Dinamica reticolare
oscillazioni intorno all’equilibrio:
n-1
longitudinali
n
n+1
n+2
n+3
x
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
Xn+3
a
n-1
n
n+1
n+2
n+3
x
trasversali
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
Xn+3
a
forza di richiamo
elastica
(trattazione classica):
Fn    ( n   n 1)   ( n   n 1)
(longitudinale oppure trasversale )
sol2-1
Dinamica reticolare
Sistema di equazioni
per descrivere il
moto classico di
oscillatori accoppiati
M
d 2 n
dt
2
  ( n 1   n 1  2 n )
“onda sonora” definita solo nei
punti Xn in cui si trovano gli atomi
 n  oe
i (t  kX n )
 oe
i (t  kna)
numero d’onda
massima ampiezza
pulsazione
sol2-2
Soluzioni:
 M   (e
2
Dinamica reticolare
ik ( n 1) a
e
ik ( n 1) a
 2e
ikna
)  4  sen
2 ka
2

ka
 2
sen
M
2
significato di k:
- è un “numero d’onda
- kmin=  /L =  /Na
con N=numero totale di atomi
- è “quantizzato”; valori possibili:
k = m kmin, con m intero
- kmax=  /a
in realtà k può avere valori più alti, ma  è periodico in k con
periodo pari a 2 /a  vettore del reticolo reciproco
(foglio EXCEL “vibrazioni.xls”)
sol2-3
Oscillazioni
di un
reticolo
lineare di
24 atomi
1.5
1
k = kmin
0.5
0
L
-0.5
1.5
-1
0
5
10
15
20
1
0.5
0
k = 2 kmin
-0.5
-1
1.5
m=2
-1.5
0
5
10
15
20
1
0.5
m = numero di “nodi”
0
-0.5
k = 3 kmin
-1
-1.5
0
5
10
15
20
m=3
sol2-4
Oscillazioni
di un
reticolo
lineare di
24 atomi
1.5
k = 47 kmin1
m=47,
le oscillazioni
sono identiche a
quelle con m=1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
1.5
0
5
10
15
20
1
0.5
k = 46 kmin
0
-0.5
-1
-1.5
1.5
0
5
10
15
20
1
m=46,
le oscillazioni
sono identiche a
quelle con m=2
0.5
0
k = 45 kmin
-0.5
-1
-1.5
0
5
10
15
20
m=45,
le oscillazioni
sono identiche a
quelle con m=3
sol2-5
periodicità nel
reticolo reciproco
 mx =2 /M
0
0
k =  /a
k = 2  /a
-  varia fra 0 e  mx (in un’onda sonora nell’aria, non c’è limite superiore);
- fmx = frequenza di taglio o frequenza di “Debye”;
- il fenomeno è “periodico” in k, con periodo pari a G = 2  /a, vettore del reticolo
reciproco;
- la velocità di propagazione, v = d /dk, è massima e circa costante per piccoli k
(velocità del suono nel materiale), tende a zero per k 2  /a (onda stazionaria)
sol2-6
quantizzazione delle vibrazioni: i fononi
è lecito trattare il moto classicamente?
NO! Le condizioni sono simili a quelle
dei moti vibrazionali delle molecole
energia classica di vibrazione
(oscillatore isolato):
Evib = 1/2  2
 tutte le ampiezze  di oscillazione sono permesse con continuità;
 tutte le energie E di oscillazione sono permesse con continuità
energia quantistica di vibrazione
(oscillatore isolato):
Ev   (v  1 / 2)
 sono permesse solo energie quantizzate
sol2-7
energia classica media di oscillatori
accoppiati alla frequenza  (dipende
dall’ampiezza o a quella frequenza) :
energia quantistica media alla
frequenza  per oscillatori
accoppiati:
sol2-8
 E vib( )  1 / 2 o2 ( )
 Evib ( )   (v  1 / 2)
un fonone ha:
- energia E fon  
- quantità di moto p fon  k
- viaggia alla velocità v =d /dk
è simile a un fotone, ma,
a differenza del fotone:
quantizzazione delle
vibrazioni: i fononi
numero di fononi (oscillatori
eccitati) alla frequenza 
- ha una frequenza massima, fDebye
- ha bisogno del cristallo per propagarsi
- ha oscillazioni sia trasversali sia longitudinali
Evidenze sperimentali dell’esistenza dei fononi
evidenze dirette: diffrazione anelastica da neutroni “termici”
Perché i neutroni?
E fon   << 1 eV
 = 2 / k  10-10 m
per i fotoni:
energia  infrarosso
  raggi X
diffrattometro di
neutroni a tre assi
En , pn
En  En'   f


'
pn  pn  k f
evidenze indirette: calori specifici dei solidi
E’n , p’n
sol2-9