retta y 1, 4 4 4 x privatadel puntoP(0;1). Vedigraficonellapaginaseguente . 27 28 DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO IPERBOLE – RETTA Si possono presentare i seguenti casi : equazione di un' iperbole equazione di un fascio di iperbo (1) equazione di un fascio di rette oppure (2) equazione di una retta eventuali limitazion i per e/o y x eventuali limitazio i per e/o y x Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’iperbole nel caso (1), o la retta interseca le iperboli nel caso (2). In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1). Esempi 2 2 x y 4 1. Discuti il seguente sistema : 2 x y k 0 sistema del (1) tipo y 0 E' molto comodo effettuare la discussion e dal grafico (metodo grafico) : 29 x2 y2 4 ; a b2, ip.equilatera , vertici V1(-2;0) , V2(2;0) ; 2xyk 0 y2xk ; fascio improprio, coeff. ang.m2. Sulgrafico individua gliarchiutili ; passaggio perV12;0: k 4; passaggio perV22;0: k 4; x2 y2 4 condizione di tangenza : 3x2 4kxk2 40 y2xk 4k2 3k2 120 ; k 2 3. 4 Conclusion e: il sistema ammette duesoluzioni per4k2 3, unasoluzione per k4 k4; in particolar e perk 4 si ha unasoluzione limite e unaordinaria , perk 2 3 il sistema ammette duesoluzioni coincident i, perk 4, unasoluzione limite . x y x 2 2. Discuti il seguente sistema : x y k x 1 x 0 x 0 x x 0 l' equazione y equivale a : x ,quindi x y 0 x 2 y y x 2 x 2 30 il sistema di partenza equivale x y x 2 y x x y k x y 1 x 0 x 0 Dal grafico individua l' arco Osserva che la condizione deve essere posta x y x 2 x y k x sulla 2 k 2 6k 1 0 ; a: x 2 k utile. di tangenza y curva x : x 2 1 k x 2 k 0 k 1,2 3 2 2 ; la tangente Pasaggio per interessa è per k 3 2 2 . A(-1;1) : k A 0 . Pasaggio per O(0;0) che : k Conclusion i : due sol. e una sol. per k 0 . In particolar e: O per 0. 3 2 2 k 0 per k 3 2 2 due sol. coincident per k 0 una sol. limite A(-1;1) e una sol. ordinaria O(0;0) . i; 31 PROPRIETA’ OTTICA DELL’IPERBOLE L'iperbole, come l'ellisse, possiede proprietà ottiche. Supponiamo di avere un riflettore di forma iperbolica e poniamo una sorgente luminosa in uno dei due fuochi (F): i raggi vengono riflessi lungo una traiettoria ottenuta congiungendo l'altro fuoco (F’) con il punto di riflessione, si comportano cioè come se provenissero dall'altro fuoco. Specchio iperbolico 32