Per poliedro si intende un solido la cui superficie è
costituita da un certo numero di facce poligonali
Formula di Eulero (1707 – 1783)
V+F–S=2
(V: num. dei vertici, F: n. delle facce, S: n. degli spigoli)
Un poliedro si dice regolare se tutti i poligoni sono regolari e
tutti gli angoloidi sono uguali
La formula di Eulero è valida per poliedri “semplici” , cioè poliedri la
cui superficie può essere trasformata per deformazione continua
nella superficie di una sfera
1
Servendosi della formula di Eulero, si trova che non esistono
più di cinque poliedri regolari
Infatti
Supponiamo che un poliedro regolare abbia F facce, ciascuna
delle quali sia un poligono regolare di n (n ≥ 3) lati e che a
ciascun vertice si incontrino r (r ≥ 3) spigoli
n•F =2•S (ogni spigolo appartiene a due facce)
r•V = 2•S (ogni spigolo contiene due vertici)
e inoltre
da cui
2•S
n
...
(*)
+
2•S _ S =
2
r
1/n + 1/r = 1/2 + 1/S
ma n ed r non possono essere entrambi maggiori di 3 altrimenti
la formula (*) non è valida per ogni valore positivo di S
allora se r = 3, i valori che può assumere n sono 3, 4 o 5 e
S : 6, 12 o 30 (tetraedro, cubo, dodecaedro)
se n = 3, i valori che può assumere r sono 3, 4 o 5 e
S : 6, 12 o 30 (tetraedro, ottaedro, icosaedro)
2
I cinque poliedri convessi regolari ( solidi Platonici )
tetraedro
esaedro
o cubo
ottaedro
dodecaedro
icosaedro
Sulla porta d’ingresso della scuola di Platone era scritto
“Non entri nessuno che sia ignorante di geometria”
3
L’angoloide in V
diminuisce
V
L’angoloide in V
aumenta
V
L’angoloide in V “si
schiaccia” sul
piano
α
β
γ
La somma degli angoli che delimitano un
angoloide deve essere minore di 360°
4
Tre triangoli equilateri concorrono in un vertice
3• 60° = 180°
Tre quadrati concorrono in un vertice
3• 90° = 270°
Quattro triangoli equilateri concorrono in un
vertice
4• 60° = 240°
5
Tre pentagoni regolari concorrono in un vertice
3• 108° = 240°
Quattro triangoli equilateri concorrono in un
vertice
4• 60° = 240°
6
Poligoni: somma degli angoli esterni di un poligono
Facciamo una semplice
osservazione: se cammino
attorno ad un edificio di
forma poligonale, mi ritrovo
alla fine al punto di partenza
.....
7
Un modo dinamico per vedere la somma degli angoli interni di un
triangolo
8
9
Tassellatura di Penrose
10