Elettrostatica
(Potenziale
ed energia potenziale)
In generale se il lavoro che compie una forza qualsiasi lungo
un qualunque percorso chiuso è nullo, il lavoro non dipende
dal percorso e può essere scritto come differenza tra i valori
assunti da una funzione nel punto finale ed in quello iniziale
L
P2
P1
P1
P2
( I )  F ds  ( II )  F ds  0
 F ds  0 
P2
P1
P2
P1
P2
P1
( I )  F ds  ( II )  F ds  ( II )  F ds 
(U ( P2 )  U ( P1 ))
P2
Forza centrale
ĵ
y
F  f ( r )rˆ
P1
L
P2
P1
k̂
 F ds   F ds   F ds 
P1
ds
x ˆ
i
z
P2
P2
P1
r2
r1
P1
P2
r1
r2
 f (r )rˆ ds   f (r )rˆ ds   f (r )dr   f (r )( dr ) 
r2
r1
r2
r2
r1
r2
r1
r1
 f (r )dr   f (r )dr   f (r )dr   f (r )dr  0
h
Forza Gravitazionale
F12   F21
F12  G
m1m2
r12
2
rˆ
r1
r12
r2 F12
F21
G  (6.67259  0.00085) 1011 Nm2 / kg 2
m1m0
F  G 2 rˆ
r
r
F
P2
P2
m1m0
L   F dr   G 2 rˆ dr 
r
P1
P1
ĵ
y
r2
dr
1
1
Gm1m0  2  Gm1m0 ((  )  (  )) 
r
r2
r1
r1
Gm1m0 Gm1m0

 U G
r2
r1
Gm1m0
UG  
A
r
Supponendo nulla l’energia potenziale di
due masse poste a distanza infinita tra loro
Gm1m0
UG  
r
1
Gm1m0
2
K  U G  m0 v 
 costante
2
r
dr
F
k̂
z
r
x ˆ
i
U (r )
r
l  costante
1
Gm1m0
2
K  U G  m0 v 
 costante
2
r
La soluzione di queste equazioni in coordinate polari
consente di determinare l’equazione oraria e l’equazione
della traiettoria (ellisse, iperbole, parabola) per il moto di
una massa m0 nel campo di una massa m1 in funzione
delle condizioni iniziali.
Nel caso terra–sole (supposti puntiformi) si ottengono le
leggi di Keplero.
ĵ
R1  r1  R0
q1q0
F1  k 2 rˆ1
r1
q1
r1
q0
R1
R0
iˆ
k̂
q1q0
q1
F1  k 2 rˆ1  ( k 2 rˆ1 )q0 
r1
r1
F1  E1q0
F1
q1
E1   k 2 rˆ1
q0
r1
P2
P2
q1q0
L   F dr   k 2 rˆ dr 
r
P1
P1
ĵ
y
r2
dr
1
1
kq1q0  2  kq1q0 ((  )  (  )) 
r
r2
r1
r1
kq1q0 kq1q0

 U e
r1
r2
kq q
Ue 
1 0
r
B
F
k̂
Supponendo nulla l’energia potenziale di
due cariche poste a distanza infinita tra loro
kq1q0
Ue 
r
1
kq1q0
2
K  U e  m0 v 
 costante
2
r
dr
r
x ˆ
i
z
U (r )
r
Se si considera l’integrale di linea del campo (gravitazionale
o elettrico) si ottiene la differenza di potenziale invece della
variazione dell’energia potenziale.
P2
P2
m1
   G dr   G 2 rˆ dr 
r
P1
P1
r2
dr
1
1
Gm1  2  Gm1 ((  )  (  )) 
r
r2
r1
r1
Gm1 Gm1

r2
r1
Supponendo nullo il potenziale di una
massa puntiforme all’ infinito
Gm1

A
r
Gm1

r
P2
P2
q1
V   E dr   k 2 rˆ dr 
r
P1
P1
r2
dr
1
1
kq1  2  kq1 ((  )  (  )) 
r
r2
r1
r1
kq1 kq1

r1
r2
kq1
V 
B
r
Supponendo nullo il potenziale di una
carica puntiforme all’ infinito
kq1
V
r
Il potenziale si ottiene anche dall’energia potenziale
dividendo per la massa o la carica elettrica (di prova).
Assumendo il potenziale nullo all’infinito:
UG
Gm1


m0
r
U e kq1
V

q0
r
Nel caso di sistemi discreti di cariche puntiformi
o continui di cariche distribuite.
n
Gmi
  
ri
i 1
n
kqi
V 
i 1 ri
Gdm
  
r
kdq
V 
r
U G  m0
U e  q0V
Il potenziale in P?
Il lavoro della forza elettrica per
portare q0 da P all’infinito è data da:
U e (q0 )  q0V ( P)
Il lavoro necessario per portare q0
dall’infinito a P
q
r cos300  a / 2
kq 3k 3
V 3

q
r
a
a
C

q
q
L’energia potenziale della carica q0 nella posizione C (il lavoro
della forza elettrica per portare q0 da C all’infinito) è data da:
kq
U e ( q0 )  q0V  3
q0
r
q
3k 3
qq0
a
q0
C
a

Il lavoro necessario per portare q0
dall’infinito a C
q
q
L’energia potenziale delle tre cariche q nella loro posizione
(il lavoro della forza elettrica per portare le tre cariche da r
all’infinito) è data da:
kq2
U e ( sistema )  3
a
L’energia elettrostatica complessiva è data da:
U e  U e ( sistema )  U e ( q0 ) 
kq2 3k 3
3

qq0
a
a
L’energia potenziale delle tre cariche nella loro posizione (il
lavoro della forza elettrica per portare le tre cariche da C
all’infinito) è data da:
q3
kq1 q2 kq1 q3 kq2 q3
U e ( sistema ) 


a
a
a
q0
k 3
k 3
k 3
q1q0 
q2 q0 
q3q0
a
a
a
a

q1
U e ( q0 )  q0V 
C
q2
L’energia del sistema è data dalla somma di tutti
gli elementi di una delle due matrici

0


0

0


kq1 q2
a
0
0
kq1 q3
a
kq2 q3
a
0



 0



 kq1 q2
 ;;;;;;;  2a



 kq1 q3

 2a


kq1 q2
2a
0
kq2 q3
2a
kq1 q3
2a
kq2 q3
2a
0









Nel caso di un triangolo scaleno

0


0

0


kq1 q2
a12
0
0

kq1 q3 
 0

a13 

 kq1 q2
kq2 q3 
; 
 ; 
a23 
 2 a21
 kq q
0 
 1 3


 2 a31
Nel caso di n cariche avremo una
matrice quadrata di rango n
kq1 q2
2a12
0
kq2 q3
2 a32
kq1 q3 

2a13 
kq2 q3 

2a23 

0 


0


0

0


kq1 q2
a12
0
0

kq1 q3 
 0

a13 

 kq1 q2
kq2 q3 
; 
 ; 
a23 
 2 a21
 kq q
0 
 1 3


 2 a31
kq1 q2
2a12
0
kq2 q3
2 a32
kq1 q3 

2a13 
kq2 q3 

2a23 

0 

L’energia complessiva può essere scritta come
U G  m0  U G ( sistema )
U e  q0V  U e ( sistema )
mi m j
1
U G ( sistema )   G
2 i j
rij
qi q j
1
U e ( sistema )   k
2 i  j rij
La differenza di potenziale tra due punti si calcola se è noto
il campo elettrico lungo un percorso che li congiunge
P2
V   E dr
P1
Nel caso di due punti posti a distanza infinitesima
dV  E dr
V
V
V
dx 
dy 
dz  ( E x dx  E y dy  E z dz )
x
y
z
V
V
V
Ex  
; Ey  
; Ez  
x
y
z
E   grad V
Nel caso di un sistema piano si può
scrivere in coordinate polari:
dV  E dr
dr  dr uˆ r  rd uˆ 
V
V
dr 
d  ( Er dr  E rd )
r

V
1 V
E ( r , )  
uˆ r 
uˆ 
r
r 

d
V 
1  ds
1 

ds 

4 0 r
4 0 r
1  2 R
1

4 0 r
4 0
x
 2 R
r
R2  x2
R
Ex  
V

1
 (
x
x 4 0
V
0
y
V
Ez  
0
z
Ey  
q
R2  x2
)
1
qx
4 0 ( R 2  x 2 )3 / 2

V
2 0
R

0
rd r
(r 2  x 2 )
R
V
se x  0
2 0


( (R2  x2 )  x)
2 0
x
V
q
4 0 x
se x
R
R
R
2 0
r
r
V
 

x
2
2
Ex  
 (
( ( R  x )  x )) 
(1 
)
2
2
x
x 2 0
2 0
(R  x )
V
Ey  
0
y
V
Ez  
0
z
R
2 0
R
2 0
Da notare che mentre il campo per R infinitamente grande tende ad un
valore costante il potenziale tenderebbe ad infinito. La presenza di
cariche all’infinito non consente di porvi il potenziale uguale a zero

E 0


V ( x)  V (0)    dx   x

0
0 0

V ( x)  V (0)  x
0


E 
0
E 0
x
x
0
V ( x)
0

d
0
d
Superfici equipotenziali
VA  VB
VA  VB  VC
Dipolo elettrico
ĵ
P
r1
p
q
p  qajˆ
1 1
r2  r1
V ( P )  kq(  )  kq
r1 r2
r1r2
r

uˆr
a
r
r2
 r2  r1
q
a 
 r2  r1  a cos ; rr
1 2 r
2
a cos
p cos
p uˆr
V ( P )  kq
k
k 2
2
2
r
r
r
û
iˆ
V ( P )
 k p cos 2k p cos
Er  


2
3
r
r
r
r
V ( P )
 k p cos k p sin 
E  


2
3

r
r
r
E  Er uˆr  E uˆ 
kp
(2cos uˆr  sin  uˆ )
3
r
ĵ
iˆ
k 2p
E 3
r
lungo l ' asse
kp
E   3 nel piano mediano
r
Linee di campo in un qualsiasi
piano contenente l’asse del dipolo
Dinamica di un dipolo in un campo elettrico uniforme
  r  F  a  qE 
ĵ
qa  E  p  E
q
p
   pE sin  kˆ


L    d   pE  sin  d 
o
F

a
q
k̂
o
pE cos   pE cos  0  U e
U e ( )   pE cos   p E
F

iˆ
Campo elettrico non uniforme
q
p
a
q
F  F  F
ĵ
E
E
F  q( E2  E1 )  qa
p
x
x
F  F
q
q
La forza ha il verso del campo se questo
è concorde al momento di dipolo (nel
caso in cui il modulo del campo sia una
funzione crescente di x)
a
iˆ
p
F  F
k̂
ĵ
ĵ

F F
a

iˆ
p
F F

q
q
q
q
k̂
F  F

a
p
F  F
k̂
iˆ
Interazione dipolo-dipolo
ĵ
F  F
q
q
q
q
a
p
F  F
k̂
iˆ