SPIRALI…DIAMO
Una sola procedura (da modificare) e tantissime spirali eseguite con la tartaruga del logo
CLASSE IV B scuola primaria statale “G. Garibaldi”,
Genova, a.s. 2005/2006
Un “grazie” per l’ospitalità nel Tartapelago, moderato dal prof. Giorgio Pietrocola e
amministrato dal prof. Claudio Rosanova
12/02/2006
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
1
LA SPIRALE IN MATEMATICA
In matematica la spirale è una curva piana che
si avvolge attorno a un punto fisso, detto polo
della spirale.
Il primo ad aver studiato le spirali è stato
Archimede.
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
2
PROCEDURA UTILIZZATA
Per spirale :lato :angolo
se :lato > 180 [stop]
a :lato
d :angolo
spirale :lato +3 :angolo
Fine
Cambiando a piacere la misura del lato (con un numero compreso tra 5 e 150),
calcolando la misura dell’angolo esterno di alcuni poligoni regolari e variando la
quantità da aggiungere al lato per creare la spirale, abbiamo costruito tante spirali
diverse e ci siamo divertiti a scegliere sia il colore per lo sfondo e per la penna sia
la dimensione della penna; nelle diapositive seguenti abbiamo inserito le spirali
poligonali che ci sono piaciute di più e che hanno suscitato la nostra curiosità.
Scriviamo il comando dato alla tartaruga per ogni nostra spirale, anche se non
precisiamo le piccole modifiche fatte, di volta in volta, da noi nella procedura,
perché preferiamo che ognuno le possa scoprire da solo. (La maestra Ivana dice
che non si deve togliere agli altri il piacere delle proprie scoperte.)
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
3
Precisazione da parte
dell’insegnante
Non avendo detto ai bambini che nella procedura assegnata avrebbero
potuto modificare anche la direzione dell’angolo, essi sono giunti a
realizzare, comunque, spirali che procedono anche in senso antiorario,
senza neanche adoperare i numeri negativi, scoprendo così, insieme con
l’insegnante, altre proprietà seguite dalla tartaruga.
Come sostiene il grande Seymour Papert “la matematica costituisce un
modo di pensiero attivo” e “il LOGO è un modo per dare ai bambini, e anche
a chiunque altro, agli adulti come ai bambini, il controllo del computer “.
Condivido anche le parole dell’esperto Giorgio Pietrocola: “Riflettendo sulle
costruzioni eseguite con la tartaruga, al variare dei valori assegnati
inizialmente capita spesso, sia agli alunni sia agli insegnanti, di scoprire
empiricamente strane e insospettate leggi. Queste situazioni risultano molto
educative, perché permettono di introdurre naturalmente alle problematiche
scientifiche."
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
4
SPIRALE POLIGONALE
TRIANGOLARE
(procede in senso orario)
spirale 20 120
Alessandro e Francesco
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
5
SPIRALE POLIGONALE
TRIANGOLARE speciale
(anche i bracci procedono in senso orario)
spirale 25 121
Jampierre e Giuliano
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
6
SPIRALE POLIGONALE
TRIANGOLARE speciale
(procede in senso orario, ma i suoi tre bracci procedono in senso antiorario)
spirale 30 118
Francesco e Marius
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
7
SPIRALE POLIGONALE
TRIANGOLARE
( procede in senso antiorario)
spirale 5 240
Luca e Kemmer
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
8
SPIRALE POLIGONALE
TRIANGOLARE speciale
(procede in senso antiorario, ma i suoi tre bracci procedono in senso orario)
spirale 10 241
Luca e Kemmer
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
9
SPIRALE POLIGONALE
TRIANGOLARE speciale
(procede in senso antiorario e anche i suoi tre bracci procedono in senso antiorario)
spirale 40 239
Alessandro e Jair
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
10
SPIRALE POLIGONALE
QUADRATA
( procede in senso orario)
spirale 45 90
Gianfranco e Marius
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
11
SPIRALE POLIGONALE
QUADRATA speciale
(procede in senso orario e anche i bracci procedono in senso orario)
spirale 35 92
Giada e Jair
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
12
SPIRALE POLIGONALE
QUADRATA speciale
(procede in senso orario, mentre i bracci procedono in senso antiorario)
spirale 15 88
Giada e Giuliano
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
13
SPIRALE POLIGONALE
QUADRATA
(procede in senso antiorario)
spirale 10 270
Gianfranco e Matteo
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
14
SPIRALE POLIGONALE
QUADRATA speciale
(procede in senso antiorario e anche i bracci procedono in senso antiorario)
spirale 12 269
Matteo e Giada
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
15
SPIRALE POLIGONALE
QUADRATA speciale
(procede in senso antiorario, mentre i bracci procedono in senso orario)
spirale 50 271
Matteo e Jampierre
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
16
SPIRALE POLIGONALE
PENTAGONALE
(procede in senso orario)
spirale 21 72
Giuliano, Kemmer e Jampierre
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
17
SPIRALE POLIGONALE
PENTAGONALE speciale
(procede in senso orario, mentre i bracci procedono in senso antiorario)
spirale 8 71
Luca e Francesco
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
18
SPIRALE POLIGONALE
PENTAGONALE speciale
(procede in senso orario e anche i bracci procedono in senso orario)
spirale 16 73
Gianfranco e Jair
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
19
SPIRALE POLIGONALE
PENTAGONALE
(procede in senso antiorario)
spirale 31 288
Alessandro e Marius
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
20
SPIRALE POLIGONALE
PENTAGONALE speciale
(procede in senso antiorario, mentre i bracci procedono in senso orario)
spirale 9 289
Giada e Gianfranco
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
21
SPIRALE POLIGONALE
PENTAGONALE speciale
(procede in senso antiorario e anche i bracci procedono in senso antiorario)
spirale 8 287
Matteo e Giuliano
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
22
SPIRALE POLIGONALE
ESAGONALE
(procede in senso orario)
spirale 100 60
Luca
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
23
SPIRALE POLIGONALE
ESAGONALE SPECIALE
( procede in senso orario, mentre i bracci procedono in senso antiorario)
spirale 6 59
Jampierre e Kemmer
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
24
SPIRALE POLIGONALE
ESAGONALE SPECIALE
( procede in senso orario e anche i bracci procedono in senso orario)
spirale 18 61
Giada, Giuliano e Jampierre
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
25
SPIRALE POLIGONALE
ESAGONALE
( procede in senso antiorario)
spirale 27 300
Luca, Kemmer e Jair
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
26
SPIRALE POLIGONALE
ESAGONALE SPECIALE
(procede in senso antiorario, mentre i bracci procedono in senso orario)
spirale 33 301
Francesco, Gianfranco e Marius
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
27
SPIRALE POLIGONALE
ESAGONALE SPECIALE
(procede in senso antiorario e anche i suoi i bracci procedono in senso antiorario)
Spirale 68 299
Alessandro e Matteo
Autori: Classe IV B
Insegnante: Niccolai
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Le nostre riflessioni collettive 1/8
Giocando a costruire spirali con la tartaruga, abbiamo
diviso 360° per il numero dei lati di un poligono regolare,
per calcolare la misura dell’angolo esterno di quel poligono
considerato e abbiamo capito che questo calcolo è usato
dalla tartaruga anche per costruire spirali poligonali.
Esempi:
360°/3 = 120° (misura dell’angolo esterno del triangolo
equilatero)
360°/5 = 72° (misura dell’angolo esterno del pentagono
regolare)
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29
Le nostre riflessioni collettive 2/8
Con tale legge geometrica, seguita dalla tartaruga, abbiamo
costruito le nostre spirali poligonali di 3, di 4, di 5, di 6,
ecc. lati, perché con questa legge la tartaruga costruisce
spirali poligonali con il numero di lati che si vuole (noi ci
siamo limitati a inserire qui poche spirali poligonali, perché
la presentazione diventava troppo pesante).
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Le nostre riflessioni collettive 3/8
Ci siamo accorti che facendo andare avanti la tartaruga di un
numero di passi sempre maggiore (siamo arrivati a provare
fino a 150), l’occhio poligonale interno della spirale diventa
sempre più grande e la spirale presenta meno volute (si
avvolge sempre di meno attorno al nucleo centrale), in
quanto, in base alla procedura scritta, quando si arriva a
superare i 180 passi la tartaruga si ferma.
Abbiamo cambiato anche il numero dei passi che, a ogni
voluta, la tartaruga aggiunge per costruire la spirale;
diminuendo tale numero, diminuisce la distanza tra le volute
della spirale, mentre aumentando tale numero aumenta la
distanza tra le volute della spirale.
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Le nostre riflessioni collettive 4/8
Abbiamo osservato, soprattutto, che aumentando di uno o di
due gradi la misura dell’angolo esterno di una qualsiasi spirale
poligonale, (triangolare, quadrata, pentagonale ecc.), sono ben
visibili i bracci curvi (tanti quanti sono i lati della spirale
poligonale), bracci che, partendo dal centro verso i vertici,
vanno da sinistra a destra (quindi in senso orario); invece
diminuendo di uno o di due gradi la misura di tale angolo
esterno, appaiono sempre i bellissimi bracci curvi, ma, partendo
dal centro verso i vertici, procedono in senso antiorario, cioè da
destra a sinistra.
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Le nostre riflessioni collettive 5/8
Riflettendo insieme con la maestra Ivana e con i nostri
compagni di classe quinta, abbiamo capito che è possibile
costruire spirali poligonali che vanno in senso orario, ma
anche spirali poligonali che vanno in senso antiorario; per
costruire la spirale triangolare che procede in senso antiorario
si può moltiplicare la misura dell’angolo esterno del triangolo
equilatero per 2; nella spirale quadrata la misura dell’angolo
esterno del quadrato va moltiplicata per 3; nella spirale
pentagonale regolare la misura dell’angolo esterno del
pentagono regolare va moltiplicata per 4 ecc. Così facendo si
ottiene lo stesso risultato che si otterrebbe sottraendo a 360° il
quoziente della divisione tra 360° e il numero dei lati del
poligono considerato.
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Le nostre riflessioni collettive 6/8
Esempi (realizzati insieme con i
compagni di classe V)
360°/3 * (3 – 1) = 360° – 360°/3 = 240°
360°/4 * (4 – 1) = 360° – 360°/4 = 270°
360°/5 * (5 – 1) = 360° – 360°/5 = 288°
360°/6 * (6 – 1) = 360° – 360°/6 = 300°
Ecc.
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Le nostre riflessioni collettive 7/8
Se si aumenta di uno o di due gradi l’angolo che noi
abbiamo utilizzato per costruire spirali poligonali che
procedono in senso antiorario, i bracci emergono in
senso orario, mentre diminuendo di uno o di due gradi
tale angolo, anche i bracci emergono, dal centro verso i
vertici, in senso antiorario.
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Le nostre riflessioni collettive 8/8
Abbiamo classificato le SPIRALI POLIGONALI, da noi costruite,
in due gruppi, a loro volta suddivisi ciascuno in due sottogruppi:
PRIMO GRUPPO
SPIRALI
SECONDO GRUPPO
che procedono in senso orario
SPIRALI che procedono in senso antiorario
SOTTOGRUPPO
SPIRALI
SOTTOGRUPPO
che procedono in senso orario, con i
SPIRALI
che procedono in senso antiorario,
bracci emergenti in senso orario
con i bracci emergenti in senso orario
SOTTOGRUPPO
SOTTOGRUPPO
SPIRALI
che procedono in senso orario, con i
bracci emergenti in senso antiorario
SPIRALI
che procedono in senso antiorario,
con i bracci emergenti in senso antiorario
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CONCLUSIONE
Forse l’avete già capito, comunque lo ammettiamo:
abbiamo scelto, come “modello struttura” per le nostre
diapositive, le volute del capitello ionico (che
generalmente sporgono al di sotto del margine inferiore
dell'echino), perché ci ricordano… le SPIRALI!!!
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