Progetto: “Con la mente e con le mani”
Gruppo di lavoro: “il numero più grande”
dei proff. Bernardi, Fioravanti, Tarallo
Presentano: gli alunni della classe IC
I.C. Via Giuliano da Sangallo
A.S. 2013-2014
La “bizzarra” richiesta del Bramino:
una ricompensa in chicchi di riso su una
scacchiera di 64 caselle;
i chicchi si raddoppiano di casella in casella.
Lorenzo e Sara
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263
Laura e Miriam
263 è già un numero enorme…
poi gli dobbiamo sommare anche 262, 261 ecc.
Sono tanti numeri,
e tanto grandi!
AIUTOOOO!!!!!!!!
Sara
Scoperta della regolarità per verifica empirica:
Potenze di 2
Somme di
potenze di 2
20 = 1
1
21 = 2
3
22 = 4
7
23 = 8
15
24 = 16
31
25 = 32
63
26 = 64
127
Iris
Chicchi totali in 64 caselle
S2(64) = 264–1 =
18.446.744.073.709.551.615
(circa 1,84 × 1019)
Circa 18 miliardi di miliardi
Sabrina
DOMANDA:
Se dimezziamo le caselle (32 anziché 64) e
raddoppiamo la base (4 anziché 2) otteniamo
una quantità totale di riso maggiore o minore
di quella richiesta dal Bramino?
Martina
40 41 42 43
44 45 46 47
48 49 410 411
412 413 414 415
416 417 418 419
420 421 422 423
424 425 426 427
428 429 430 431
Alex
Le potenze di 4 sono anche potenze di 2.
In particolare le potenze di 4 sono potenze di
2 con esponente pari:
20 = 40 = 1
22 = 41 = 4
24 = 42 = 16
26 = 43 = 64
28 = 44 = 512
…
Considerare solo 32 caselle e
riempirle con le potenze di 4 da 40 a
431 equivale a riempire tutte le 64
caselle con le potenze di 2 da 20 a 263
e poi cancellare quelle con
esponente dispari.
Gabriele
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263
20
28
216
224
232
240
248
256
22
210
218
226
234
242
250
258
24
212
220
228
236
244
252
260
26
214
222
230
238
246
254
262
40
44
48
412
416
420
424
428
41
45
49
413
417
421
425
429
42
46
410
414
418
422
426
430
43
47
411
415
419
423
427
431
Quindi:
S4(32) < S2 (64)
I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4
sono in numero minore dei chicchi sulla intera
scacchiera delle potenze di 2
… oppure:
la somma delle potenze di 4 da 40 a 431 è minore
della somma delle potenze di 2 da 20 a 263.
Simona
S4(32) < S2 (64)
Minore sì, ma quanto minore?
S4(32) =S2 (64) : 3
I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4
sono 1/3 dei chicchi sulla intera scacchiera delle
potenze di 2.
Motivazione empirica:
per ottenere le potenze di 4 ho cancellato le
colonne di potenze di 2 con esponente
dispari;
ciascuna colonna che ho cancellato ha valore
doppio rispetto alla colonna alla sua sinistra
che ho conservato.
Quindi: ho cancellato una quantità doppia di
quella rimasta, che quindi sarà un terzo del
totale.
Nicholas
Se tolgo dalla quantità totale una quantità doppia
di quella che rimane allora la quantità che rimane
sarà un terzo della quantità totale.
Scusate il gioco di parole!
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263
Dario
20
23
29
26
212
218
224
215
221
227
233
230
236
242
248
245
251
257
239
254
260
263
80
81
83
82
84
86
88
85
87
89
811
810
812
814
816
815
817
819
813
818
820
821
Martina
Potenze di 2 e di 4
Tutte le potenze di 4 sono anche potenze di 2.
Solo le potenze di 2 con esponente pari sono
anche potenze di 4.
Per ricavare una potenza di 4 a partire da una
potenza di 2 bisogna dividere per 2 l'esponente.
es. 43 = 26 perché 43 = (22)3 = 26
Potenze di 2 e di 8
Tutte le potenze di 8 sono anche potenze di 2.
Solo le potenze di 2 con esponente multiplo di
3 sono anche potenze di 8.
Per ricavare una potenza di 8 a partire da una
potenza di 2 bisogna dividere per 3 l'esponente.
es. 83 = 29 perché 83 = (23)3 = 29
Potenze di 4 e di 8
Solo le potenze di 8 con esponente pari sono
anche potenze di 4.
Solo le potenze di 4 con esponente multiplo di
3 sono anche potenze di 8.
Per ricavare una potenza di 8 a partire da una
potenza di 4 bisogna dividere per 3 l'esponente e
poi moltiplicarlo per 2.
es. 84 = 46 perché 84 = (4×2)4 = 44×24 = 44×42 = 46
Valeria
Hanno esposto i materiali: Flavia, Alex,
Daria, Olivia, Eleonora, Nimasha, Loubna,
Melania, Martina.