classe 3 A inf
a.s. 2006-07
Un sistema lineare è un insieme formato da equazioni lineari(cioè
di primo grado),è ridotto a forma normale quando tutte le sue
equazioni sono ridotte a forma normale,cioè quando le incognite
sono al primo membro e il termine noto nel secondo membro.
Un generico sistema lineare in m equazioni ed n incognite viene
espresso cosi:
a11*x1+a12*x2+a13*x3+a1n*xn=b1
a21*x1+a22*x2+a23*x3+a2n*xn=b2
am1*x1+am2*x2+am3*x3+amn*xn=bm
Un sistema lineare si dice omogeneo quando tutte le sue equazioni
sono omogenee(in altre parole i termini noti sono nulli).
Risolvere un sistema significa trovare tutte le sue
soluzioni.
Se le equazioni x1=p1, x2=p2,…….xn=pn con p1,p2,….pn
numeri reali soddisfano contemporaneamente le equazioni
del sistema, allora la n-pla ordinata (p1,p2…pn)è detta la
soluzione del sistema
•Quando un sistema ammette una sola soluzione si dice
sistema determinato.
•Quando un sistema ammette infinite soluzioni si dice
sistema indeterminato.
•Quando un sistema non ha soluzioni si dice impossibile.
Un sistema può essere:
COMPATIBILE
Determinato
Indeterminato
Ammette
Ammette 1
sola soluzione infinite
soluzioni
INCOMPATIBILE
Impossibile
Non ammette
soluzioni
per risolvere in un sistema lineare a m equazioni e n incognite, se:
•
m=n & D dei coeff0
Cramer
•
m n
matrice Inversa
oppure
Riduzione (Gauss)
m=n &D dei coeff=0 (esempio)
T.di Rouchè-Capelli
POSSIBILE
IMPOSSIBILE
Rango della matrice incompleta(k)
è diverso da quello della matrice
completa.
I due ranghi sono uguali
k=n
1soluzione
k<n
n-k soluzioni
REGOLA DI CRAMER
n=m
Esempio:
2x + y = 2
Si calcola il determinante della
matrice dei coefficienti:
2x – y = -1
5 1
D=
2 -1
2 1
Dx=
-1 -1
= -7 # 0
Si calcola Dx e Dy ottenuti sostituendo
nel determinante D i termini noti
rispettivamente nell pima e nella
seconda colonna.
= -1
Dy=
5 2
= -9
2 -1
Le soluzioni del sistema sono:
x=Dx/D = 1/7
y=Dy/D
=9/7
METODO DELLA MATRICE INVERSA
n=m
2x + y+z= 5
x-z =3
2
A= 1
x-y-2z =0
1
1
0 -1
1 -1 -2
B=
5
3
0
Det(A)=-2
Il sistema può essere scritto in forma simbolica
A *X
=
1
1
1
0 -1 *
1 -1 -2
X= A-1*B
Matrice
colonna dei
termini noti
Matrice dei
coefficienti
2
B
Matrice
colonna delle
incognite
x
y
z
5
=
3
0
 FORMA MATRICIALE
x= A-1*B
A11/-2
A21/-2
A31/-2
A12/-2
A22/-2
A32/-2
= A-1
A13/-2
A23/-2
A33/-2
MATRICE
INVERSA
x
y
z
-1/-2
= 1/-2
-1/-2
1/-2
-1/-2
5
-5/-2
3/-2
3
+3/-2
-1/-2
*
0
1
=
5
-2
Teorema di ROUCHE’ CAPELLI
In un sistema lineare condizione necessaria e sufficiente affinché
esista una soluzione è che la caratteristica della matrice
completa( ottenuta considerando sia coefficienti delle incognite
sia i termini noti) e quella della matrice incompleta (matrice in cui
non sono presenti i termini noti) siano uguali. Se le
caratteristiche sono # il sistema allora è impossibile.
3x – y + 6z = 1
Esempio
6x +3y + 10z = 3
mat incompleta:
D=
3 -1
6
6
10
3
-1 6
3 10
Caratteristica k= 2
= -10 –18 # 0
mat completa:
3 -1
6
6
1
Caratteristica k = 2
3 10 3
Per il teorema di R-C il sistema ammette soluzioni. Poiché k=2 si
avranno 3-2 soluzioni
-y +6z = 1 – 3x
+3y + 10z = 3- 6x
Dy=
1-3x + 6 = ((1-3x)*10) - (6*(3-6x)) = 10 - 30x – 18 + 36x = 6x – 8
+3-6x 10
-1 1-3x
Dz=
3
3-6x
y =/ (6x – 8)/( –28 )= (-3x + 4)/14
= -3+ 6x –3*(1 – 3x) = -3 + 6x – 3 + 9x = 15x –6
z = (15x –6)/-28
x=m; y=( -3x + 4)/14; z =( 15x –6)/-28
Un sistema omogeneo
ammette
Solo una soluzione nulla se
soluzione nulla e infinite soluzioni se
D  0
 D=0
 i complementi
algebrici degli
elementi di una riga non sono tutti
nulli.
D= determinante matrice
coeffficienti