Elementi di Matematica
Potenze
e
logaritmi
prof. Paolo Peranzoni
Esponenti interi positivi

Le potenze ad esponente intero positivo
si definiscono come moltiplicazioni
ripetute



Ad esempio, 35 = 3·3·3·3·3 (cinque volte)
Per definizione, si pone 31 = 3
Dunque, an (con nN [senza zero!]) è
definita qualunque sia il numero reale a
Esponenti interi relativi




Se vogliamo estendere la definizione di potenza
anche ad esponenti interi negativi o nulli,
dobbiamo cambiare definizione e imporre
qualche restrizione
Per definizione, si pone a0 =1, qualunque sia a
1
n
Inoltre, si pone a  n , con nN
a
Ma, per poter fare questo, si deve porre
a  0 Perché?
Perché non nullo?


La condizione a  0 si rende necessaria
perché altrimenti
1
l’espressione n non avrebbe senso
a

(non si può dividere per zero!)

Ma perché dare proprio quelle definizioni?

Perché continuino a valere le proprietà formali
delle potenze, anche con gli esponenti negativi e
nulli
Proprietà formali

Le proprietà formali delle potenze sono:
n
m
nm
a a  a

n



a
n m

a
am
a 
n m
n
 a nm
am  a
m
n
Per quali esponenti?

Le proprietà precedentemente elencate si
dimostrano facilmente se
 m, n  N


nella seconda, n > m
m
 nella quarta,
N
n
Se vogliamo farle valere anche per esponenti
interi relativi (n, m  Z), è necessario dare le
definizioni precedenti, che però richiedono la
restrizione a  0
Esponenti razionali

Se vogliamo estendere il concetto di
potenza anche ad esponenti razionali
(m, n  Z), mantenendo sempre valide le
proprietà formali, si deve definire:


m
n
a  a
n
m
In compenso, però, si deve porre a > 0!

Infatti, ad esempio,  2 non esisterebbe,
dovendo valere  8
3
2
Se si tira la coperta da un lato...


Si può dunque ampliare l’insieme dei
possibili esponenti, ma si deve al tempo
stesso restringere quello delle possibili
basi!
Con un metodo un po’ più complesso, che
comporta l’uso delle sezioni e/o delle classi
contigue, si può estendere l’insieme degli
esponenti anche ai numeri reali

sempre a patto, però, che la base sia positiva!
La funzione esponenziale



Possiamo dunque considerare la
x
funzione y  a, con x  , purché
sia, come già ripetuto più volte, a  0
Per definizione, il valore della
funzione esponenziale (e quindi di y)
è sempre positivo
Vediamo ora che aspetto ha il
grafico di questa funzione
Grafici

Il grafico della
funzione esponenziale
x
y  a si presenta
come in figura:


se 0  a  1 si ha il
grafico in rosso
se invece a  1 , si ha il
grafico in blù
La funzione inversa

Dato che la funzione esponenziale è sempre
decrescente (se 0  a  1 ) oppure sempre
crescente (se a  1), si capisce facilmente
che essa è biiettiva e quindi invertibile


Una funzione sempre decrescente o sempre
crescente viene detta monotòna
Qual è la funzione inversa dell’esponenziale?

Si chiama funzione logaritmica
La funzione logaritmica



La funzione esponenziale associa ad ogni
numero reale x il valore della potenza ax,
che verrà chiamato y
La funzione inversa associa allora ad ogni
valore di y l’esponente x che dobbiamo
mettere alla base a affinché la potenza ax
abbia il valore y
Tale funzione inversa viene chiamata, come
abbiamo già detto, funzione logaritmica
Definizione di logaritmo



Si definisce dunque logaritmo in base a di un
certo numero y (e si indica con log a y )
l’esponente che bisogna mettere alla base a
affinché la potenza ax abbia il valore y
Naturalmente il numero y deve essere
positivo, visto che ax può avere solo quel
segno
Anche la base a deve essere positiva e,
inoltre, deve essere a  1

Perché?
Non in base 1!



Come si presenta la funzione esponenziale
in base 1?
x
Essa è costante, dato che 1  1, qualunque
sia x
Il suo grafico, in questo
caso, è una retta parallela all’asse x:

non è più una funzione biiettiva e quindi non è
invertibile!
Ancora grafici

Il grafico della funzione logaritmica si
presenta come mostrato in figura:
 se 0  a  1 si ha il grafico
in rosso


se invece a  1 , si ha il
grafico in blù
Si noti che log a 1  0,
qualunque sia la base a
Proprietà dei logaritmi

Dalle proprietà formali delle potenze derivano
altrettante proprietà dei logaritmi:
 log  x  y   log x  log
(con x, y > 0)
a
a
a y
x
 log
(con x, y > 0)
 log a x  log a y
a
yy
 y  log a x
 log a x
(con x > 0)
1
n
x  log a x
 log a
(con x > 0, nN)
n
Le basi più comuni

Le basi più utilizzate per i logaritmi sono:



la base 10 (dato che il nostro sistema di
numerazione è in base 10); si chiamano
logaritmi volgari o di Briggs
la base e (numero di Nepero, irrazionale
trascendente con valore approssimato
e  2,718... ); si chiamano logaritmi naturali
la base 2; sono utilizzati soprattutto in
informatica
Cambiamento di base

C’è un’ultima formula da conoscere riguardo
ai logaritmi: quella del cambiamento di base


Sulle calcolatrici, infatti, troviamo solo i logaritmi
decimali (log) e quelli naturali (ln); se ci serve il
logaritmo in un’altra base, come si fa?
La formula è:


log a x
log b x 
log a b
log a a
1
Caso particolare: log b a 

log a b log a b