Università degli Studi di Roma “Tor Vergata” Dipartimento di Ingegneria Elettronica TOR VERGATA Sistemi in logica fuzzy per la modellizzazione: teoria e applicazioni Arianna Mencattini Indice Tipologia di modelli esistenti. Caratteristiche di un modello fuzzy. Risultati teorici nel campo dei sistemi fuzzy. Risultati esistenti. Risultati nuovi. Applicazioni del modello fuzzy. Stima del rumore in immagini digitali. Implementazione di un sintetizzatore di frequenza. Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi. Sistemi fuzzy Type-2. Introduzione Nozioni di base Per molti problemi esistono due tipologie di informazioni disponibili per il modellista. 1.Una conoscenza oggettiva (e.g. usata per costruire modelli matematici, come equazioni del moto di un robot, di un autoveicolo etc). 2.Una conoscenza soggettiva (e.g. informazioni linguistiche, come regole, informazioni esperte etc.). Le due forme di conoscenza possono essere coordinate utilizzando un Sistema in Logica Fuzzy (FLS). Introduzione Il problema della modellizzazione Esistono due classi di approcci. 1.Un approccio model-based in cui la conoscenza oggettiva è rappresentata da modelli matematici e la conoscenza soggettiva è rappresentata da is represented da espressioni linguisticheconvertite in regole e quantificate utilizzando un FLS. 2.Un approccio model-free (i.e. black-box model) in cui le regole sono estratte dai dati numerici e sono combinate con le conoscenze linguistiche usando FLS. In questa categoria I modelli più usati sono le reti Neurali Artificiali (ANN) e i sistemi in logica fuzzy (FLS). Da un punto di vista generale un sistema fuzzy è una mappa nonlineare di un vettore di ingressi in una uscita scalare. La particolarità del sistema fuzzy è il grande numero di possibili configurazioni che comportano un gran numero di mappe differenti. Questa ricchezza significa però che un gran numero di parametri deve essere settato nel progetto del sistema fuzzy. Modellizzazione Tipi di modelli White-box - descrizione attraverso equazioni fisiche Data driven model Modello Analitico - utilizza una funzione di forma nota, settandone opportunamente i parametri liberi (spline, fuzzy systems) Black-box - impone solo relazioni ingresso uscita senza una funzione di forma nota (table-based, ANN), e/o sfrutta solo regole linguistiche (fuzzy systems) Modellizzazione Modelli basati sulla logica fuzzy Perché un modello fuzzy? • La logica fuzzy è flessibile. E’ semplice costruire un sistema fuzzy con particolari caratteristiche e aggiungere altre funzionalità durante il progetto. • I sistemi fuzzy possono essere espressi matematicamente in funzione di operatori semplici quali sommatori, moltiplicatori e divisori. • La logica fuzzy può modellizzare funzioni nonlineari di elevata complessità. • Un sistema fuzzy può essere costruito in base all’esperienza, in diretta contrapposizione con le reti neurali, che apprendono unicamente dai dati generando modelli impenetrabili e opachi. • La logica fuzzy può costruire una conoscenza ragionevole, laddove questa non può essere derivata dall’esperienza. Teoria dei sistemi fuzzy Base del sistema: logica sfumata e fuzzy patch x FS y y y1 x x1 IF (x is x1) THEN (y is y1) Teoria dei sistemi fuzzy Base del sistema: logica sfumata e fuzzy patch x FS y y y2 x2 IF (x is x2) THEN (y is y2) x Teoria dei sistemi fuzzy Base del sistema: logica sfumata e fuzzy patch x y FS y y3 x3 IF (x is x3) THEN (y is y3) x Teoria dei sistemi fuzzy Base del sistema: logica sfumata e fuzzy patch x FS y y y4 x4 IF (x is x4) THEN (y is y4) x Teoria dei sistemi fuzzy Base del sistema: logica sfumata e fuzzy patch x FS y y x Teoria dei sistemi fuzzy Osservazioni La funzione comportamentale del sistema fuzzy approssima la nostra conoscenza imposta attraverso le regole. Ma come? Quale è la funzione analitica che relaziona l’uscita con l’ingresso (gli ingressi) del nostro sistema? Come possiamo intervenire su di essa per imporre certe caratteristiche di regolarità agendo sui gradi di libertà che ci sono consentiti? funzioni di appartenenza forma del conseguente metodo di inferenza griglia di base Teoria dei sistemi fuzzy Fuzzificazione y • Si associa un set di funzioni di appartenenza (Membership Functions MF) allo spazio di ingresso • Si associa un set di MF allo spazio di uscita Es: alto Es: basso Ai x Ingresso Ai+1 xi x xi+1 Es: basso bi Es: alto bi+1 y Uscita Teoria dei sistemi fuzzy Inferenza Fase in cui si associa: un valore numerico alle regole linguistiche y If (x is A1 ) then (y = b1 ) x 0 If (x is A2 ) then (y = b2 ) Operatore di inferenza: MAX, Media pesata v2 If (x is A3 ) then (y = b3 ) v3 0 b1 v2b2 v3b3 y 0 v2 v3 Teoria dei sistemi fuzzy Defuzzificazione b4 b3 y Valore di uscita x b2 b1 x A1 A2 A3 xi x i+1 INPUT RANGE A4 Teoria dei sistemi fuzzy Risultati teorici esistenti Cosa esiste? Esistono risultati per funzioni ad una variabile, che impongono la continuità e la derivabilità al primo ordine della funzione (C1) … … sfruttando funzioni di appartenenza fortemente nonlineari (gaussiane) Cosa si può fare di più? E’ possibile imporre la derivabilità di ordine N di un sistema n dimensionale? Sfruttando funzioni di minima nonlinearità come i polinomi? Imporre condizioni di simultanea approssimazione di una funzione e delle sue derivate? Il problema è stato posto in letteratura, ma non esisteva una metodologia che lo risolva attraverso sistemi in logica fuzzy. Teoria dei sistemi fuzzy Come si costruisce il sistema? Funzione di uscita Pi ( x) ( xi 1 x) P ( x) ( x xi ) yi ( x) ( xi 1 x) ( x xi ) N i 1, ,n N i 1 Teoria dei sistemi fuzzy Come si costruisce il sistema? Si scelgono opportuni polinomi conseguenti di grado N (Taylor) Pi ( x) ( xi 1 x) P ( x) ( x xi ) yi ( x) ( xi 1 x) ( x xi ) N i 1, ,n N i 1 Teoria dei sistemi fuzzy Come si costruisce il sistema? Si costruiscono particolari MFs polinomiali Pi ( x) ( xi 1 x) P ( x) ( x xi ) yi ( x) ( xi 1 x) ( x xi ) N i 1, ,n N i 1 Teoria dei sistemi fuzzy Come si costruisce il sistema? Si sceglie come operatore di aggregazione il prodotto (smooth) Pi ( x) ( xi 1 x) P ( x) ( x xi ) yi ( x) ( xi 1 x) ( x xi ) N i 1, ,n N i 1 Teoria dei sistemi fuzzy Come si costruisce il sistema? Si fissa la cardinalità del sistema (ovvero # MFs o # regole minimo) Pi ( x) ( xi 1 x) P ( x) ( x xi ) yi ( x) ( xi 1 x) ( x xi ) N i 1, ,n N i 1 Teoria dei sistemi fuzzy Come si costruisce il sistema? Si ottimizza la griglia nello spazio di ingresso Pi ( x) ( xi 1 x) P ( x) ( x xi ) yi ( x) ( xi 1 x) ( x xi ) N i 1, N i 1 ,n xi xi+1 Teoria dei sistemi fuzzy Risultati teorici Regolarità dell’approssimazione. 2 1 Teoria dei sistemi fuzzy Risultati teorici Simultanea approssimazione e approssimazione polinomiale Teoria dei sistemi fuzzy Risultati teorici Teoria dei sistemi fuzzy Risultati teorici Accuratezza dell’approssimazione Esempio di imposizione di regolarità Funzione target Esempio di imposizione di regolarità Funzione fuzzy bilineare Linee di discontinuità delle derivate parziali Esempio di imposizione di regolarità Funzione fuzzy con MFs cubiche Esempio di simultanea approssimazione (SISO) Polinomio di Taylor come conseguente N=1 N=2 1/(x2+1) 1 P11 ( x) P12 ( x) 0.9 0.8 P21 ( x) 0.7 P22 ( x) 0.6 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Esempio di simultanea approssimazione (MISO) Polinomio di Taylor come conseguente P122 ( x, y) P222 ( x, y ) P112 ( x, y) P212 ( x, y) Applicazione n. 1 Stima del rumore in immagini digitali Stima del rumore in immagini digitali Caratterizzazione del rumore Modello dipendente dal segnale g ( x) f ( x) f ( x) u ( x) Coefficient 01 • if = 0 Additive noise • if = 1 Multiplicative noise Stima del rumore in immagini digitali Degradazione dell’immagine Processo di formazione (es. speckle noise) g ( x ) f ( x ) f ( x ) u ( x ) Stima del rumore in immagini digitali Degradazione dell’immagine Processo di acquisizione (es. quantization noise) g ( x ) f ( x ) f ( x ) u ( x ) Stima del rumore in immagini digitali Degradazione dell’immagine Processo di trasmissione (es. atmospherical noise) g ( x ) f ( x ) f ( x ) u ( x ) Stima del rumore in immagini digitali Ricostruzione dell’immagine 2 Filtraggio Necessità della conoscenza delle caratteristiche del rumore Stima del rumore in immagini digitali Estrazione delle caratteristiche locali Valore medio Chi quadro Saturazione Uniformità spaziale Varianza Stima del rumore in immagini digitali Stima della varianza: fuzzy system 2 PP 2i x p01 Regole linguistiche FS1 hi FS2 Membership functions 2 Stima del rumore in immagini digitali Flusso dell’algoritmo sk Final value s2 Spatial filter on Wi Saturation high START n y Saturation evaluating i2 sk+1 sk Preprocessing on W a ci2 WNT y Subset of Accepted Windows W a ssat W1 Wi not accepted in this step n Reject W i ... y Over threshold p01 Fuzzy System xi % 2 i sk+1 Regression n Stima del rumore in immagini digitali Sommario, risultati e e confronti Densità di probabilità, varianza 2, valore medio Immagine originale Aggiunta di rumore Algoritmo iterativo (IFP) per la stima di Fuzzy System 2 Confronto con altri metodi Immagini test x 2 Applicazione n. 2 Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Convertitore fase-ampiezza • I DDS sono largamente utilizzati in telecomunicazioni ai dispositivi di misura. molti campi dell’ingegneria, dalle • In questa tesi il blocco di conversione fase-ampiezza è stato implementato attraverso un particolare sistema fuzzy. REGISTER REGISTER TO A CONVERTER DIGITAL OUT PHASE ACCUMULATOR D/ A CONVERTER ANALOG OUT FILTER SINE GENERATOR Fuzzy System Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Convertitore fase-ampiezza - Conosco alcuni campioni del segnale da sintetizzare 1 xi f(xi) 0.00 0.00 0.25 sin(0.25*/2) 0.8 (xi,f(x )) (x ,f(xi )) i 0.6 sin(0.5*/2) 0.75 sin(0.75*/2) 1.00 1.00 0.4 0.2 0 0.50 i -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 - Conosco le specifiche sul comportamento in tempo e/o in frequenza (massimizzazione della purezza spettrale (SDFR, RSS)) 1.5 2 Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Specifiche - Il modello costruito dovrà presentare un’elevata purezza spettrale nei confronti del caso ideale. SDFR max i 2, bi , 20log b 1 RSSspurious 10log b i2 2 i b12 dove b1 è l’armonica fondamentale e bi è il modulo dell’i-esima componente - In fase di implementazione, il modello dovrà rispettare vincoli di area, velocità, e di memoria necessaria. Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Specifiche - Serve un modello che sia un approssimatore di funzioni, - in cui ci sia la possibilità di settare la regolarità e il fitting, - che sia facilmente ottimizzabile rispetto a parametri imposti dal contesto applicativo (SFDR, MSE, etc.), - che sia semplice dal punto di vista implementativo (operatori elementari, poca memoria necessaria, etc.) Modello di tipo Fuzzy System y’(xn)- = f’(xn)=0 Condizioni di fitting 1.0 y’(xi)- =y’(xi)+ f’(xi) 0.8 0.6 Condizioni di regolarità Y 0.4 0.2 Struttura a tratti fuzzy sin target fuzzy 0.0 0.0 0.2 0.4 xi X 0.6 0.8 1.0 Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Architettura del convertitore x T1 T2 T1 T3 F(x) ki f ( xi ) xi 1 ki 1 f ( xi 1 ) xi ki 1 ki (ki xi 1 ki 1 xi )(ki f ( xi ) ki 1 f ( xi 1 )) (ki 1 ki ) 2 T2 ki xi 1 ki 1 xi ki 1 ki T3 ki 1 f ( xi 1 ) ki f ( xi ) ki 1 ki Ottimizzazione dei parametri rispetto a MSE, SDFR, RSS. Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Schema a blocchi del convertitore clk8 clk ph Rs d x Dividers Ctrl en1 en2 sin qz Adders st tx nbq Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Schema a blocchi dell’unità di divisione clk en1 en2 Div1 Div2 q1 qz Reg q2 x d Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Schema a blocchi del divisore Digit Recurrence Algorithm Radix-2 d x qz Conv Sel Reg_d Mult Cs Mux Reg_wc Reg_ws en Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Sommario Dati per il fitting (xi,f(xi),f′(xi)) sin(x) Interpolatore fuzzy Processamento segnale di uscita: MSE, SFDR Tuning dei parametri Ottimizzatore dell’interpolatore sinfuzzy(x) Nx bit in fase Ny bit in ampiezza Implementazione hardware. Mappatura su un FPGA Altera c Flex 6016QC208-3 con Altera Quartus II c. Implementazione di un sintetizzatore di frequenza Risultati e confronti Maximum absolute error Confronto di alcune tecniche di DDS Risultati del modello fuzzy vs. numero di punti Applicazione n. 3 Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi Contesto Dati affetti da errori sistematici, di misura, e/o dispersione in frequenza (slow phenomena trapping/detrapping heating effects) Drain Current, mA DC characteristics Pulsed characteristics Vgs from -2.0V to 0.5V in 0.5V steps Drain potential, V Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi Acquisizione dei dati Vgs(V) Vds(V) 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.093900 0.194200 0.293800 0.394200 0.493600 0.593800 0.695600 Ids(mA) Cgs(fF) Ri(Oh) 57.4070 1116.1516 116.1000 1071.9628 169.4570 1031.1907 217.4120 992.9670 258.8700 969.9854 294.5510 958.0751 323.8120 969.2221 Cgd(fF) 5.2766 5.2879 5.2949 5.2527 5.1750 5.0285 4.8080 787.7951 751.9890 718.6649 688.7896 663.3531 635.1841 600.6824 Rgd(Oh) gm(mS) Tau(ps) -6.4015 -6.2650 -5.7646 -5.1390 -4.4119 -3.7152 -3.2240 4.9322 11.9259 20.2660 29.8102 40.0452 51.5807 64.6234 Cds(fF) Rds(Oh) Gds(mS) -8.2207 -17.1117 -6.6523 -24.0229 -6.3133 21.7688 -5.2222 70.7861 -4.2920 142.3513 -3.4679 238.9674 -2.5317 376.7349 0.6312 0.6810 0.7585 0.8632 1.0097 1.2052 1.5151 1584.3687 1468.4104 1318.3059 1158.5303 990.4126 829.7055 660.0356 250 200 Processamento con funzione interpolante Estrazione di ulteriori dati di Ids, delle derivate gm e gds, delle derivate seconde, etc. 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi Estrazione di dati su una griglia regolare partendo da dati scattered Tensioni esterne 0.5 Tensioni Estrazione di nuovi datiintrinseche su una griglia regolare 0 0.5 -0.5 0 Estrazione di una griglia regolare V -0.5 -0.625 gs -0.75 -0.5 -1 -0.875 V gs -1 -1 -1.5 Vgs -1.125 -1.25 -1.375 -2 -1.5 0 2 4 6 8 10 12 -1.5 Vds -1.625 -2 0 2 4 6 -1.75 8 Vds -1.875 -2 10 0 12 1 2 3 4 Vds 5 6 7 Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi Specifiche e requisiti - Le misure di gm e gds devono verificare la seguente equazione: g m dVgs g ds dVds 0 per ogni percorso chiuso . gm e gds devono essere le derivate parziali di una stessa funzione primitiva. - In più la funzione che descriverà il modello delle funzioni gm, gds, Ids dovrà essere differenziabile per studiare fenomeni quali l’intermodulazione. Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi Algoritmo di correzione dei dati Per correggere i dati, l’idea di base è di modellizzare gli errori presenti nei dati come equivalenti ad una traslazione nel piano (Vgs,Vds). Perciò rieffettuando una opportuna traslazione è possibile ritrovare i dati corretti. g m (Vgs Vgs ,Vds Vds ) dVgs g ds (Vgs Vgs ,Vds Vds ) dVds Ho bisogno di un interpolatore dei dati che possa essere campionato in diversi punti e che verrà richiamato all’interno di un algoritmo di tipo LMS. (Vgsi, j+1, Vdsi, j+1) Da qui la necessità che l’interpolatore sia differenziabile, che siano facilmente modificabili i suoi parametri, che possano essere inseriti nuovi punti, imposte condizioni di regolarità, interpolatore simultaneo di una funzione e delle sue derivate. Modello di tipo Fuzzy System (Vgsi+1,Vdsj+1) (Vgsi,Vdsj+1) (Vgsi+1, j+1, Vdsi+1, j+1) (Vgsi,Vdsj) (Vgsi, j, Vdsi, j) (Vgsi+1,Vdsj) (Vgsi+1, j, Vdsi+1, j) Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi Diagramma di flusso Misure statiche di parametri non-intrinseci su una griglia regolare in (Vgs,Vds) Calcolo dei parametri intrinseci (scattered data) Interpolazione dei parametri intrinseci su una griglia regolare Correzione di gm e gds affetti da fenomeni dispersivi Calcolo di Ids attraverso integrazione numerica di gm e gds Modellizzazione del dispositivo utilizzando un interpolatore fuzzy Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi Sommario Misure di gm e gds a piccolo segnale Processamento delle misure Interpolatore fuzzy Bias point (Vgs0,Vds0) (1Vgs, 1Vds) (2Vgs, 2Vds) Bias point (Vds = 1.55V, Vgs=-0.9V) 300 Ids [mA] 250 VGS=-0.5 200 Ids(Vgs0,Vds0) VGS=-0.7 150 ( g m , g ds ) Integratore 100 bias point VGS=-0.9 50 VGS=-1.1 0 -50 0 1 2 3 4 Vds[V] 5 6 Correzione degli effetti dei fenomeni dispersivi Risultati Bias point (V ds=4V, V gs=-0.9V) 0.1 250 Ids[mA] -0.5 VGS=-0.5 200 -0.7 -0.9 VGS=-0.7 150 0.05 0 -1.1 bias point V 100 VGS=-0.9 gs -1.3 -0.05 50 -1.5 VGS=-1.1 -0.1 -1.7 0 -1.9 -50 0 1 2 3 4 5 0 6 0.2 0.6 1.1 1.5 2.0 2.5 4.0 5.5 -0.15 0 1 2 3 V Vds[V] Caratteristiche originali ( ) e corrette ( ) Correzioni per gds (sopra) e gm (sotto) 4 5 6 ds Correzioni per Vgs( sopra) per Vds (sotto) Bias point (V ds= 1.55V, V gs=-0.9V) 300 0.01 -0.5 Ids[mA] 0 250 -0.7 VGS=-0.5 -0.01 200 -0.9 VGS=-0.7 150 -0.02 -1.1 -0.03 V 100 -0.04 -1.3 bias point ds VGS=-0.9 -0.05 -1.5 50 VGS=-1.1 -0.06 -1.7 0 -0.07 -1.9 -50 -0.08 0 1 2 3 4 Vds[V] 5 6 0 0.2 0.6 1.1 1.5 2.0 2.5 4.0 5.5 0 1 2 3 V ds 4 5 6 Sistemi fuzzy Type-1 vs. Type-2 Fonti di incertezza I sistemi fuzzy analizzati fino ad ora permettono di costruire il modello di un sistema descrivendo il fenomeno attraverso regole “sfumate”, ma non permettono di trattare in modo adeguato dati di loro natura “incerti”, ovvero affetti da una qualsiasi fonte di errore. Spesso la conoscenza usata per costruire le regole in un FLS è “incerta”. Avendo a che fare con problemi reali raramente si riesce ad evitare di trattare l’incertezza . A livello empirico, l’incertezza è presente nelle misure a causa della combinazione di errori di misura e dei limiti di risoluzione della strumentazione di misura. A livello cognitivo, l’incertezza si origina dalla vaghezza e dalla ambiguità insite nel linguaggio naturale. Introduzione ai sistemi fuzzy Type-2 L’incertezza in un sistema fuzzy In un sistema fuzzy l’incertezza può presentarsi nelle seguenti forme. 1.Incertezza del significato delle parole usate per descrivere gli antecedenti nelle regole. 2.Incertezza del significato delle parole usate per descrivere il conseguente nelle regole. 3.Incertezza delle misure che attivano il sistema fuzzy. 4.Incertezza dei dati che sono usati per fare il tuning del sistema fuzzy. I sistemi fuzzy Type-1 sono incapaci di “maneggiare” questi tipi di incertezza, dove per maneggiare intendiamo modellizzare e minimizzare l’effetto di queste incertezze. I sistemi fuzzy Type-2 riescono a maneggiare tutti questi tipi di incertezza. Insiemi fuzzy Type-2 Type-1 fuzzy sets vs. Type-2 Consideriamo la transizione dagli insiemi fuzzy Type-1 agli insiemi fuzzy Type-2. Quando non siamo in grado di determinare se il grado di appartenenza di un elemento ad un insieme sia 0 o 1 utilizziamo insiemi fuzzy Type-1. Analogamente, quando non siamo in grado di assegnare a detto grado di appartenenza un numero compreso fra 0 e 1 utiizziamo insiemi fuzzy Type-2. Insiemi fuzzy Type-2 Primary and secondary MFs La zona grigia è detta Footprint of Uncertainty (FOU). Primary MF Secondary MF Insiemi fuzzy Type-2 Antecedenti Type-1 vs. Type-2 Insiemi fuzzy Type-2 Esempio 1 di insieme fuzzy Type-2. Primary MF di tipo gaussiano con media incerta e deviazione standard fissa. Insiemi fuzzy Type-2 Esempio 2 di insieme fuzzy Type-2. Primary MF di tipo gaussiano con deviazione standard incerta e media fissa. Insiemi fuzzy Type-2 Insiemi fuzzy Type-2 di tipo interval Primary MF Secondary MF Insiemi fuzzy Type-2 Sistemi fuzzy Type-1 inclusi nel Type-2, lower and upper MFs Insiemi fuzzy Type-2 Struttura di un sistema fuzzy Type-1 Insiemi fuzzy Type-2 Struttura di un sistema fuzzy Type-2 Insiemi fuzzy Type-2 Operatori di fuzzificazione e inferenza Insiemi fuzzy Type-2 Operatori di aggregazione degli insiemi fuzzy di uscita Insiemi fuzzy Type-2 Esempio: insiemi fuzzy di ingresso Type-1 Insiemi fuzzy Type-2 Esempio: insiemi fuzzy di uscita Type-2 Insiemi fuzzy Type-2 Esempio: calcolo del centro di massa, del Type-reducer e della defuzzificazione. Possibili configurazioni di un FLS Dati un insieme di N dati rumorosi (xi,yi) (vettore di ingressi, uscita) progettare la corretta mappa nonlineare attraverso un FLS. •Singleton Type-1 FLS (SFLS-1) •Non Singleton Type-1 FLS (NS1FLS-1) •Singleton Type-2 FLS (SFLS-2) •Type-1 Non Singleton Type-2 FLS (NS1FLS-2) •Type-2 Non Singleton Type-2 FLS (NS2FLS-2) FLS Singleton Type-1 FLS Non Singleton Type-1 FLS Singleton Type-2 FLS Type-2 Non Singleton Type-1 FLS Type-2 Non Singleton Type-2 Sommario delle configurazioni possibili Applicazione n. 4 Previsore di tipo single-stage per la serie temporale di Mackey-Glass Previsore single-stage per una serie caotica. Contesto ds(t ) 0.2s(t ) 0.1s(t ) 10 dt 1 s (t ) 17 per la serie temporale presenta un comportamento caotico. x ( k ) s ( k ) n( k ) dove n(k) è un rumore additivo, di distribuzione incognita. Previsore single-stage per una serie caotica. Contesto Si collezionano 1001 dati rumorosi x(1000), x(1001), … , x(2000). Si divide detto insieme in due sottoinsiemi. x(1001), …, x(1501) x(1502), …, x(2000) Training set Testing set x(k-3) x(k-2) x(k-1) x(k) NS2-TYPE-2 FLS x(k+1)
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