“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di
Pitagora; l’altro è la divisione di un segmento secondo il
rapporto medio ed estremo.
Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro,
e definire il secondo una pietra preziosa.”
Keplero
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DE DIVINA PROPORTIONE
La geometria nell’antica Grecia era strettamente legata
all’architettura e tutte le conoscenze geometriche venivano
utilizzate per edificare costruzioni all’avanguardia. Grande
importanza veniva data dai Greci all’armonia nelle proporzioni
delle figure geometriche e, di conseguenza, tra elementi
architettonici.
Sembra impossibile esprimere l’armonia con una quantità matematica
eppure la proporzione perfetta dal punto di vista estetico esiste ed è
quella utilizzata dalla natura per costruire innumerevoli suoi
componenti. Piante, conchiglie, persino le falangi degli esseri umani,
seguono in qualche modo i rapporti di questa proporzione, che per la
sua intrinseca perfezione viene definita sezione aurea……
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Andrea Palmieri
Federico Zei
II C
Agostino Biondo
SEZIONE
AUREA
Edoardo Antonini
Riccardo Casini
Daniele Pellegrini
Maurizio Mostacci
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LA SEZIONE AUREA
La sezione Aurea di un segmento è la sua porzione
(AB), media proporzionale tra il segmento stesso
(AC) e la parte del segmento rimanente (BC)
A
B
C
AC : AB = AB : BC
Assegnando, dunque, alla porzione di segmento in
sezione aurea (AB) il valore “x”, e alla porzione
rimanente (BC) il valore 1, traduciamo l’enunciato
appena formulato in proporzione algebrica.
Chiaramente il segmento intero (AC), sarà dato dalla
somma tra x e 1
1 : x = x : (x + 1)
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DERIVAZIONE MATEMATICA
Il numero 1,618033.. è il numero che esprime il rapporto aureo e si indica con φ
1 .: 0xx2= xx2.:-(x+-1 )
x=
_____
__________
1 + √1 +5 4 ≈ 1,618033…
2
1. Partiamo dalla proporzione appena ottenuta
2. Data la proprietà delle proporzioni per cui il
prodotto dei medi è uguale al prodotto degli
estremi …
3. … riduciamo l’equazione così ottenuta in
forma normale
4. Risolviamo, quindi, l’equazione di secondo
grado con la nota formula, prendendo in
considerazione il valore ottenuto dall’addizione
della radice di 5 e non quello ottenuto dalla
sottrazione poiché la “x”, che è la lunghezza di un
segmento, può avere solamente valori positivi
5. Il numero ottenuto è irrazionale, ne
ricaviamo un’approssimazione.
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COSTRUZIONE GEOMETRICA
C
D
A
M
E
1. Tracciamo il segmento AB.
2. Innalziamo da B la perpendicolare al
segmento AB
3. Individuiamo il punto medio M e centrando il
compasso in B tracciamo l’arco di raggio BM
individuando sulla perpendicolare il punto C.
4. Congiungiamo A con C
B
5. Centriamo in C con apertura di
compasso CB e tracciamo un arco che
interseca il segmento AC nel punto D
6. Centriamo in A con apertura di
compasso AD e descriviamo un arco che
interseca il segmento AB nel punto E
7. Il segmento AE è la sezione
aurea di AB
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I NUMERI DI FIBONACCI
Leonardo da Pisa, detto anche “Leo” Fibonacci è stato uno dei più grandi matematici
italiani.
Tra le altre cose, inventò una successione di numeri, ognuno dei quali si ottiene dalla somma dei
due precedenti, scegliendo di partire da 0 e 1. La successione dei primi numeri di Fibonacci,
quindi, sarà:
0+1 = 1
+1 = 2
+1 = 3
+2 = 5
+3 = 8
+5 = 13
+8 = 21
+13 = 34
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
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LA SEZIONE AUREA E
FIBONACCI
Abbiamo appena definito la sequenza dei numeri di Fibonacci.
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
Proviamo a trovare il rapporto fra ciascun numero ottenuto e quello che lo precede nella sequenza
(escludiamo la prima coppia perché non ha senso dividere per 0).
Riportiamo su un grafico cartesiano i valori decimali
1
13
___ = 1,625
__
= 1
dei rapporti così ottenuti in corrispondenza delle
8
1
coppie utilizzate
__
2
1
__
3
2
5
___
3
8
___
5
=
2
=
1,5
=
1,66..
=
1,6
21
___
13
34
___
21
55
___
34
=
1,6153..
2
1,7
=
1,6190..
=
1,6176..
1,6
1,5
1
1/1
2/1
3/2
5/3
8/5 13/8 21/13 34/21 55/34
Il grafico mostra come i rapporti così ottenuti tendano
al numero aureo ottenuto in precedenza
8
(φ≈1,618033…), senza però mai raggiungerlo…
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PENTAGRAMMA
D
L
E
I
F
C
H
G
A
B
1 Dato il pentagono regolare ABCDE tracciamo le sue diagonali. Queste si intersecano nei punti
FGHIL. La figura così ottenuta prende il nome di pentagramma.
2 Analizzando i rapporti all’ interno del pentagramma, ritroviamo che tutti e cinque i lati del
pentagono esterno sono in sezione aurea rispetto alle diagonali.
3 Un esempio può essere il lato ED che possiede una proporzionalità aurea rispetto alla diagonale
AD.
4 Inoltre si può notare che pure EI è in proporzionalità aurea rispetto a EC
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COSTRUZIONE DELLA SPIRALE
DI FIBONACCI
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Iniziamo a costruire i quadrati aventi il lato corrispondente ai numeri di Fibonacci
13
1
1
2
5
3
Partendo dai quadrati più piccoli tracciamo archi di circonferenza di raggio
pari al lato di ciascun quadrato e con una estremità in comune con l’arco
precedente
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LA “SPIRALE DI FIBONACCI”
La spirale che abbiamo appena ottenuto è presente in natura, nelle
esatte proporzioni descritte, in vari elementi, ad esempio nel cavolo o nella
conchiglia del Nautilus.
Aggiungiamo che la figura ottenuta nella diapositiva precedente risulta essere un
rettangolo aureo, concetto che sarà definito successivamente.
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LE PIRAMIDI
E LA SEZIONE AUREA
Le grandi piramidi di Giza, costruite rispettivamente da Chéope, Chéfren e Micerino, vennero
edificate tra il 2500 e il 2400 a.C. e sono tuttora fonte di meraviglia ed emblema dell’Egitto.
Ciascuna faccia delle piramidi può essere scomposta in due triangoli rettangoli.
Questi triangoli hanno la peculiarità che la somma tra cateto maggiore e cateto minore è uguale ad un segmento la
cui sezione aurea è il cateto maggiore!
(triangolo rosso).
giallo, triangolo verde e triangolo celeste ) completano
Gli altri triangoli raffigurati triangolo
(
il quadro della presenza della proporzione aurea secondo le misure riportate a fianco delle
immagini.
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RETTANGOLO AUREO
Il rettangolo aureo non è altro che un rettangolo le cui dimensioni sono l’una in sezione
aurea rispetto all’altra. Secondo i Greci era il rettangolo perfetto. Vediamo come costruirlo.
D
A
M
C
F
B
E
1. Costruiamo il quadrato generico ABCD
2. Individuiamo il punto medio del lato AB in M
e, puntando in M con apertura MC, tracciamo
un arco fino a incrociare il prolungamento di AB
nel punto E
3. Innalziamo da E la perpendicolare ad AE
incrociando il prolungamento di DC nel punto F
4. Il rettangolo AEFD, rispetta le
proporzioni della sezione aurea. È infatti
verificabile che AB è la sezione aurea di AE
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LA SEZIONE AUREA NEL
PARTENONE
Nel Partenone, luogo sacro dedicato alla dea Athena Parthenos, costruzione dominante
dell’Acropoli, si realizza l’ideale greco di misura equilibrata e trova definitiva formulazione il
rapporto tra le parti, caratteristico del periodo classico. Il tempio è un periptero (a colonnato
continuo) in stile dorico con 8 colonne lungo i lati brevi e 17 lungo i lati lunghi, secondo il
principio classico per il quale sul lato lungo il numero delle colonne laterali è il doppio più una di
quelle del fronte.
L’ architetto Iktinos al fine di conservare la divina proporctione ha applicato la sezione
aurea nel Partenone. Infatti il lato minore del rettangolo costruito intorno al tempio è in
sezione aurea rispetto al suo lato di base. Questo si può comprendere con maggiore certezza
sovrapponendo un rettangolo aureo al Partenone stesso.
Per Le Corbusier il vero autore del Partenone
è Fidia: solo uno scultore può plasmare una
“macchina per creare emozioni”, come egli
definisce il tempio, dove l’architettura diventa
“Il gioco sapiente, rigoroso e magnifico dei
volumi nella luce”
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L’UOMO VITRUVIANO E LA
SEZIONE AUREA
Nel celebre disegno delle proporzioni umane di Leonardo, l’altezza dell’uomo determina il lato del
quadrato in cui è inscritta la figura. Le diagonali si incrociano all’altezza dei genitali. I due segmenti
che uniscono il punto medio della base con i due vertici in alto incrociano l’asse orizzontale del
quadrato in due punti. Se da questi punti si tracciano le perpendicolari al lato superiore del
quadrato, si delimita il quadrato piccolo interno. I lati verticali di questo quadrato formano con i
segmenti obliqui due triangoli rettangoli.
Le sezioni auree di questi lati (in verde) individuano l’altezza delle braccia dell’uomo immobile.
Tracciando l’asse verticale del quadrato maggiore si individua un triangolo di cui l’asse stesso è il
cateto maggiore. Costruendo la sezione aurea di questo segmento (in rosso) si individua il centro
della circonferenza che circoscrive l’uomo in movimento. Il punto di intersezione tra questa
circonferenza e il lato superiore del quadrato individua l’altezza delle braccia.
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LA SEZIONE
AUREA
Ci sono, oltre a quelli appena presentati, innumerevoli altri esempi
di sezione aurea, in tutti i campi...
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LA SEZIONE
AUREA
Per ulteriori
approfondimenti sulla
sezione aurea
Pignatti, Gemin, Pedrocco
consultare
il sito
Piero Adorno
“L’Arte
nel Mondo”
La
Colonna
Sonora di
“L’Arte
Ed.italiana”
Atlas
Ed.Sezione
G. D’Anna
“La
Aurea”
Progetto
di potenziamento
è
di
Claude
Debussy
Si
ringraziamo
i Docenti,
Pinotti, Taddei,
Zanon
www.sectioaurea.com
per
la classe
IIC
“Tecniche
Grafiche”
“La
Cathédrale
Engloutie”
Professoressa
Alba
di Iorio
Ed. Atlas
delutilizzato
Liceo Antonio
Labriola
Il materiale
è stato
ricavato da ricerche
e
in rete
e daiscolastico
manuali specifici
durante
l’anno
2007/2008
Interpretata
dal pianista
Marco Litterio
Arturo
Benedetti
Per lo spunto
e per
la collaborazione
Emilio
Morasso
Michelangeli
FINE
“Percorsi matematici”
Ed.Electa/Bruno Mondadori
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