Diciassettesima Lezione
Potenziali ritardati e dipolo Hertziano
Riassunto della lezione precedente






Potenze
Vettore di Poynting in campo complesso
Coefficiente di trasmissione, ROS
Calcoli con le linee
Onde piane e linee
Onde piane in mezzi stratificati
Radiazione: condizioni al contorno nel
tempo



Cosa succede quando la regione S in cui si risolvono le eq di
Maxwell è all’infinito?
Campi e variazioni, nonché le interazioni si propagano con
velocità finita
Quindi la condizione al contorno su un contorno infinito,
nel tempo, è che il campo all’infinito sia sempre nullo
Radiazione: condizioni al contorno in
frequenza

In frequenza all’infinito vale la condizione di radiazione di
Sommerfield
lim r E(r )  H(r )  u r   0
r 



Sostituisce le condizioni su S fissando un flusso di potenza
reale attraverso S all’infinito
Stabilisce che E ed H vadano a zero almeno come 1/r
Stabilisce che E ed H all’infinito approssimino un’onda
piana
Uso del potenziale vettore
Abbiamo già introdotto e studiato il potenziale vettore:
vediamo come usarlo nei problemi di radiazione
Avevamo visto infatti che essendo
E’ possibile scrivere

B  0


B   A
e che il potenziale vettore può essere definito a meno
del gradiente di un campo scalare (potenziale)
Sostituiamo nell’equazione
di Faraday


B

A
E  
    A   
t
t
t
Quindi due grandezze con ugual rotore sono uguali a
meno di un gradiente, per cui
A
E
t
  
Uso del potenziale vettore
Ora usiamo tale espressione nella legge di Gauss
  D        2     A   
t




2
   A  
Quindi
t

Ora sostituiamo nella legge di Ampère

2
  D  




E

A


    A   J 
 J  




J




t 
 t 2


t 

t



D’altro canto sappiamo che     A     A  2 A


e che la divergenza del potenziale vettore è un nostro grado di
Valentine Lorenz, matematico danese,
libertà (lezione 10). Quindi scegliamo Ludvig
Scelta (o Gauge) di da non confondere con Hendrik Antoon
Lorentz il fisico olandese delle trasformate

Lorenz
(..non
di Lorentz, premio Nobel 1902 con Pieter
  A   
Zeeman
t
Lorentz)
Uso del potenziale vettore
Con tale scelta, il potenziale vettore soddisfa ad
un’equazione d’onda, come la conosciamo
 A  
2
2A
t
2
  J
Ed anche l’eq per il potenziale scalare diventa

    2  

t
2
 2
Nota: la scelta di Lorenz non solo semplifica i conti, ma
ha un significato fisico: esprime in modo diverso la
continuità della carica
Soluzione del potenziale vettore: statico
Nel caso statico abbiamo già visto come fare; vediamo
cosa succede con le formule attuali
 A  J
2

 

2
Come ci aspettavamo. Queste le abbiamo risolte
(sempre lezione 10, anche se con notazione lievemente
diversa)
 dV '
 
V 4 r  r '

 (r )  

J dV '
A (r )   
 
V 4 r  r '
Soluzione del potenziale vettore: Dinamico
Usiamo un approccio euristico: sappiamo
che la differenza principale tra caso statico
e dinamico è che le interazioni si
propagano in tempo finito
 dV
P
r-r’
r
r’
Proviamo a determinare le soluzioni
V
considerando solo questo fatto: quindi
sostituendo alle equazioni possiamo verificare
che funziona. Avremo allora
 
 

r  r' 

r  r' 
 dV '
 dV '
J t 
  t 


v
v





A
(
r
,
t
)


 (r, t )   


 

4 r  r '
4 r  r '
V
V
essendo v uno sulla radice di , r il punto di
osservazione ed r’ la variabile di integrazione
Soluzione del potenziale vettore: Dinamico sinusoidale
Le funzioni del tempo divengono semplicemente
 

r
r ' 
 
t

j

 


r  r' 
v 


jk
r
r '
jt
e
f t 
e e


v


va sottinteso
per cui
 
 jk r  r '

e
dV '
 (r )  
 
4 r  r '
V

Je
A (r )   
V
 
 jk r  r '
dV '
 
4 r  r '
Il dipolo Hertziano
E’ il più semplice esempio di radiatore: ideato da Heinrich
Rudolf Hertz ed utilizzato nel suo esperimento del 1887
Ricevitore
Trasmettitore
1857-1894
Il dipolo Hertziano
In modo più schematico
Trasmettitore
Ricevitore
Il dipolo Hertziano
Supponiamo di avere una corrente
filiforme orientata lungo z, di
lunghezza piccola rispetto alla
lunghezza d’onda (lunghezza h), e
costante nello spazio. Immaginiamo
che sia sinusoidale nel tempo
(usiamo i fasori)
z
nisr
h
x
) z ,y ,x (P

I
0
y

La continuità della carica impone che agli estremi vi siano due
cariche uguali ed opposte, anch’esse variabili nel tempo
Vista l’ipotesi di elemento “corto” l’integrale diventa
semplicemente I0h, e l’unica componente non nulla è lungo z

I 0 he  jkr
A(r )  Au z  
uz
4r
Il dipolo Hertziano
quindi abbiamo già tutto…l’unica difficoltà è passare alle
coordinate sferiche
I 0 he  jkr cos
Ar  Az cos  
4r
I 0 he  jkr sin
A   Az sin   
4r
non c’è componente angolare lungo  vista la simmetria cilindrica
1
1
1
u
u
u
r

rsin
A questo punto basta calcolare i campi
r
r 2 sin
B   A 
r


Ar
rA
rsinA
1
1
 2
u r (  rA ) 
u   Ar  u  r rA    Ar 
rsin
r
r sin
1

Il dipolo Hertziano
Quindi B (ed H) ha solo componente lungo 
I 0h
e  jkr 
1
H 

sin
jk




4
r 
r
B
Considerazioni: in condizioni statiche k=0: il secondo termine, che
rimane, è quello statico: ci potete riconoscere la formula di

 I  
Laplace
B
in cui
4 r
2
dl  ur
hu z  dl
Quindi: il termine statico decresce come 1/r2, quello dinamico
come 1/r
Il dipolo Hertziano
Calcoliamo il campo elettrico (un po’ di conti…)
I 0h
e  jkr
Er 
cos
4
r
I 0h
e  jkr
E 
sin
4
r
 2

2



2 
 r
j

r




1

 j 


2


r
j

r


Vedete un termine che decresce come r3, che è quello del dipolo
elettrostatico in cui I0/j è proprio la carica (per continuità)
A grande distanza dominano solo i termini in 1/r (quindi Er è
trascurabile); quindi a grande distanza
Il dipolo Hertziano
a grande distanza
 jkr
I 0h
e  jkr
I 0h
e
H   jk
sin 
E  j
sin 
4
r
4
r
E 





H
k

 
come un’onda piana!
Il dipolo Hertziano
I campi di un dipolo hertziano, posto all’incrocio dei
piani
I grafici calcolati da Hertz!