Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Progetto di un elemento in
C.A.P.:
Verifiche secondo il Metodo
Semiprobabilistico agli Stati
Limite
Bozza del 25/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
SOMMARIO
Anno Accademico 2007/08
Stati Limite Ultimi:
- Verifica a Flessione;
- Verifica a Taglio.
Stati Limite di Esercizio:
- Limitazione delle tensioni in esercizio;
- Fessurazione (Formazione delle Fessure);
- Deformazione.
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a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
Verifiche allo S.L.U.: Combinazioni di Carico
gq qk
gg (gk+g’k)
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Anno Accademico 2007/08
Verifica allo S.L.U. per Flessione
Mentre nelle strutture in c.a. la verifica alle
tensioni ammissibili avviene su sezione
parzializzata così come la verifica a rottura e,
quindi, il superamento delle sollecitazioni di
servizio non comporta una modifica del meccanismo
resistente, nelle sezioni precompresse, al crescere
dei carichi esterni, la sezione passa dalla situazione
integra a quella fessurata con una significativa
variazione di inerzia e di modulo resistente.
Ipotesi su cui si fonda la verifica allo S.L.U. per tensioni normali di un elemento in
C.A.P.:
- si assumono per il calcestruzzo e per l’armatura lenta gli stessi legami costitutivi e gli
stessi valori di deformazione ultima considerati per le sezioni in c.a. ordinario (ecu=0.0035,
esu=0.010);
- per l’armatura presollecitata può ancora adottarsi un legame tra tensione e deformazione
di tipo elastico-perfettamente plastico con limite elastico pari alla tensione limite elastica
convenzionale di progetto fpd ;
- la tensione di progetto si ottiene come per l’armatura lenta dividendo quella di
snervamento caratteristica (fpyk, fp(0.2)k, fp(1)k a seconda dei materiali) per il gm pari ad 1.15;
- la deformazione ultima deve tener conto dello stato di deformazione relativa tra
l’armatura presollecitata ed il calcestruzzo.
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a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2007/08
Verifica allo S.L.U. per Flessione
PRE- TENSIONE
La deformazione relativa iniziale edec,0 tra acciaio presollecitato e calcestruzzo è pari alla
deformazione iniziale dovuta alla pre-tensione. A questo valore va sottratto quello
relativo alle deformazione relativa acciaio-calcestruzzo che determina le cadute di
tensione  per effetti differiti:
edec  edec,0 
 sp

Es
Es
POST- TENSIONE
La deformazione relativa iniziale edec,0 tra
acciaio presollecitato e calcestruzzo è pari
alla deformazione iniziale è pari alla somma
della deformazione di trazione nell’armatura
e della deformazione di compressione del
calcestruzzo sulla stessa fibra.
Anche in questo caso bisogna sottrarre la variazione relativa di deformazione che si
traduce nella caduta di tensioni  per effetti differiti:
edec
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c0  sp c0

 edec,0 
 espi 



Es
Ec
Es
Es
Ec
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Anno Accademico 2007/08
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008 – EC2
Caduta di tensione per
effetti differiti nel
generico cavo o trefolo
c,Qp, i
N0 N0  e  e i



A
IG
Eccentricità del
cavo risultante
Contributo
del Ritiro
M Qp  e i
IG
Eccentricità del cavo
i-esimo di cui si valuta
la caduta di tensione
Contributo del
Rilassamento
E cm
f 
 22000  ck 
 10 
E p  195000 MPa
Contributo
della Viscosità
0. 3
zcp
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RISULTATI NUMERICI
- Cadute di tensione istantanee sez
cavo
xi
yi
ei
[cm]
[cm]
[cm]
tgai
ai
senai
cosai
s spi(i)
N0i
2
N0icosai
N0isinai
N0
e0
y
1
1
2
3
1600
1600
1600
140.00
110.00
80.00
-31.00
-1.00
29.00
0.1500
0.1250
0.0875
0.1489
0.1244
0.0873
0.1483
0.1240
0.0872
[kg]
[kg/cm ]
0.9889 12000 133780
0.9923 12000 178370
0.9962 12000 178370
2
1
2
3
1500
1500
1500
125.47
97.89
71.52
-16.47
11.11
37.48
0.1406
0.1172
0.0820
0.1397
0.1167
0.0818
0.1393
0.1164
0.0818
0.9903 11963.3 133371
0.9932 11968.7 177904
0.9967 11976.9 178026
132072
176695
177430
18573
20706
14555
486197
13.24
95.76
3
1
2
3
1400
1400
1400
111.88
86.56
63.59
-2.88
22.44
45.41
0.1313
0.1094
0.0766
0.1305
0.1089
0.0764
0.1301
0.1087
0.0763
0.9915 11926.7 132963
0.9941 11937.4 177439
0.9971 11953.7 177682
131832
176388
177164
17303
19292
13564
485384
23.95
85.05
4
1
2
3
700
700
700
42.97
29.14
23.40
66.03
79.86
85.60
0.0656
0.0547
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.9979 11669.2 130092
0.9985 11717.8 174176
0.9993 11791.8 175276
129813
173916
175147
8519
9511
6705
478876
78.21
30.79
5
1
2
3
0
0
0
20.00
10.00
10.00
89.00
99.00
99.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000 11415.3 127261
1.0000 11501.2 170955
1.0000 11631.7 172896
127261
170955
172896
0
0
0
471112
96.30
12.70
Bozza del 19/05/2008
[kg]
[kg]
[kg]
[cm]
[cm]
132300
176993
177691
19845
22124
15548
486984
1.80
107.20
Anno Accademico 2005/06
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RISULTATI NUMERICI
- Cadute di tensione per effetti differiti M*
[kgcm]
s c(i)
Ds r(i)
2
Ds v(i)
2
Ds ril(i)
2
2
Ds ril'(i)
2
Ds diff(i)
2
s sp(i)
2
Ni
Nicosai
Nisinai
N0
e0
y
[kg]
[kg]
[kg]
[kg]
[cm]
[cm]
b
[kg/cm ]
73.95
74.58
75.21
[kg/cm ]
600.00
600.00
600.00
[kg/cm ]
985.24
993.65
1002.05
[kg/cm ]
598.34
598.34
598.34
[kg/cm ]
400.73
399.68
398.64
[kg/cm ]
1985.97
1993.33
2000.69
[kg/cm ]
10014.03
10006.67
9999.31
111639.7 110405
148740.8 147095
148631.4 146987
16561
18449
12956
404487
1.71
107.29
1.20
3366600
73.26
75.30
77.25
600.00
600.00
600.00
976.12
1003.25
1029.19
579.15
581.92
586.18
388.40
387.04
386.84
1964.52
1990.29
2016.02
9998.83
9978.39
9960.83
111470.3 110384
148320.4 147312
148059.5 147564
15523
17263
12105
405260
13.20
95.80
1.20
6516000
74.00
77.11
79.93
600.00
600.00
600.00
985.96
1027.37
1064.94
560.33
565.78
574.17
374.06
372.95
374.24
1960.02
2000.32
2039.19
9966.71
9937.07
9914.55
111112.2 110167
147706.3 146831
147371.5 146941
14459
16060
11250
403939
23.89
85.11
1.21
22480200
97.13
102.11
104.17
600.00
600.00
600.00
1294.08
1360.41
1387.95
438.05
459.82
494.11
260.30
267.50
285.86
2154.38
2227.91
2273.81
9514.82
9489.93
9518.01
106074.4 105847
141059.8 140849
141477.2 141374
6946
7703
5412
388070
78.18
30.82
1.25
27801600
109.75
113.98
113.98
600.00
600.00
600.00
1462.32
1518.59
1518.59
334.07
367.45
421.68
183.19
198.23
229.67
2245.50
2316.82
2348.25
9169.78
9184.35
9283.44
102227.8 102228
136517.8 136518
137990.7 137991
0
0
0
376736
96.29
12.71
1.29
0
Bozza del 19/05/2008
Anno Accademico 2007/08
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
ESEMPIO NUMERICO: TRAVE POST-TESA
Valutazione della deformazione di decompressione edec
I valori delle tensioni nei cavi calcolati nella sezione di mezzeria al netto delle cadute di
0.3
tensione sono riportate nel seguito.
  fck  8 
co,s=0.69 MPa
Ec  9500  fck  8
1/3
Diagramma
tensioni al TIRO
Ep  200000 MPa
edec  edec,0 
Bozza del 25/05/2008
 35220 MPa
 34526 MPa
f ptk

1900
 1652 MPa
1.15
1300
fpd 
 1130.4 MPa
1.15
1.15


 espi  c 0 
Ep
Ec
sp

 c0
Ep
Ec
ei
p
c0
[cm]
[MPa]
[MPa]
1
89.0
942.61
12.452
0.005074
2
99.0
936.80
13.041
0.005062
3
99.0
946.49
13.041
0.005110
cavo
co,i=13.63 MPa


10
f pd 

ei
Ecm  22000  

edec
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2007/08
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO
Fase 1: Ricerca dell’asse neutro
Nc ( yc )  Ns ( yc )  Np ( yc )  0
1a iterazione:
yc  0.259  d  0.259  220  10   54.39 cm
deformazione di congruenza
Nc ( yc )  A( yc )  fcd' 208520  22 
Livello
As
yi
2
4597249.7 N
ep,i’
edec,i
ei
Ns ( yc ) 
i
N
[MPa]
[N]

dec,1=
0.00511

dec,2=

dec,3=
A
i
s,i
  s,i  121650 N

p,1'=
0.0094

p,1= 0.01448
0.00515

p,2'=
0.0100

p,2= 0.01516
0.00519

p,3'=
0.0100

p,3= 0.01521
armatura
[mm ]
[mm]
1
678
35
0.003275
330.43
224035
2
226
80.8
0.002980
330.43
74678
s p,1=
-1130.435 MPa
3
226
124.8
0.002697
330.43
74678
NP,1= -1260246.38 N
s p,2=
-1130.435 MPa
-1680297.1 N
4
226
230.8
0.002015
330.43
74678
NP,2=
5
226
490.8
0.000342
71.76
16217
s p,3=
-1130.435 MPa
NP,3=
-1680297.1 N
6
226
750.8
-0.001331
-279.59
-63188
7
226
1020.8
-0.003069
-330.43
-74678
8
226
1290.8
-0.004806
-330.43
-74678
9
226
1550.8
-0.006479
-330.43
-74678
10
226
1810.8
-0.008153
-330.43
-74678
11
226
2039.1
-0.009622
-330.43
-74678
12
452
2165
-0.010432
-330.43
-149357
Np ( yc )   Ap,i   p,i  4620840 N
i
N( yc,1 )  Nc ( yc,1 )  Ns ( yc,1 )  Np ( yc,1 )  145241 N
yc,1  
N1
145241

 74.86 mm
0.8  bw  f'cd 0.8  110  22.0
Anno Accademico 2007/08
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO
Fase 1: Ricerca dell’asse neutro
Nc ( yc )  Ns ( yc )  Np ( yc )  0
2a iterazione:
yc,2  yc,1  yc,1  0.259  d  61.88 cm
Nc ( yc,2 )  A( yc,2 )  fcd' 219300  22.0 
4834916 N
Ns ( yc,2 )   As,i   s,i  75773 N
ep,i’
edec
i
Livello
As
yi
i
N
armatura
[mm2]
[mm]
[MPa]
[N]
1
678
35
0.003302
330.43
224035
2
226
80.8
0.003043
330.43
74678
3
226
124.8
0.002794
330.43
74678
4
226
230.8
0.002194
330.43
74678
5
226
490.8
0.000724
152.00
34352
6
226
750.8
-0.000747
-156.84
-35446
7
226
1020.8
-0.002274
-330.43
-74678
8
226
1290.8
-0.003801
-330.43
-74678
9
226
1550.8
-0.005272
-330.43
-74678
10
226
1810.8
-0.006743
-330.43
-74678
11
226
2039.1
-0.008034
-330.43
-74678
12
452
2165
-0.008746
-330.43
-149357
ei

dec,1=
0.00511

p,1'=
0.0078

p,1= 0.01292

dec,2=
0.00515

p,2'=
0.0084

p,2= 0.01353

dec,3=
0.00519

p,3'=
0.0084

p,3= 0.01357
s p,1=
-1130.435 MPa
NP,1= -1260246.38 N
s p,2=
-1130.435 MPa
NP,2=
-1680297.1 N
s p,3=
-1130.435 MPa
NP,3=
-1680297.1 N
Np ( yc )   Ap,i   p,i  4620840 N
i
N( yc,2 )  Nc ( yc,2 )  Ns ( yc,2 )  Np ( yc,2 )  138302 N
yc,3  yc,1 
yc,2  yc,1
N2  N1
 N1  58.22 cm
Anno Accademico 2007/08
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO
yc,3  yc,1
3a iterazione:
yc,2  yc,1

 N1  58.22 cm
N2  N1
Nc ( yc,3 )  A( yc,3 )  fcd' 214040  22.0 
471899 N
Livello
As
yi
armatura
[mm2]
[mm]
1
678
35
2
226
3
Ns ( yc,3 )   As,i   s,i  96676 N
ep,i’
edec
i

dec,1=
0.00511

p,1'=
0.0085

p,1= 0.01363

dec,2=
0.00515

p,2'=
0.0091

p,2= 0.01427

dec,3=
0.00519

p,3'=
0.0091

p,3= 0.01432
s p,1=
-1130.435 MPa
NP,1= -1260246.38 N
i
N
[MPa]
[N]
0.003290
330.43
224035
80.8
0.003014
330.43
74678
s p,2=
-1130.435 MPa
NP,2=
-1680297.1 N
226
124.8
0.002750
330.43
74678
4
226
230.8
0.002113
330.43
74678
s p,3=
-1130.435 MPa
NP,3=
-1680297.1 N
5
226
490.8
0.000550
115.44
26089
6
226
750.8
-0.001013
-212.77
-48087
7
226
1020.8
-0.002636
-330.43
-74678
8
226
1290.8
-0.004259
-330.43
-74678
9
226
1550.8
-0.005822
-330.43
-74678
10
226
1810.8
-0.007385
-330.43
-74678
11
226
2039.1
-0.008757
-330.43
-74678
12
452
2165
-0.009514
-330.43
-149357
ei
Np ( yc,3 )   Ap,i   p,i  4620840 N
i
N( yc,3 )  Nc ( yc,3 )  Ns ( yc,3 )  Np ( yc,3 )  1473 N
yc,3  
N3
1473
H

 0.75 mm 
0.8  bw  f'cd 0.8  110  22.0
1000
Anno Accademico 2007/08
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO
MR,cd ( yc )  Ac  yG,c  fcd' 4192.65 kNm
Livello
As
yi
2
i
Ni
ei
MR,sd,i
[MPa]
[N]
[mm]
[Nmm]
0.003290
330.43
224035
1075.0
240837391
ei
armatura
[mm ]
[mm]
1
678
35
2
226
80.8
0.003014
330.43
74678
1029.2
76858866
3
226
124.8
0.002750
330.43
74678
985.2
73573023
4
226
230.8
0.002113
330.43
74678
879.2
65657127
5
226
490.8
0.000550
115.44
26089
619.2
16154269
6
226
750.8
-0.001013
-212.77
-48087
359.2
-17272797
7
226
1020.8
-0.002636
-330.43
-74678
89.2
-6661301
8
226
1290.8
-0.004259
-330.43
-74678
-180.8
13501830
9
226
1550.8
-0.005822
-330.43
-74678
-440.8
32918177
10
226
1810.8
-0.007385
-330.43
-74678
-700.8
52334525
11
226
2039.1
-0.008757
-330.43
-74678
-929.1
69383572
12
452
2165
-0.009514
-330.43
-149357
-1055.0
157571130
yG,c
MR,sd ( yc )   As,i   s,i  ei  774.85 kNm
i
cavo
ei
p
c0
[cm]
[MPa]
[MPa]
edec
p
Np,i
MRp,i
[MPa]
[N]
[Nmm]
1
89.0
942.61
12.45
0.005074
-1130.435
-1260246.4
1121619275
2
99.0
936.80
13.04
0.005062
-1130.435
-1680297.1
1663494130
3
99.0
946.49
13.04
0.005110
-1130.435
-1680297.1
1663494130
MR,pd ( yc )   Ap,i   p,i  ei  4448.61 kNm
i
MRd ( yc )  MRc,d ( yc )  MRs,d ( yc )  MRp,d ( yc )  9416.11 kNm
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
S.L.U. per Flessione - COMMENTI
Nel calcolo che è stato mostrato la ricerca dell’asse neutro e la valutazione del momento
MRd della sezione precompressa è stato valutato considerando anche il contributo
dell’armatura non pre-sollecitata. Questo fatto si giustifica con l’opportunità in questa
sede di mostrare il gioco dei vari contributi ed, in particolare, di far vedere come diversa
sia la determinazione della deformazione delle armature presollecitate (per le quali
bisogna sommare la deformazione di decompressione al valore che deriva dalla linearità del
diagramma delle sollecitazioni) e di quella dolce che va considerata in maniera simile a
quanto visto per il c.a. ordinario. In realtà si vede che il contributo dell’armatura “dolce” è
molto limitato rispetto agli altri due (nel caso in oggetto è minore del 10% rispetto al
totale).
In via semplificata esso potrebbe essere trascurato; nei casi in cui sia noto il centro di
degli sforzi di trazione allo S.L.U. (come quando le armature presollecitate sono
concentrate in una zona limitata) e quello delle tensioni di compressione (il baricentro
dell’ala superiore) il valore del momento ultimo può essere facilmente stimato come segue:
MR,d ( yc )  Ap fpd  d  s / 2  4620.84  2050  200 / 2  9010.64 kNm
Nel caso in esame, la stima del momento flettente tramite la formula semplificata
comporta un errore minore del 5% rispetto al valore ottenuto tramite il procedimento
rigoroso.
N.B.: nell’esempio numerico il valore di fpd è soltanto indicativo. Valori più realistici si
ottengono da fptk/gs ( 1900/1.15).
Anno Accademico 2007/08
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESO
Effetti benefici della precompressione sulla resistenza a taglio della trave:
Riduzione della
caratteristica
tagliante (per effetto
del tracciato
curvilineo del cavo)
Tensioni principali di
trazione ridotte per la
presenza dello stato di
sollecitazione di
compressione
 
Minore inclinazione
delle bielle compresse
di calcestruzzo per
effetto dell’azione di
compressione
 1

2 2
 2  42
C.A.O.
C.A.P.
Bozza del 18/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESO
y 

Limiti in termini di tensione principale di trazione
Ty Sx
Ix b
N Ne
M

y
y
A
I
I
tg  





S   b z
Nst  S  tg 
 ,0  0.02 Rckj
 ,0  0.08 Rckj
 ,1  0.02 Rck
 ,1  0.06 Rck
La
tensione
principale
di
trazione deve essere calcolata
sulle fibre dove è massima la  o
è minima la :
-la fibra baricentrica;
-la fibra di attacco tra anima ed
ala superiore (tiro) o inferiore
(esercizio).
S  

Nst  st nst nb s   b z tg    b z
Bozza del 18/05/2008
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2007/08
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESO
- esempio numericoEc =
2
500 kg/cm
2
345253 kg/cm
EP=
s c0=
2
2000000 kg/cm
2
240 kg/cm
s c0t=
s c1=
2
40 kg/cm
2
190 kg/cm
s c1t=
2
30 kg/cm
Rck=
Corda 1
Corda 2
Limitazione su :
0,02Rck=
2
10 kg/cm
Corda 3
Limitazione su :
0,24Rck=
Bozza del 18/05/2008
2
120 kg/cm
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA PRE-TESO
Effetti benefici della precompressione sulla resistenza a taglio della trave:
Riduzione della
caratteristica
tagliante (per effetto
del tracciato
curvilineo del cavo)
I cavi hanno
generalmente
tracciato rettilineo
Bozza del 18/05/2008
Tensioni principali di
trazione ridotte per la
presenza dello stato di
sollecitazione di
compressione
Minore inclinazione
delle bielle compresse
di calcestruzzo per
effetto dell’azione di
compressione
“[…] Nella verifica a taglio delle travi la cui armatura sia
ancorata per aderenza non si dovrà tenere conto
della precompressione nel tratto terminale compreso fra la
testata ed una sezione posta a distanza della
testata stessa pari a settanta volte il maggior diametro
(effettivo od equivalente) sia per i fili ad aderenza
migliorata sia per trecce o trefoli.
In questo tratto, nei riguardi delle sollecitazioni
tangenziali e del calcolo delle staffe e delle eventuali
armature longitudinali aggiunte, valgono i criteri adottati
per le opere in conglomerato cementizio armato
normale di cui al punto 3.1. […]”
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Verifica allo S.L.U. per TAGLIO
Resistenza in assenza di armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2007/08
Verifica allo S.L.U. per TAGLIO
Esempio numerico
k  1
 cp
200
 1.309
2100
 min  0.035  k 3/ 2 fck 1/ 2  0.035  1.303/ 2 401/ 2  0.329
gPN
0.9  4045  103


 6.20 MPa  0.2 fck  0.2  40  8.0 MPa
2
A
6528  10
1/ 3


100



f



l
ck 
VRd  0.18  1.302 
 0.15 cp   80  2100  553.23 kN
1.5




1.3   g k  g'k   1.5  qk
VEd 
 L  0.9  N  sin a 
2
1.3   16.32  5.40   1.5  14

 32  0.9  480  356.09 kN
2
Nel caso preteso il contributo dello sforzo di precompressione deve essere
trascurato in prossimità degli appoggi e per una distanza di 70 diametri.
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Anno Accademico 2007/08
Verifica allo S.L.U. per TAGLIO
Esempio numerico
Anno Accademico 2007/08
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Verifica allo S.L.U. per TAGLIO
Progetto dell’armatura trasversale
Resistenza di calcolo con armatura trasversale
VRcd
f
ctga  ctg
 0.9  d  bw  a c  cd 
2
1  ctg 2
A
VRsd  0.9  d  sw  f sd  ctga  ctg   sin a
s
VRcd     VEd
pst,max
1
1   f
cp
cd

ac  
1.25

 2.5  1  cp f cd


1.0  ctg  2.5
Asw
 s  0.9  d 
 fsd  ctg
VEd

per
per
per
per
cp  0
0  cp  0.25f cd
0.25f cd  cp  0.5f cd
0.5f cd  cp  f cd