Avvio alla moltiplicazione (in 2a)
e sviluppi progressivi (in 3a e 4a)
Como, 7 febbraio 2012
La progressione della
moltiplicazione
(Classe 3a )
La moltiplicazione e l'addizione sono due operazioni essenzialmente diverse,
anche se, operativamente, posso sostituire la moltiplicazione con un'addizione
iterata (che l’allievo può scoprire per conto proprio, contrariamente al concetto
di prodotto).
7
12
L'addizione corrisponde alla riunione La moltiplicazione è la messa in
di due insiemi disgiunti.
relazione di ogni elemento di un
insieme con ogni elemento di un altro
insieme, essa è legata al prodotto
cartesiano.
OBIETTIVI
(Apprendimento della moltiplicazione dalla 2a alla 4a elementare)
- Capire il concetto di moltiplicazione come prodotto di una
combinatoria in cui ogni elemento di un insieme è messo in relazione
con i singoli elementi di un altro insieme.
- Introdurre l'operatore x simultaneamente alla duplice scrittura:
3x4=
3
.x 4
- Istituzionalizzare il termine prodotto.
- Scoprire uguaglianze e diversità tra addizione e moltiplicazione.1
Se aggiungo un elemento ad un insieme, risultato (nell'addizione) e prodotto (nella
moltiplicazione) come cambiano?
Se inverto i termini dell'operazione, cosa succede? (commutatività)
[1] Osservazione:
L'addizione reiterata (somma di addendi uguali) interviene in un secondo tempo. Essa non è in nessun caso suggerita dal docente, ma viene accettata al
momento in cui è proposta dagli allievi (ciò avviene sempre, in genere).
OBIETTIVI
(Apprendimento della moltiplicazione dalla 2a alla 4a elementare)
- Costruire e capire cosa sia una tavola a doppia entrata attraverso l'uso di
varie rappresentazioni grafiche.
- Costruire la tavola pitagorica e analizzare le sue particolarità (coppie di
prodotti, simmetria).1
-
Apprendimento delle caselline (automatismo).
- Costruzione di algoritmi spontanei per la risoluzione di moltiplicazioni
scritte.
-
Primi accenni al concetto di area
(Si tratta di aspetti impliciti nelle azioni precedenti che si ricollegano con quanto affrontato
in geometria). Quando ho trovato la forma della "coperta rettangolare" e ho determinato
lunghezza e larghezza, non posso calcolare la somma, ma devo trovare il prodotto.
(Basandoci sulle "griglie" costruite possiamo inoltre associare i concetti di verticale e
orizzontale.)
[1] E' consigliabile costruire prima la tavola soltanto con i primi 5 numeri in modo che si ha un numero inferiori di dati sui quali fare le prime scoperte (non
viene quindi insegnata prima la casellina del 2, poi del 3 ecc…. . Si inizierà con le caselline “facili” per passare poi a quelle “difficili”)
IL GIOCO DELLE COMBINAZIONI
Accidenti! Che disordine!
Prova a metterli in ordine per tipo
IL GIOCO DELLE COMBINAZIONI
Adesso per colore
Ora per colore e per tipo
IL GIOCO DELLE COMBINAZIONI
Adesso proviamo con 4 colori e 6 oggetti
Per tipo
Per colore
… E adesso per tipo e colore
ISTITUZIONALIZZAZIONE
Questa è la
rappresentazione che
noi usiamo
IL GIOCO DELL’ANTICIPAZIONE
Prova tu adesso ad anticipare la soluzione
5 MEZZI DI TRASPORTO, 8 COLORI
SOLUZIONE: ....................................
5 OGGETTI, 3 COLORI
SOLUZIONE: ....................................
..... ADESSO CON 7 OGGETTI
SOLUZIONE: ....................................
PROVIAMO CON I NUMERI
COSTRUISCI TUTTE
LE CASELLINE CHE
TI VENGONO IN
MENTE
La costruzione delle CASELLINE
Combina in tutti i modi possibili
1,2,3,4,5 ... fino a 25
La costruzione delle CASELLINE
IL GIOCO DELLE CASELLINE
25
Sovrapponi le tabelle scoperte fino al
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
3
6
9
12
15
4
8
12
16
20
5
10
15
20
25
Mescolare tre giochi e poi rimettere assieme in modo ordinato
CASELLINE FACILI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
6
9
12
15
30
4
8
12
16
20
40
5
10
15
20
25
50
6
12
60
7
14
70
8
16
80
9
18
90
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
CASELLINE DIFFICILI
18
21
24
27
24
28
32
36
30
35
40
45
18
24
30
36
42
48
54
21
28
35
42
49
56
63
24
32
40
48
56
64
72
27
36
45
54
63
72
81
Memorizzazione delle caselline
(automatismi)
Il gioco delle carte colorate
Preparare tante carte come questa
Prova a vedere, quanti sono?
Scrivi il risultato
nell’ultima casellina
… Quanto sei bravo?
Scrivi il risultato
nella casellina rossa
4
6
… Infine solo con i numeri
Due modi di rappresentare
4X 4X6=
6=
1.Abbandono della rappresentazione grafica
2.Si mantiene il quadratino (per marcare il collegamento con le
precedenti attività)
3.Inevitabilmente questo percorso sarà compiuto dai bambini in
tempi diversi.
4.Va seguito il percorso senza interruzione per permettere al
bambino di collegare meglio le diverse esperienze. Il lavoro fatto la
settimana prima deve quindi essere rievocato.
La moltiplicazione
E’ essenziale che gli allievi (soprattutto
quelli meno esperti) possano associare una
rappresentazione grafica (es. tavola a
doppia entrata) o una scrittura simbolica
a un’azione direttamente vissuta.
Prima di imporre una scrittura
convenzionale (es. 5x4) il bambino
dovrebbe essere posto nella
condizione di trovarne, inventarne
una propria (es. algoritmi spontanei).
Affinché ciò sia possibile, egli deve
incontrare l’ostacolo (il concetto)
all’interno di una situazione.
La moltiplicazione
Obiettivo
Con quali numeri (entro il 100) posso
costruire delle "forme"?
7
20
14
(3x2)+1
6 +1
11
11
11
31
La moltiplicazione
Esempio
1. Situazione introduttiva
Abbiamo tanti pezzi di lana, di forma quadrata e desideriamo formare, cucire, delle coperte
(rettangolari).
Consegna:
Dovremo avere tre tipi di coperte:
- larghe 4 (per i letti dei bambini),
- larghe 7 (per letti a una piazza),
- larghe 9 (per letti “francesi”) ,
- larghe 12 (per i letti a due piazze).
La lunghezza può variare, guardate un po’ voi (pensate alle misure dei letti).
Cercate la varie soluzioni possibili e calcolate quanti quadrati sono necessari per ogni modello.
2. Situazioni di sviluppo
- Con 94 pezze che possibilità ho di ... avendo minor spreco ...
- Sono state ordinate 5 coperte del modello “bambini” e 7 del modello “francese” , ....
ecc...
3. Situazioni “astratte”
- Con quali numeri (numero di pezze) posso formare delle coperte a una piazza senza nessun
spreco ?
Sviluppi ulteriori (in 4a)
(Apprendimento della moltiplicazione)
- Addizione e moltiplicazione nella scomposizione di quantità numeriche:
14
3x2 + 6x4 + 3 = 33
oppure
3x6 + 3x4 + 3
4x3 + 2
L'associazione delle due operazioni è quanto è già stato probabilmente
messo in atto dagli allievi durante l'invenzione di alcuni algoritmi spontanei.
In ogni caso le due operazioni saranno coinvolte al momento
dell'apprendimento dell'algoritmo tradizionale.
Sviluppi ulteriori (in 4a)
(Apprendimento della moltiplicazione)
- Attività con le grandi collezioni:
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
x x x14
x xxx15
xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
xx xxxx xxxx xxxx
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
10x16 + ......
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Inversamente:
"Trovate il numero corrispondente a 46 x 25"
ecc.....
Sviluppi ulteriori (in 4a)
(Apprendimento della moltiplicazione)
- Attività di approssimazione (controllo) sulla base dei
prodotti conosciuti.
- "Dall'algoritmo spontaneo all'algoritmo tradizionale."
Apprendimento della tecnica tradizionale sulla base delle conoscenze
sviluppato durante tutte le attività precedenti.
(Non avere fretta di arrivare alla moltiplicazione tradizionale!)
- Calcolo delle superfici:
- Attività di scoperta su altri algoritmi possibili (in particolare
quello mussulmano).
ALGORITMO CONVENZIONALE MUSULMANO
(Soltanto in 4a-5a!)
835 x 43=35.905
8
3
5
3
3
5
1
2
2
2
2
0
1
4
9
0
9
0
5
4
3
5
“Di algoritmi convenzionali ce ne sono e ce ne sono stati diversi, a dipendenza
delle culture e dei paesi. Ecco quello chiamato “musulmano”.
(Portiamo gli allievi ad approfondire il senso dell’algoritmo da un lato e dall’altro
proponiamo una interessante attività di ricerca-scoperta.
“Ora, dopo aver prima eseguito la moltiplicazione come la svolgiamo noi,
guardate quest’altro modo e cercate di capire se funziona e come funziona.
Mettetevi a coppie.”