PROBABILITÀ
La probabilità è un giudizio che si
assegna ad un evento e che si esprime
mediante un numero compreso tra 0 e 1
Stessa probabilità di
accadere e di non accadere
1/2
0
Evento con poca probabilità
di accadere
1
Evento con molta
probabilità di accadere
L’INSIEME UNIVERSO è
l’insieme di tutti i possibili esiti
Un EVENTO è un sottoinsieme
dell’insieme universo
La CLASSE DEGLI EVENTI è
l’insieme su cui definisco la
funzione probabilità
INSIEMISTICA
unione
intersezione
complementare
ASSIOMI DI KOLMOGOROV
•L’unione di eventi è sempre un evento
•L’insieme universo stesso è un evento
•La probabilità dell’insieme universo è sempre 1
•Se A è un evento, allora anche –A è un evento
•La somma delle probabilità di un evento e del suo
complementare è sempre 1
Una PROBABILITÀ per essere tale deve rispettare questi assiomi
Se UNISCO eventi disgiunti la probabilità
P(A  B) = P(A) + P(B). Se essi non sono
disgiunti, all’unione devo sottrarre
l’intersezione
Se INTERSECO eventi indipendenti la
probabilità P(A  B) = P(A) * P(B)
Giuseppe
0,7 probabilità di vittoria contro il padre
Giuseppe
0,3 probabilità di vittoria contro il maestro
V
V
V
V
V
S
S
V
V
MAESTRO - PADRE - MAESTRO
P (V V V)
+
P ( V V S)
+
P ( S V V)
(0,3 * 0,7 * 0,3) + (0,3 * 0,7 * 0,7) + (0,7 * 0,7 * 0,3) = 0,357
PADRE - MAESTRO - PADRE
P (V V V)
+
P ( V V S)
+
P ( S V V)
(0,7 * 0,3 * 0,7) + (0,7 * 0,3 * 0,3) + (0,3 * 0,3 * 0,7) = 0,273
PROBABILITÀ
CONDIZIONATA
La probabilità condizionata è il nuovo giudizio di
probabilità basato sull’aumento dell’informazione
Ho una
probabilità di
½ di uscire
con quella
ragazza!!
Aumento di informazione:
ha già il ragazzo…
Ora ho una
probabilità
di 1/1000…
PB(A)*P(B) = P(A∩B) per tutti gli A appartenenti alla classe degli eventi
Mr. Brown ha 2 figli. Qual è la probabilità che il secondo figlio sia
una femmina se:
1. sappiamo che almeno una figlia è femmina?
2. sappiamo che la primogenita è una femmina? (aumento di
informazione)
Due figli:
Primogenita è una
Almeno una femmina:
femmina
FF
FM
MF
MM
1) P( 2F | 1F  2F) = ½ / ¾ =
2) P(2F | 1F) = P(2F) = 1/2
2/3
VARIABILE ALEATORIA
La variabile aleatoria è il risultato di un esperimento
che può assumere diversi valori numerici ad
ognuno dei quali corrisponde una probabilità
• La MEDIA è la somma dei valori moltiplicati per le rispettive
probabilità
MEDIA = somma (valore * probabilità)
• La VARIANZA indica quanto grande è la dispersione della
variabile aleatoria
VARIANZA = somma [(valore – media)^2 * probabilità valore]
PERCHÈ NON CONVIENE GIOCARE AL LOTTO?
Come funziona: vengono estratti cinque numeri da 1 a 90. Se si
azzecca un ambo con la posta di 1€ se ne vincono 235!
X = probabilità di vincere 235€
1-x = probabilità di perdere 1€
VINCITA MEDIA = 236x -1
VINCITA MEDIA = 236*(2/801) -1 = -0,41€
CASI TOTALI: (90*89*88*87*86) / (5*4*3*2*1)
CASI FAVOREVOLI: (88*87*86) / (3*2*1)
PROBABILITÀ = casi favorevoli / casi totali = 2/801 = x
PASSEGGIATA CASUALE
•Si parla di passeggiata casuale SIMMETRICA quando la
probabilità di compiere un passo su o giù è identica. Abbiamo
visto che i grafici tornano a 0 infinite volte
•Si parla di passeggiata casuale ASIMMETRICA quando la
probabilità di compiere un passo su o giù è differente. In
questo caso le traiettorie tornano a 0 un numero finito di volte
senza
barriere
con barriere
GAUSSIANA
La gaussiana è un esempio di variabile aleatoria continua.
La probabilità che assuma valori in un certo intervallo è pari
all’area sottesa dalla curva (a campana) che la definisce
Asse x = valori
Asse y =
distribuzione dati
TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE afferma che:
La somma di N variabili aleatorie di tipo Bernoulli (es.: testa
o croce) opportunamente standardizzata, si approssima
con una legge gaussiana
Se eseguo N prove, la percentuale di successi è vicina
alla probabilità di successo in un tentativo?
La probabilità di essere in un intervallo di ampiezza
δ/2√N intorno alla media si trova come integrale e
l’abbiamo disegnato sul grafico precedente. Quindi
l’intervallo si riduce all’aumentare di N o al diminuire di δ
Sondaggi
Fare un sondaggio è come lanciare N volte una moneta con probabilità di
successo pari al valore reale di gradimento del candidato. Il valore trovato
sarà vicino a quello reale con un certo grado di fiducia; quanto vicino
dipende dal grado di fiducia nel sondaggio (più voglio essere convinto, più
ampio devo prendere l’intervallo, quindi δ) e dal numero di interviste
effettuate (più voglio un intervallo piccolo, maggiore deve essere il
numero di interviste). In ogni caso, ho sempre la possibilità di avere
trovato un campione “non corretto”, per cui la percentuale calcolata non
corrisponde a quella reale, pur avendo fatto tutto per bene.
Es.: se trovo x=0,51 e voglio la sicurezza al livello 0,95 (quindi con δ=2)
che nell’intervallo (0,50; 0,52) sia compreso il valore reale,deve essere:
(x – δ/2√N , x + δ/2√N )
δ/2√N = 0,01
N=10.000