Forza Magnetica su un conduttore
Fisica II - Informatica
Forza magnetica agente su un filo percorso da corrente
• Consideriamo un filo percorso da una corrente
in presenza di un campo magnetico B.
• Agirà una forza su ciascuna delle cariche che si
muovono nel filo. Quale sarà la forza totale netta
dF su una porzione di filo di lunghezza dl ?
• Consideriamo una carica dq che si muove con
velocità v lungo un filo di sezione A.
• Forza su ciascuna carica =
• Forza su dq
• Poichè
e
d
v
dt

Per un filo di lunghezza L che trasporta una
corrente I, la forza agente su di esso è:
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dq
S
I
v
qv  B
dF  dq v  B
dq
I
dt
N
dℓ
dF  I dl  B

 
F  IL  B
Forza Magnetica su un conduttore
z
z
dF
dF
dℓ
y
y
B
x
x
dℓ
B
 Se il filo ha una lunghezza
finita L e B è uniforme allora:


F  I  (d  B)  I   d   B  I L  B
a
a


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b
b
Forza Magnetica su un conduttore
 Se il filo è una spira chiusa e B
è uniforme allora:
F  I   d   B  0
poichè
d
0
La forza magnetica netta agente su una spira chiusa immersa
in un campo magnetico B uniforme è NULLA
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Es.: Forza agente su un conduttore semicircolare
Conduttore percorso da corrente
I, in un campo B uniforme e .
Consideriamo le due forze agenti:
parte rettilinea
F1  I B  2 IRB
poichè  B direzione uscente dal grafico
semicirconferenza :
dF2  I ds  B  IB sen ds
poichè s  R e quindi ds  Rd
dF2  IRB sen d , diretta verso l'interno del grafico per ottenere F2 integriamo :


0
0
F2   IRB sen d  IRB  sen d  IRB -cos 0 
  IRB  cos  cos 0    IRB  1  1  2 IRB
F  F1  F2  0
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
Forza su una spira percorsa da corrente
 Se la spira non è “immersa” completamente nel campo
magnetico B, la forza sulla spira può essere  0.
Corrente I
nella spira
FR
FL
F
B uscente
dalla pagina
 La forza magnetica sulla parte alta della spira è 0 poichè
B=0.
 La forza magnetica sulle due sezioni verticali (sinistra e
destra) della spira sono eguali e opposte.
 La forza totale F “tira” la spira verso il basso
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Forza su una spira percorsa da corrente
 E’ sempre importante considerare la simmetria. Nella
figura in basso un filo che porta una corrente I
consiste di due sezioni “dritte” ed una a semicerchio.
d

xdF x dℓx
x i x
x
x
x
x
x
x
x
x x
FL
x x
x
x
x
x
x
x
x
FR
B verso l’interno
della pagina
x
 Dividiamo il segmento in 3 sezioni: sinistra e destra
“dritte” più quella semicircolare
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Forza su una spira percorsa da corrente
 Le forze sulle sezioni “dritte” sono eguali e opposte
 Dividiamo il semicerchio in elementi infinitesimi
d  Rd
dF  iBRd
dF  i d  B
dFy  iBR sin  d
 FX = 0 poichè le componenti x si cancellano tra loro a causa
della simmetria del semicerchio.


0
0

F  Fy   iBR sin  d  iBR  sin d  iBR cos  0  2iBR
 Si sarebbe potuto ottenere lo stesso risultato notando che:
2R
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Forza magnetica su una spira percorsa da corrente
• Consideriamo una spira in un
campo magnetico (vedi fig.): Se il
campo è  al piano della spira, la
forza totale agente sulla spira è 0 !
x
x
Fx
x
– la forza sul tratto superiore cancella
x
quella sul tratto inferiore (F = IBL)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
– la forza sul tratto destro cancella
quella sul tratto sinistro. (F = IBL)
• Se il piano della spira non è  al
campo, ci sarà un momento torcente
non-nullo agente sulla spira !
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F
x x
x x
x x
x x
x Ix
F
x
x
x
x
x
B
x
x
x
x F
x
B
x
F
F
.
Momento torcente (motori elettrici)
b
b
   F1 sen    F3 sen     i a B  b sen    i ab B sen  
2
2
per N spire   N   N i a b B sin     N i A  B sin  
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Forze magnetiche e motori elettrici
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Calcolo del momento torcente
• Supponiamo che la bobina abbia larghezza w (il lato che si
vede) e lunghezza L (verso l’interno dello schermo). Il
momento torcente è dato da:
 
  r F

 Definiamo r1 e r2 come i vettori distanza dal centro della
spira verso sinistra e destra, essendo L la lunghezza totale.
r1
r2
w/2
w/2
x
F1
B
  
  1  2
F2
 I vettori 1 e 2 puntano entrambi all’interno della pagina.
Anche il momento totale punta all’interno della pagina.
w
w
w
w
0
0
  F1 sin 90  F2 sin 90  iLB  iLB  iwLB
2
2
2
2
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Calcolo del momento torcente
• Poichè wL è l’area A racchiusa dalla spira, allora
τ  IAB
B
• In generale, il momento torcente è:
 

τ  IA  B

dove

F
w
F
.
  AIB sin
r
r ×F
A = wL = area spira
• Notare: se A  B, sin = 0   = 0
 massimo quando
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A
x
A è parallelo a B
F
Applicazioni: strumenti ad indice
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Momento di Dipolo Magnetico
• Possiamo definire il momento di dipolo magnetico di
una spira percorsa da corrente come segue:
modulo :
direzione:
m  AI
 al piano della spira
nella direzione del pollice della
mano destra se le dita indicano la
direzione della corrente.
B
x

F

F
m
• Il momento torcente può quindi essere riscritto come:
  AIB sin

  
τ  μB
• Se vi sono N avvolgimenti (bobina), m = NAI
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.
Analogia con il dipolo Elettrico
F
+q
E

p
F
B
x
.
-q
  
τ  rF
F
F

.
m
  
τ  rF


F  qE


p  2qa
  
F  IL  B
  
τ  pE
  
τ  μB
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(per avvolgimento)
μ  NAI
Dipolo magnetico
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Leggi di Biot-Savart e di Ampère
P

r
R
i

dx
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i
x

dl
Leggi fondamentali per il calcolo di B
• Legge di Biot-Savart
• Legge di Ampere
(“forza bruta”)
(“elevata simmetria”)
• Esempio: campo generato da un filo rettilineo 
• da legge di Biot-Savart
• da legge di Ampere
• Forza esercitata su due conduttori paralleli
percorsi da corrente
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Analogia: Calcolo del Campo Elettrico
• due metodi di calcolo
– legge di Coulomb

E
1
q
rˆ
2
40 r
“forza bruta"
– legge Gauss
 
 0  E  dS  q
“alta simmetria"
Quali sono le analoghe equazioni per il
Campo Magnetico ?
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Calcolo del Campo Magnetico
• due metodi di calcolo
– legge di Biot-Savart
 μ0i ds  r
dB 
4π r 3

i
“forza bruta"
– legge di Ampere
 
 B  ds  m0i
“alta simmetria"
Sono equazioni analoghe
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Legge di Biot-Savart
dB  ds
esperimento:
dB
 r
ds

r
X
dB
dB  r
dB  1
dB  i
dB  ds
dB  sen  
... riassumendo in formula
i
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r2
I ds  rˆ
dB  km
2
r
Legge di Biot-Savart
dB
 r
ds

r
μ0 I ds  rˆ
I ds  rˆ
dB  km

2
r
4π
r2
Tm
permeabilità magnetica m0  4 107
2
A
1
X
dB
c
 0 m0
Il campo magnetico “è
distribuito” intorno al filo
i
La legge di B-S fornisce il valore del
campo magnetico generato in un
punto dall’elemento di corrente
I ds
Per calcolare il valore totale occorre sommare vettorialmente i
contributi di tutti gli elementi di corrente (integrare)
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B dovuto a un filo  rettilineo
• Calcoliamo il campo in P usando
la legge di Biot-Savart :
μ0i dx  r
dB 
3
4π r
Direzione di B ?

B   dB  


r
R

z
dx
i
x
μ0i (dx)r sin θ
4π
r3
Il risultato finale è:
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y P
μ0i
B
2πR
vediamo come ...
B dovuto a un filo  rettilineo
y
• Calcoliamo il campo in P
usando la legge di Biot-Savart
μ0i dx  r
dB 
3
4π r
Direzione di B ?

z
μ0i (dx)r sin θ
B   dB  
3
4
π
r

• scriviamo  in termini di R :
R
r
sin θ

R
tan θ 
x
1 

quindi, dx   R  
 dθ 
2
 sin θ 
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P

r
R

i
dx

x  R cot θ
r 2 dθ
dx 
R
x
B dovuto a un filo  rettilineo
π
B
0
P
μ0i dθ
sin θ
4π R

r

dx
π
μ0 I
B
sin θdθ

4πR 0
quindi,
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R

μ0i
B
2πR
i
μ0i
π
B
  cos θ 0
4πR
x
B dovuto ad un filo di lunghezza finita
P
1
2
y
i
y = lungh. segmento
B
2


1
2
m0 i
dB 
cos d

4 y 
1
2
m0 i
m0 i
B
sin 

sin 2  sin(1 )  
4 y
4 y

1
m0 i

sin 2  sin(1 )
4 y
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Esempio 1
Qual è il valore del campo magnetico
al centro della spira di raggio R, in cui
scorre una corrente i ?
(a) B = 0
(b) B = (m0i)/(2R)
i
R
(c) B = (m0i)/(2R)
Usiamo Biot-Savart per calcolare il campo magnetico al centro
 
della spira:

μ i ds r
dB 
0
4π
r3
Teniamo conto che:
• ids is sempre perpendicolare a r
• r è costante (r = R)
μ0i (ds ) R
μ0i
μ0i
μ0i
B   dB  

(2 π R) 
 ds 
3
2
2
4π R
2R
4π R
4π R
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Legge di Ampere
L’integrale di linea B·dl lungo un qualsiasi percorso chiuso
è uguale a m0I, con I corrente continua totale concatenata
col percorso chiuso.
 
“Elevata simmetria”  B  dl  m 0 I
Integrale lungo un cammino …
sperabilmente uno semplice

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Corrente “racchiusa” dal
cammino
I
B dovuto ad un filo rettilineo 
• Calcoliamo il campo a
distanza R dal filo usando
la legge di Ampere:
 B  ds  m i
• Scegliamo come linea chiusa un cerchio di
raggio R centrato sul filo in un piano  al filo.
– Perchè ?
• Il valore di B è costante (funzione di R
soltanto)
• La direzione di B è parallela al percorso.
0
dl
i  R
 
 B  ds  B(2πR)
– Calcoliamo l’integrale di linea:
– La corrente racchiusa dal percorso vale i
– Applichiamo la Legge di Ampere:
μ0 i
B

2πRB  μ0 i
2πR
La legge di Ampere semplifica il calcolo grazie alla simmetria
della corrente ! (assiale/cilindrica)
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Esempio 2
Una corrente i fluisce in un filo rettililineo
infinito nella direzione +z (vedi fig.). Un
cilindro infinito concentrico di raggio R porta
una corrente 2i nella direzione -z.
– Quanto vale il campo magnetico Bx(a) nel
punto a, appena al di fuori del cilindro ?
y
x
x
a
x
b
x
x 2i
i
x
x
x
x
(a) Bx(a) < 0
(b) Bx(a) = 0
(c) Bx(a) > 0
• Lo schema ha una simmetria cilindrica
• Applicando la legge di Ampere, si vede che il campo nel
punto a deve essere il campo prodotto
B
da un filo infinito percorso da
una corrente i nella direzione –z !
x
B
i
B
B
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Esempio 3
Una corrente i fluisce in un filo rettililineo
infinito nella direzione +z (vedi fig.). Un
cilindro infinito concentrico di raggio R porta
una corrente 2i nella direzione -z.
– Quanto vale il campo magnetico Bx(a) nel
punto b, appena dentro il cilindro ?
y
x
x
a
x
b
x
x 2i
i
x
x
x
x
(a) Bx(b) < 0
(b) Bx(b) = 0
(c) Bx(b) > 0
• Questa volta, il percorso di Ampere racchiude solo la corrente i
in direzione +z — il percorso è interno al cilindro !
• La corrente nel tubo cilindrico non contribuisce al valore di B
B
nel punto b.
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i
Domanda
• Come facciamo a verificare il risultato precedente ?
Ci aspettiamo che B generato dal filo sia  i/R.
• Misuriamo la FORZA agente sul filo che porta
la corrente, dovuta al campo B generato da UN
SECONDO FILO attraversato da corrente !
F
ib
d
ia
• Come dipende questa forza dalle correnti e dalla
distanza di separazione ?
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F su 2 Fili Paralleli
percorsi da corrente
• Calcoliamo la forza su una lunghezza L
del filo b dovuta al campo generato da a:
Il campo in b dovuto ad a è :
F
B
L
ib
d
ia
μ0ia
Modulo di F
 

Ba 
= Fb  ib L  Ba  m0ia ib L
agente su b
2πd
2d
• Calcoliamo la forza sulla lunghezza L
ib
L
del filo a dovuta al campo generato
da b:
ia
Il campo in a dovuto a b è :
μ0ib
 
Modulo
di
F
Bb 

= Fa  ia L  Bb  m0ia ib L
2πd
2d
agente su a
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d
B
F
Forza tra due conduttori paralleli
• Correnti parallele e concordi si attraggono,
mentre correnti parallele e discordi si
respingono.
• La forza che agisce tra le correnti è utilizzata per
definire l’ampere:
• L’Ampere è quella corrente costante che, se
mantenuta in due conduttori rettilinei di
lunghezza infinita, di sezione circolare
trascurabile, e posti ad 1 m di distanza,
producono su ognuno di questi conduttori una
forza pari a 2•10-7 N per m di lunghezza.
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B all’interno di un filo rettilineo infinito
•Supponiamo che una corrente totale i
xxxxx
scorra attraverso il filo di raggio a
verso l’interno dello schermo.
xxxxxxxx
•Calcoliamo B in funzione di r, la
distanza dal centro del filo.
xxxxxxxxx
r
xxxxxxxx
a
• Il campo B è funzione solo di r  scegliamo
un percorso circolare di raggio r:
•Corrente che scorre nella sezione di raggio r :
• Legge di Ampere :
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xxxxx
 
  B  dl  B(2 π r )
iracchiusa
 B  dl  μoiracchiusa 
r2
 2i
a
μ0i r
B
2 π a2
B all’interno di un filo rettilineo infinito
• All’interno del filo: (r < a)
yy =
a
b1(x);b 2(x)
b1(x);b2(x)
11
μ0i r
B
2
2π a
B
• All’esterno del filo: ( r > a )
μ0 i
B
2πr
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00
00
44
r
xx ==
xx
B di un Solenoide
• Un campo magnetico costante può essere prodotto (in
linea di principio) da una lamina  di corrente. In
pratica, però, si preferisce usare un solenoide.
L
• Un solenoide è caratterizzato da una
corrente I che score in un filo avvolto a
spirale n volte per unità di lunghezza intorno
ad un cilindro di raggio a e lunghezza L.
• Se a << L, B è, in prima approssimazione, contenuto
all’interno del solenoide, in direzione assiale, con
intensità costante. In queste condizioni (ideali),
calcoliamone il valore con la legge di Ampere.
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a
B di un Solenoide 
• Per calcolare il campo B di un solenoide  usando la
legge di Ampere, giustifichiamo l’ipotesi che B sia
nullo all’esterno del solenoide.
• Consideriamo il solenoide  come
xxxxxxxxxxx
composto da 2  lamine di corrente.
•
••••••••••••••
I campi risultano concordi nella regione interna e
discordi in quella esterna (cancellandosi).
l
• Disegnamo un percorso rettangolare
di l x w:
xxxxxxxx
 B  dl  Bl  solo il contributo di linterno  0
•••••••••••
I  nli
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
B  μ0 ni
w
Toroide
• Il Toroide è descritto da un
•
numero totale N di spire percorse
dalla corrente i.
•
• B=0 all’esterno ! (Supponiamo di
integrare B lungo un cerchio esterno) •
• Per trovare B all’interno, consideriamo un
cerchio di raggio r, centrato al centro del
toroide.
 
 B  dl  B(2 π r )
I  Ni
Applichiamo Ampere:
 
 B  dl  μ0 I 
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μ0 Ni
B
2πr
•
•
x
x
x
x
x
•
•
•
•
•
xx x
x x
•
x
x
r x
x
xx
• B•
•
•
•
Origini del magnetismo
moto orbitale elettroni:
complessivamente si cancella
momento intrinseco di spin:
sempre presente, in alcuni
materiali dà origine ad un
momento magnetico totale
macroscopico
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Effetto di magnetizzazione indotta
Proprietà magnetiche della materia
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