Onde Sismiche
Caso uni-dimensionale
DX1
DA
t11
τ11 +
τ11
ΔX1
x1
X1


τ11
τ11
F
=mu
=ρΔAΔX
u
=
τ
+
Δx
ΔA-τ
ΔA

ρu=
con τ11 =  λ+2μ  u11
 x1 1
1 1  11
1
11

x

x
1
1


 2 u1 1  2 u1
λ+2μ
2

con
c
=
x12 c2 t 2
ρ
Soluzione di D’Alembert
Equazione d’onda
u1  x1 ,t  =f  x1 -ct  +g  x1 +ct 
Soluzione per separazione di variabili
u1  x1 ,t  =X  x1  T  t 
Soluzione di prova
2
2
d
X
x
d
T t


 2 u1 1  2 u1
1
1
1
2
 2 2  c
0
2
2
2
x1 c t
X1  x1  dx1
T  t  dt
dipende solo da x1
I due termini devono essere uguali
ed entrambi pari ad una costante
che viene posta pari a –w2
dipende solo da t
d 2 X  x1  ω 2
+ 2 X1  x1  =0
2
dx1
c
d 2T  t 
dt 2
+ω2 T  t  =0
 x
 x
-iωt+ x 
iω t+    iωxt-  

x,t =Acos
 c   ω  t ±  c 
 +isin ω t c±
1
3  
 2 c  
 e
u1  x1 ,t u=C
C e
C e
x   -iω t- x 
 c
C


e
c  4
Soluzione dell’equazione d’onda 3D
u  φ    ψ =U p +U s
2
 2
 2  2 
2 
  2  2  2 
2
t
 x1 x 2 x 3 



U p   
xˆ 1 
xˆ 2 
xˆ 3
x1
x 2
x 3
   
Us    ψ   3  2  xˆ1 
 x2 x3 
       
  1  3  xˆ +  2  1  xˆ3
 x3 x1   x1 x2 
T + ω 2 T=0
2
1
X + k X=0
ω2
con k  k  k = 2
c
2
1
2
2
2
2ψ
2ψ 2ψ 
2 ψ
  2  2  2 
2
t
 x1 x 2 x 3 
2
3
definisce una superficie piana
nello spazio cartesiano con
vettori normali:
Y + k Y=0
ˆ w /  kˆ
k α = k α k=
Z + k 32 Z=0
ˆ w /  kˆ
k  = k  k=
2
2
Teorema di Lamè
  x,t  =A exp i  ωt-k α  x  
Ψ  x,t  =B exp i  ωt-k β  x  
Consideriamo il caso di un’onda piana interamente contenuta nel piano x1 x3

0
x2
k2  0
ωt-k1x1 -k 3 x 3 =C
2
ω
k12 +k 32 = 2
α
Fase costante
il vettore numero d’onda è perpendicolare all’onda piana con componenti K1 K3 giacenti
lungo gli assi x1 e x3 rispettivamente
ω
sin i =ωp
α
ω
k 3 = cos i =ωηα
α
k1 =
p parametro del raggio sismico
η lentezza verticale
Spostamento associato all’onda P



 
U p = =  xˆ 1
 xˆ 2
 xˆ 3
 A exp i  ωt-k α  x 
x 2
x 3 
 x1
per  =Aexp i  ωt-k1x1 -k 3 x 3  
U P  x,t  =  -ik1A  exp i  ωt-k1x1 -k 3 x 3   xˆ 1 +0  xˆ 2 +  -ik 3A  exp i  ωt-k1x1 -k 3 x 3   xˆ 3
Il rapporto
UP3
U P1
=
k 3 ηα definisce la direzione perpendicolare al fronte d’onda
=
k1 p
Il moto della particella investita da un onda P è perpendicolare al fronte
d’onda e parallelo alla direzione in cui l’onda si propaga
Spostamento associato all’onda S
  3  2 
  1  3 
  2  1 
Us   ψ  



 xˆ1  
 xˆ2 + 
 xˆ3
x3 
 x1 x2 
 x2
 x3 x1 
  2 
  1  3 
  2 
Us  US1 xˆ 1 +US2 xˆ 2 +US3 xˆ 3   

 xˆ1  
 xˆ2 + 
 xˆ3
 x1 
 x3 
 x3 x1 
In un sistema di riferimento in cui x1 x2 sono associate alla superficie della Terra e l’asse
x3 alla profondità :
US1 US3 sono le componenti SV (coinvolgono la componente verticale del moto nel piano x1 x3)
US2 componente SH (coinvolge moti puramente orizzontali x2)


USH =A'exp i ωt-k β1 x1 -k β3 x 3 


k β1
ω
= pβ

k β3
ω
=ηβ

USV =-kβ3B'exp i ωt-kβ1x1 -kβ3 x 3  xˆ 1 +kβ1B'exp i ωt-kβ1x1 -kβ3x 3  xˆ 3




Onde P e onde S
Polarizzazione onda P
Polarizzazione onda SV
v p  vs
In un mezzo poissoniano
v p  vs 3
Individuazione delle fasi P SV SH sul
sismogramma
LPN registra il moto puramente tangenziale
LPE registra il moto puramente lungitudinale
Onde di volume
Onde P (polarizzazione longitudinale)
Onde S (polarizzazione trasversale)
Il sismogramma: fasi P e fasi S
Campi Flegrei 23/02/1984
Attenuazione geometrica delle onde
sferiche
Flusso di energia per unità di superficie
ed unità di tempo:
 E  cost  A2
Il flusso totale di energia che attraversa
i fronti d’onda ad istanti successivi deve
conservarsi:
 E  S t t
1
A( r ) 
r
  E  S t t0  Dt
0
A2 (r1 )4r1  A2 (r2 )4r2
2
A(r1 ) r2

A(r2 ) r1
2
Propagazione delle onde sismiche
in mezzi complessi
Esempio di traiettoria dei raggi sismici in un modello di
Terra a strati piano-paralleli
Onde di superficie
In un mezzo omogeneo e illimitato si generano e propagano solo onde P ed S
(onde di volume)
In un mezzo stratificato l’impatto delle onde di volume con le superfici di
discontinuità genera onde di superficie che si propagano lungo l’interfaccia:
Non si ha trasmissione di onde al di là della superficie libera perché le costanti
elastiche dell’atmosfera sono di alcuni ordini di grandezza inferiori a quelle
delle rocce (o degli oceani)
Onde di superficie
Onde di Rayleigh (moto ellittico retrogrado)
Onde di Love (moto trasversale orizzontale)
Attenuazione geometrica delle onde di
superficie
 E  cost  A2
 E  S t t   E  S t t Dt
0
0
A2 (r1 )2r1Z  A2 (r2 )2r2 Z
1
A(r ) 
r
r2
A(r1 )

A(r2 )
r1
Velocità di fase
Un’onda monocromatica di pulsazione w è caratterizzata da una velocità di
propagazione vf(w) detta velocità di fase.
u  x,t  =cos  ωt-kx 
ω
2π
vf =
con k=
numero d'onda
k
λ
Velocità di gruppo
Se la radiazione è costituita da diverse componenti monocromatiche, queste
interferiranno tra di loro in maniera costruttiva e distruttiva. I pattern di
interferenza costruttiva si propagheranno come una perturbazione con una
velocità vg(w) ben definita, detta velocità di gruppo.
Consideriamo la sovrapposizione di due onde monocromatiche:
u  x,t  =cos  ω't-k'x  +cos  ω"t-k"x  con k'=
definiamo
ω'-ω"
δω 
2
ω'
ω''
,k"=
c'
c''
k'-k''
ω'+ω"
δk 
ω
2
2
u  x,t  =2cos  ωt-kx  cos  δωt-δkx 
alta frequenza
vg =
bassa frequenza
δω
dω

δκ
dκ
k'+k''
k
2
ω 

Sin  ωt- x 
C 

A
FA=16HZ Vf=5.45 Km/s
X=0Km
B
FB=18HZ
Vf=5 Km/s
0.5 s
A+B
A’
0.275s
X=1.5Km
B’
A’+B’
0.3s
0.5s
VG 
1.5 Km
 3Km / s
0.5s
Fenomeno della dispersione
dω d  kvf 
dvf
dvf
vg =
=
=vf +k
 vf -λ
dk
dk
dk
dλ
Per un’onda di superficie:
s  ω,z   A o e-ωαz =A o e-2πf z
Si definisce profondità di penetrazione
dell’onda il valore Z0 della profondità
per il quale l’ampiezza dell’onda si riduce
di 1/e
ωαz 0 =1  2π
vf
λ
αz 0 =1  z 0 =
λ
2πfvf α
Onde di superficie nella registrazione di
un telesisma
Taiwan 20/9/1999 Ms=7.6 D=10000Km
S
P
Onde di superficie
Attenuazione anelastica delle onde
sismiche
La non perfetta elasticità della Terra produce un’attenuazione nell’ampiezza
delle onde con la distanza.
Per un’onda monocromatica, si ha:
A( x, Q, w )  A0e

ωx
2VQ
Q è detto fattore di qualità ed è legato alla quantità di energia dissipata per ciclo
d’onda:
1
DE

Q
2E