Calcolo dell’area sottesa con
il metodo dei rettangoli
(o metodo dei punti medi)
Vicario, Pasquali, Delfini, Pradella, Fincato
Cos’è?
Questa regola è il procedimento più semplice
per approssimare l’area sottesa S = a∫b[f(x)]dx
di una funzione f continua nell’intervallo
chiuso [ a , b ].
Esempio di funzione continua e positiva, intervallo scelto [0,5;0,7]
Come procedere?
Il procedimento consiste nel dividere l’area sottesa
in n intervalli, ognuno di ampiezza
Si continua poi con la somma delle aree dei
rettangoli costruiti in ogni intervallo.
Costruire i rettangoli
Considerando la funzione f, i rettangoli costruiti
avranno come base h e come altezza
ovvero il valore assunto dalla funzione nel punto
intermedio dell’intervallo [xi,xi+1].
L’area di ogni rettangolo risulterà quindi uguale a
Calcolo dell’area sottesa
L’area sottesa della funzione f è quindi la somma di
tutte le aree dei rettangoli costruiti e risulta essere:
In definitiva:
Un valore approssimato dell’area S della regione finita
di piano delimitata da una curva continua (positiva) di
equazione y=f(x) e dall’asse x in un intervallo [a,b] è
dato dalla seguente espressione:
Esempio
Applichiamo il metodo dei rettangoli per calcolare l’area
sotto la parabola d’equazione y = x2 nell’intervallo [ 0 , 2 ]
Dividendo l’intervallo in 6 parti congruenti avremo:
Il valore risultato è molto vicino
al valore esatto:
Se f non fosse sempre positiva?
Ricordiamo che a∫b[f(x)]dx rappresenta la differenza tra le
aree di parti di piano che si trovano nel semipiano delle
ordinate positive e quelle delle parti di piano che si trovano
nel semipiano delle ordinate negative.
Quindi la formula data nelle slide precedenti rappresenta
un valore approssimato di a∫b[f(x)]dx
Deduzioni
Con h0, i valori di I calcolati con la relazione
precedente coincidono e rappresentano il valore
esatto dell’area S.
Significa che, al crescere del numero n di
intervalli, si ottiene un valore approssimato sempre
più vicino a quello esatto.
Applicazioni pratiche
Vi sono diversi modi per implementare questo
metodo. Esempi sono:
• Fogli di calcolo Excel
• Applicazione