Analisi globali per edifici in muratura
(Pushover)
(a cura di Michele Vinci)
Tutte le immagini riportate sono tratte dal testo:
“Metodi di calcolo e tecniche di consolidamento per edifici in muratura” – Michele Vinci – Flaccovio Ed.
Analisi globale per edifici in muratura
Tipologie di analisi consentite
-
Statica lineare (molto restrittiva per edifici in muratura);
Dinamica lineare (molto restrittiva per edifici in muratura);
Statica non lineare (Pushover);
Dinamica non lineare (molto complessa per la pratica
quotidiana);
Analisi globale per edifici in muratura
Analisi pushover
Per gli edifici in muratura, la normativa consente, a differenza di altre tipologie
di strutture (per esempio c.a. ed acciaio), di utilizzare l’analisi statica non lineare
anche per strutture la cui massa partecipante del primo modo di vibrare è inferiore
al 75% (la normativa, attraverso il punto 7.8.1.5.4 del D.M. 14/01/2008 fissa il
limite inferiore della massa partecipante del primo modo al 60%, mentre,
la circolare 617/2009 non mette alcun limite).
Il metodo consiste nell’incrementare i carichi orizzontali (secondo prestabilite forme
di carico) fino al collasso della struttura.
Nel seguito ci occuperemo di pushover uni-modale non adattivo in quanto è il
metodo richiesto dalla normativa italiana per il calcolo di edifici esistenti in muratura
(Metodo N2).
Analisi globale per edifici in muratura
Fasi di calcolo
Il metodo si articola nelle seguenti fasi:
1.
2.
3.
4.
5.
Definizione della curva di capacità della struttura a più gradi di libertà;
Definizione del sistema equivalente ad un solo grado di libertà;
Calcolo della capacità di spostamento (umax);
Calcolo della domanda di spostamento (dmax);
Confronto tra “capacità di spostamento” e “domanda di spostamento”.
La verifica si ritiene soddisfatta quando risulta verificata la seguente (la
“capacità di spostamento” deve essere maggiore o uguale alla “domanda di
spostamento”):
Analisi globale per edifici in muratura
Schematizzazione della parete (telaio equivalente)
Secondo la schematizzazione a telaio equivalente, ogni parete è costituita da tre
macro elementi:
1) maschi murari;
2) fasce di piano;
3) conci rigidi.
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Schematizzazione della parete (maschi murari)
Il legame costitutivo del maschio è
elastico – perfettamente plastico
definito dai seguenti parametri:
k = tg(a)
(rigidezza)
Vu  min(Vf, Vt )
(resistenza)
d0 (spostamento elastico)
du (spostamento plastico)
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Schematizzazione della parete (maschi murari – rigidezza)
La rigidezza “k” dell’elemento si ottiene tenendo conto della deformazione a
flessione ed a taglio (Timoshenko).
Nel caso in cui l’elemento è libero di traslare solo in testa (un solo grado di
libertà), la rigidezza è data dalla seguente relazione:
1
k
h3

1.2  h
12EI
GA
Nel caso in cui è anche libero di ruotare (comportamento a mensola), la
rigidezza è data dalla seguente:
k
1
4  h3
12EI

1.2  h
GA
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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)
Vu  min(Vf, Vt )
Vf è la resistenza dell’elemento per meccanismo di rottura a flessione
Vt è la resistenza dell’elemento per meccanismo di rottura a taglio
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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)
Meccanismo di rottura per flessione
0 
Nb
lt
 Nb   0  l  t
l-a
Mu  Nb  e  Nb  

 2 
Nb  0.85  fd  t  a  a 
Mu 
 0  l2  t 
2
Nb
0.85  f d  t

1 
 0.85  f 
d 

0
Punto 7.8.2.2.1 del D.M. 14/01/2008
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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)
Meccanismo di rottura per flessione
Vf 
Mu
h0

 0  l2  t 
2  h0

1 
 0.85  f 
d 

0
h0 è la distanza tra la sezione di verifica e la sezione a momento nullo.
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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)
Meccanismo di rottura per flessione
La resistenza a flessione dipende dallo sforzo normale applicato sull’elemento
stesso.
L’andamento della resistenza a flessione in funzione dello sforzo normale è
parabolico;
Per sforzo normale nullo, la resistenza dell’elemento è nulla;
La massima resistenza si ottiene per la tensione 0 = 0.85fd/2.
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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)
Meccanismo di rottura per taglio (approccio allo scorrimento)
(Si utilizza per gli edifici di nuova costruzione)
Resistenza caratteristica
fv k
 fv k0     0
Resistenza di calcolo
f vd

f vk
m
Resistenza per meccanismo di rottura a taglio
Vt  f vd  l1  t
t è lo spessore della muratura ed l1 è la lunghezza
del maschio in compressione
Analisi globale per edifici in muratura
Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)
Meccanismo di rottura per taglio (approccio Turnesek e Cacovic)
(Si utilizza per gli edifici esistenti)
Resistenza per meccanismo di rottura a taglio
Vs 
l  t  f td
b
1
0
f td
t è lo spessore della muratura ed l è la
lunghezza del maschio, ftd la resistenza a
trazione della muratura.
b è un coefficiente che tiene conto della snellezza del maschio
b = h/l
(1.0 ≤ b ≤ 1.5)
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Schematizzazione della parete (maschi murari – d0 e du)
Spostamento elastico
d0 
Vu
(rapporto tra resistenza e rigidezza)
k
Spostamento ultimo
d u  0.008  h
(per rottura a flessione del maschio – edifici nuovi)
du  0.006 h
(per rottura a flessione del maschio – edifici esistenti)
du  0.004 h
(per rottura a taglio del maschio)
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Schematizzazione della parete (fasce di piano)
Il contributo di una fascia di piano nella resistenza sismica di una parete è notevole
e può essere preso in considerazione solo se all’interno della fascia stessa è
presente un elemento in grado di resistere a trazione (cordolo, tirante, architrave
bene ammorsata, ecc.).
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Schematizzazione della parete (fasce di piano)
Vt  h  t  f vd0
(Rottura per taglio)
Hp  h 
Hp

Mu 
1


2  0.85  fhd  h  t 
(Rottura per flessione)
Hp è il minimo tra la resistenza a trazione dell’elemento teso e 0.4 ∙ fhd ∙ h ∙ t
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Schematizzazione della parete (fasce di piano)
Analisi globale per edifici in muratura
Schematizzazione della parete (Conci rigidi)
I conci rigidi sono elementi in muratura non in grado di subire deformazioni
che hanno la funzione di collegare i maschi murari e le fasce di piano.
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Curva di capacità
La curva di capacità è di fondamentale importanza per l’analisi pushover di una
struttura. In ascissa viene rappresentato lo spostamento orizzontale (dc) di un
generico punto della struttura, detto punto di controllo (generalmente si assume
il baricentro delle masse dell’ultimo impalcato), mentre in ordinata viene
rappresentata la forza orizzontale alla base (Vb)
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Curva di capacità
Analisi globale per edifici in muratura
Curva di capacità
Il metodo consiste nell’incrementare i carichi orizzontali fino al collasso della
struttura.
Nell’incrementare i carichi, gli elementi (maschi e fasce) subiscono delle
trasformazioni che comportano la variazione dello schema statico della struttura
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Curva di capacità
Cambia lo schema statico della struttura
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Curva di capacità
Analisi globale per edifici in muratura
Curva di capacità
La curva deve essere calcolata per sisma agente nelle due direzioni principali
(x ed y), per sisma positivo e negativo, ed utilizzando due distribuzioni di
carico, una proporzionale alle masse e l’altra proporzionale alle altezze.
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Curva di capacità
Generalmente la curva che si ottiene con profilo di carico proporzionale alle
altezze è paragonabile a quella ottenuta con profilo di carico proporzionale
alla prima forma modale
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Curva di capacità
Considerando le due direzioni, i due profili di carico e i due incrementi (positivo e
negativo), si ottengono almeno 8 curva di capacità.
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Trasformazione del sistema MDOF in quello SDOF equivalente
d* 
F* 
dc

Vb

n

m*
 Τ M

 ΤM 
 Τ M
 mi   i

i1
n
 m i   i2
i1
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Sistema bilineare equivalente
La struttura reale viene approssimata ad una struttura ad un solo grado di libertà
definita dalla rigidezza equivalente (k*), dalla massa equivalente (m*) e dal
periodo equivalente (T*).
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Sistema bilineare equivalente
k *  tg(a) 
0.7  Fmax
m*   Τ M 
d *A
n
  mi   i
i1
T*  2
m*
k*
Il tratto orizzontale si ottiene dall’equilibrio delle aree. L’area che sta sopra della
curva di capacità deve essere uguale a quella che sta sotto:
Area1 + Area3 = Area2.
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Capacità di spostamento e spostamento richiesto
La capacità di spostamento si ottiene dalla curva di capacità della struttura.
Secondo la normativa, se la curva di capacità è sempre crescente, si assume come
umax il massimo spostamento della curva.
Se la curva presenta dei rami decrescenti (come in “b” di figura), si assume come
umax lo spostamento che riduce al massimo del 20% la forza massima (Fmax) della
curva di capacità.
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Capacità di spostamento e spostamento richiesto
dmax
*
 d *e, max  S De T * 
*
d max
dmax

S De (T* ) 
TC 
1  q * 1 

q*
T * 

   d*max
 S De (T* )
se
T*  TC
se
T*  TC
Analisi globale per edifici in muratura
Capacità di spostamento e spostamento richiesto
Secondo la normativa, il fattore di struttura q* non può assumere valori maggiori di 3.
Nel caso in cui ciò accade, l’esito della verifica è da ritenersi negativo.
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Verifica analisi pushover
La verifica dell’analisi pushover si ottiene confrontando la capcità di spostamento
(umax) con lo spostamento richiesto (dmax). La verifica sismica si considera
soddisfatta quando si verifica la seguente condizione:
umax ≥ dmax
Come intuibile dalla precedente relazione, per migliorare l’esito della verifica, deve
aumentare la capacità di spostamento (umax) e deve diminuire la domanda di
spostamento (dmax).
Per far diminuire la domanda di spostamento (dmax), deve aumentare la forza
massima (F*max) e la rigidezza del sistema (k*).
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Verifica analisi pushover
La maggiore resistenza è un fattore positivo per la verifica, mentre la minore
rigidezza è un fattore negativo. Affinché migliorino le condizioni di resistenza
della struttura, il contributo positivo della maggiore forza massima deve essere
maggiore del contributo negativo della minore rigidezza.
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Verifica analisi pushover
La capacità di spostamento (umax) è generalmente legata a dei limiti di normativa,
per cui, difficile da far aumentare in modo significativo.
Analisi globale per edifici in muratura
Verifica analisi pushover
La capacità di spostamento (umax) può anche diminuire per una errata scelta di
consolidamento.