classe 3 A inf
(a.s 2006-2007)
MATRICE
Si chiama matrice una tabella che ordina m x n numeri
in m righe
ed n colonne.
Si chiamano elementi di una matrice gli m x n numeri
presenti in essa.
1  i  k
1  j  l
Ad esempio dati 5 X 4 numeri, la tabella che li
ordina in 5 righe ed in 4 colonne ,chiamata matrice,
è sotto rappresentata
2
7
1
0
7
0
2
8
9
2
5
7
4
6
3
8
2
7
8
9
Seconda
colonna
Prima
riga
TIPI DI MATRICI
Rettangolare
Matrice rettangolare: il
numero delle righe è
diverso da quello delle colonne.
Quadrata
Matrice quadrata: il numero
delle righe è uguale da quello
delle colonne.
Vettore riga
Matrice riga: è formata da una
sola riga.
Vettore colonna
Matrice colonna: è formata
da una sola colonna.
Matrice unità e matrice nulla
La matrice unità è
quella matrice in
cui la
diagonale principale
è formata da
tutti 1 e gli altri
sono tutti 0.
La matrice nulla è quella
formata da
tutti 0.
DIAGONALI DI UNA MATRICE
Nelle matrici quadrate esistono due diagonali
quella principale e quella
secondaria.
La diagonale principale è l’insieme degli elementi aii
in cui gli indici sono uguali.
La diagonale secondaria è
L’insieme egli elementi aij in cui i+j=n+1 (n ordine
matrice).
MATRICE TRASPOSTA:
MATRICE INIZIALE:
MATRICE TRASPOSTA:
2
4
6
2
7
7
5
0
4
5
6
0
La matrice trasposta è la matrice che scambia i termini della
riga con quelli della colonna.
MATRICE INVERSA:
MATRICE INIZIALE:
A=
-1
3
-2
1
Det(A)=5
MATRICE INVERSA:
A-1 =
1/5 -3/5
2/5 -1/5
La matrice inversa di una matrice quadrata esiste solo se
il determinante è diverso da zero. Essa si ottiene
sostituendo al generico elemento aij il quoziente tra il suo
complemento algebrico Aij ed il determinante di A e
considerando poi la trasposta di questa nuova matrice.
.Essa si indica con A-1 tale per cui A*A-1 =A-1 *A=In dove
I è la matrice identità
Aji= trasposta di Aij
Aij=(-1)i+j * (Mij)=
Complemento algebrico di aij
Mij =minore complementare di aij ,è il
determinante che si ottiene sopprimendo la
i-esima riga e la j-esima colonna della
matrice A
Det(A)=
Determinante di A
Operazione tra matrici:
addizione e sottrazione
Queste due operazioni possono essere
svolte sulle matrici solo se esse sono dello
stesso tipo .
ADDIZIONE:
2 4
6
7
0
3
+
2
1
0
1
4
9
=
4
5
6
8
7
9
SOTTRAZIONE:
2
4
6
7 3
0
-
2
1
0
1
5
9
0
=
3
6
6 -2 -9
MOLTIPLICAZIONE uno scalare per una matrice
5
scalare
X
3
2
4
1
3
1
=
15 10
20
5
5
15
Operazione tra matrici:moltiplicazione
è possibile attuare l’operazione di moltiplicazione
tra matrici solo ed esclusivamente se le 2 matrici
sono del tipo:
am,n
x
bn,t
cm,t
il risultato della moltiplicazione tra la
matrici A e la matrice B, dove la matrice A
è del tipo mxn e la matrice B è del tipo nxt,
è rappresentato da una terza matrice C del
tipo mxt.
am,n X bn,t =cm,t
Il generico elemento chk è dato dalla somma dei singoli
elementi della h-esima riga della prima matrice moltiplicati
ciascuno per il corrispondente elemento della k-esima
colonna della seconda matrice
DETERMINANTE DI UNA MATRICE:
Il determinante di una matrice quadrata ,al
contrario della matrice che è un insieme di
numeri, è un numero.
Il determinante di una matrice si definisce per
induzione
Il simbolo con cui viene identificato non è
uguale alla matrice
5
7
2
3
5
7
2
3
m=1
Il determinante di una matrice del primo ordine è uguale al
numero stesso che compare nella matrice.
5
det
5
= 5
== 5
m=2
Il determinante di una matrice del secondo ordine è uguale
alla differenza fra il prodotto dei due elementi della
diagonale principale e il prodotto dei due elementi della
diagonale secondaria.
5
2
7
3
5
2
7
3
=
5*3 - 7*2 = 15-14 = 1
m=3
2
1
3
= 3
1
-1
-1
2
2
Il determinante di una matrice di terzo ordine
è uguale alla somma dei prodotti di una
qualunque riga (o colonna) per i rispettivi il det
della matrice di ordine 2 ottenuta da A
togliendo la riga e la colonna cui l’elemento
appartiene, preceduto dal segno + o – a
seconda che aij sia di classe pari (i+j=pari) o
dispari.
1
= 2*
-1
2
= 2*
1
2
3
-1*
2
-1
2
1
1
-3*
2
-1
2
+3*
3
2
3
-1 2
1
-1*
1
=
1
3 -1
=
m=4
=
1
2
3
4
0
-1
1
2
-2 -3
0
8
-3
0
1
0
gli elementi dell’ultima riga
1 2 4
2 3 4
= -1 *
-1 1 2
-3 0 8
-1 1 2
+0+3*
0 -1 2
-2 -3 8
gli elementi della prima colonna
2 3 4
2 3 4
=1 * -3 0 8 + 0 - 2 * -1 1 2
-1* -1 1 2
0 -3 0
+0 =
0 -3 0
-3 0 8
=
generalizzando
Determinante A somma dei prodotti degli elementi di
una qualsiasi riga o di una qualsiasi colonna per i
rispettivi complementi algebrici
Complemento algebrico di aij è Aij=(-1)i+j * (Mij)
Mij minore complementare di aij ,è il determinante che
si ottiene sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a12 * (1)1+2 * A12 +
a31
a32
a33
a34
a13 * (1)1+3 * A13 +
a41
a42
a43
a44
a14 * (1)1+4 * A14
detA= a11 * (1)1+1 * A11 +
Regola di Sarrus:
La regola di Sarrus permette di calcolare il determinante di
una matrice solo se essa è di ordine 3.
Esempio:
2
1
3
2
1
3
1 -1 3
1
-1
2
2
=
-1 2
= [(2*1*2)+(1*(-1)*(-1))+(3*3*2)]
-[(3*1*(-1))+(2*(-1)*2)+(1*3*2)]=
= (4+1+18)-(-3-4+6) = 23 + 1 = 24
IN PRATICA
•Si aggiungono alla matrice le prime due colonne;
•Si individuano così 3 diagonali principali, e 3 diagonali secondarie
•Si sommano i prodotti degli elementi che si trovano su ciascuna di
queste diagonali
•Si sottrae dalla somma ottenuta il valore ottenuto sommando i prodotti
degli elementi che si trovano sulle diagonali
Tale valore è il determinante.
PROPRIETÀ DEI DETERMINANTI
È ininfluente la scelta della linea nella ricerca del
determinante;
Se in una matrice una linea viene moltiplicata per
un numero reale K allora anche il determinante
della matrice risulta moltiplicato per k;
Se in una matrice due linee sono in proporzione, il
determinante è nullo;
Se in una matrice ad ogni elemento di una riga (o
colonna) si somma il corrispondente elemento di
un’altra riga(o colonna), moltiplicato per un numero
K,allora il determinante non cambia.
CARATTERISTICA (O RANGO):
data una matrice qualsiasi, chiamo “rango” o
caratteristica, l’ordine massimo del minore #0.
Data una di matrice di ordine(m,n) MINORE di ordine h è il
determinante di una sottomatrice di ordine h ottenuta dalla
principale eliminando da essa la m-h righe ed n-h colonne
Consideriamo la seguente matrice 3 x 4,da essa togliamo
3-3=0 righe e 4-3=1 colonne, otteniamo una
sottomatrice di ordine 3
4 2 -3 1
8 3 -6 2
2 1 1 -1
Dalla matrice principale è possibile estrarre 3 sottomatrici. la
seguente è quella ottenuta eliminando la seconda colonna
Questa sottomatrice è del 3°
ordine. Il suo determinante si
chiama “minore di ordine 3”e
poiché esso NON E’ NULLO, si dirà
che la matrice ha Rango=3
4 -3 1
8 -6 2
2 1 -1
È possibile anche estrarre delle sottomatrici del 2° ordine;
quella sotto ne è un esempio
4
2
8 3
Il suo determinante si chiama
“minore di ordine 2”