Istituzioni di Fisica Subnucleare
A. Bettini 2006
Capitolo 1
Gli strumenti
1. Relatività, particelle, interazioni
12/18/2015
C.1 A. Bettini
1
Trasformazioni di Lorentz

V
;
c

1
1  2
4-vettore coordinate (ict , r)
x '   x   ct 
y'  y
z'  z
ct '   ct   x 
La sua norma (scalare) è l’intervallo
ds  c2 dt 2  dr 2
4-vettore energia-momento (icE , p)
px '   px   cE 
py '  py
pz '  pz
La sua norma è uno scalare, la massa
m2 c 4  E 2  p2 c2
cE '   cE   px 
N.B. Il gruppo di Lorentz contiene una costante, positiva, indicata con c2
Ha il significato fisico di quadrato della velocità di propagazione dell’informazione, quindi
delle onde fondamentali (elettromagnetiche e gravitazionali)
12/18/2015
C.1 A. Bettini
2
Richiami di relatività
I processi fisici rilevanti per lo studio della fisica subnucleare avvengono ad energie
confrontabili o maggiori, anche molto maggiori, delle energie di riposo delle particelle
coinvolte
Le particelle si muovono sia negli acceleratori sia negli apparti che le rivelano con velocità
prossime a c
La loro descrizione è quindi relativistica
Due tipi di fenomeni
1.
L’urto: nello stato iniziale ci sono due particelle, nello stato finale due o più
2.
Il decadimento: una particella decade in due o più particelle
In entrambi i casi l’interazione avviene per un tempo brevissimo, rispetto a quelli misurabili
Le particelle nello stato iniziale e in quello finale sono quindi “libere”, non interagiscono
tra loro
Situazione diversa. I protoni, i neutroni (in genere gli adroni) sono particelle composte. I quark
sono particelle elementari legate negli adroni dall’interazione “forte”.
I quark non sono particelle libere.
12/18/2015
C.1 A. Bettini
3
Massa, energia, quantità di moto
La massa m di un corpo è un invariante relativistico, non dipende dalla velocità, è una
caratteristica del corpo, come la carica
Er
La quantità di moto è
p 2v
c
Esistono particelle con massa nulla m = 0. Non esiste analogo non-relativistico
•il fotone 
•non i neutrini (sono tre: ne, nm e nt). Si pensavano tali, ma si è trovato che hanno masse
piccolissime, ma non nulle
I corpi di massa nulla hanno velocità c in ogni riferimento e pc = E

r
r
p  m v; con   1  2
Se m≠0, la quantità di moto è anche
L’equazione del moto è
Per v0,  1 quindi pmv
Relazione tra massa, energia e
q.d.m. per una particella libera
12/18/2015

1/2
,
  v/c
r
dp
F
dt
la massa m è quella di Galileo-Newton
m2 c 4  E 2  p2 c2
C.1 A. Bettini
4
La massa e l’energia
m 2c4  E 2  p 2c2
L’energia in generale è somma quadratica dell’energia di massa e
dell’energia di moto

Per un corpo fermo, solo energia di massa (energia a riposo) E0=mc2
Per un corpo ultrarelativistico contributo dell’energia di massa è
piccolo
Se la massa è nulla (mai fermo) E = pc
Attenzione!
La “famosa equazione di Einstein” E=mc2 non è corretta
L’equazione corretta è E0=mc2
12/18/2015
C.1 A. Bettini
5
La legge del moto per una particella
Equazione corretta
F
dp
dt
p  mv
F
 v2 
d  1 2 

 c 
d r
m
vm
dt
dt
r r
r
3 r
F  m a  m a   
1/2
Equazione errata
dp
d
 ma  m v
dt
dt
1  v2 
r
v  m  1 2 
2 c 
3/2
v r

3
 2 2 at  v  m
c
F  ma

r r r
a  
 
 
La forza non è parallela all’accelerazione, ma ha anche
un pezzo parallelo alla velocità
r r
r F 
r
r
r
r
a  
r r
3 2r
2 2 r
3r
m 3
F    m a    m  a    m 1   a    m a  

 
r r r
r
F  F     m a
Casi particolari

L’accelerazione non è parallela alla forza, ma ha anche
un pezzo parallelo alla velocità
Fv  F = m3 a
Fv  F = m a
 ”massa longitudinale” = m3
 ”massa trasversale” = m
Non si può definire in maniera non ambigua la massa come inerzia al moto
Forza e accelerazione non sono in generale parallele
12/18/2015
C.1 A. Bettini
6
La massa in meccanica quantistica
La descrizione dei fenomeni connessi con la fisica subnucleare è quantistica. Notiamo qui che
Massa è una proprietà degli stati stazionari = autostati della Hamiltoniana libera
Analogia: la pulsazione è una proprietà delle sole onde monocromatiche. Non ha senso parlare di
pulsazione di una funzione la cui dipendenza dal tempo non sia una funzione armonica
Anche tra le particelle elementari esistono sistemi quantistici a due stati (K˚- K˚, B˚-B˚, ecc.) e a
tre stati (ne, nm, nt) che sono prodotti dall’interazione responsabile in stati non stazionari, per i
quali non si può definire la massa (e la vita media). Le masse sono definite per gli stati stazionari,
combinazioni lineari di quelli.
12/18/2015
C.1 A. Bettini
7
Massa di un sistema di particelle
Due casi: le particelle componenti possono essere
1.libere, cioè, le distanze tra loro sono abbastanza grandi da poterne trascurare le interazioni
2.interagenti, come i quark in un protone, i nucleoni in un nucleo, gli elettroni in un atomo, ecc.
Particelle libere
quantità di moto della i-esima
pi
Ei  mi2 c 4  pi2 c 2
energia della i-esima
infatti è libera
n
r
r
Quantità di moto del sistema P   pi
n
Energia del sistema E   Ei
i1
Massa del sistema
i1
m2 c 4  E 2  p2 c2
m
1
c2
2
 n   n r 
  Ei     cpi 
i1
i1
2
L’energia e la quantità di moto di un sistema di particelle non interagenti è la somma delle loro
energie e delle loro quantità di moto, rispettivamente
La sua massa non è (in generale) la somma delle loro masse, ma dipende dalle direzioni
relative delle q.d.m.
12/18/2015
C.1 A. Bettini
8
La massa di un sistema di due fotoni
2 fotoni della stessa energia E
stessa q.d.m. p=E/c
E
p=E/c
E
p=E/c
E
p=E/c
Direzioni parallele e stesso verso
Direzioni parallele e versi opposti
E
Etot =2 E, ptot = 2E/c
mtot=0
Etot =2 E, ptot = 0
p=E/c
mtot= 2E/c2
0 < mtot< 2E/c2
Direzioni diverse
La massa non è una misura della quantità di materia del corpo
12/18/2015
C.1 A. Bettini
9
Unità di misura naturali. Prima semplificazione
Per semplificare le formule conviene adottare il sistema di unità di misura “naturali”
L’unità fondamentale è il tempo (come nel SI)
L’unità di misura della lunghezza viene fissata in modo che c=1. È la distanza percorsa dalla
luce in 1 s.
[L] = [T]
E 2  p2 c2  m2 c 4
E 2  p2  m2
Massa, energia, quantità di moto hanno le stesse dimensioni fisiche
Per esempio 1 GeV = 1.6 x 10–10 J
12/18/2015
C.1 A. Bettini
10
La massa del sistema di due particelle libere
La massa di un sistema di più particelle viene a volte chiamata “massa invariante”, ma
l’aggettivo è inutile (e fuorviante, la massa è sempre invariante)
Il quadrato della massa viene spesso indicato con s
In un riferimento qualunque
r r 2
r r
2
s  E1  E2   p1  p2   m12  m22  2E1E2  2 p1  p2
r
p
r r
2
2

s  m1  m2  2E1E2 1 1   2
E


Due riferimenti importanti
LABORATORIO:
una ferma = bersaglio una in volo = proiettile (nel fascio)

s  E1  m2
2
1
A rigore se m1  m2  E1*  E2*
Se E  mi  E ; E
*
i
12/18/2015
*
1
s  m12  m22  2m2 E1
p
2
*
2
s  2m2 E1 se E1  m1, m2
CENTRO DI MASSA: il sistema di riposo in cui P = 0
massa (invariante) del sistema = √s = Ec.m.

s  E1*  E2*
C.1 A. Bettini
  
2
 2E *
2
11
Sistema di particelle interagenti
Energia e quantità di moto del sistema non sono semplicemente le somme
delle energie e q.d.m. dei suoi componenti
Ci sono anche energia e quantità di moto dei campi con cui interagiscono
La situazione può essere molto complessa
Ma ci sono casi importanti nei quali possiamo semplificare
n
E   Ei
i1
n
r
r
P   pi
i1
Una particella che si muove in un campo stazionario, cioè in un potenziale dato
Esempio: un elettrone (carica qe) nelle vicinanze (distanza r) di un nucleo (carica Zqe)
MN >> me quindi il nucleo sta fermo. Il moto dell’elettrone non lo disturba.
Mettiamo l’origine del riferimento nel nucleo fermo
1 Zqe



L’elettrone si muove nel potenziale stazionario
4 r
0
Zqe2
Energia dell'elettrrone E  m c  p c 
4 0 r
2 4
e
2 2
p2
1 Zqe2
E  me c 

2me 4 0 r
2
La velocità dell’elettrone v<<c, quindi
Nell’atomo gli elettroni rimangono tali (ad es. non
trovano positroni con cui annichilarsi), l’energia di massa
è una costante. Quindi l’energia è come nel caso classico
12/18/2015
1
C.1 A. Bettini
p2
1 Zqe2
E

2me 4 0 r
12
Sistema di particelle interagenti
N.B. Il concetto di potenziale non è relativistico.
Supponiamo che “l’atomo” sia composto da un e– e da un e+.
Non c’è un centro di forza che stia fermo. Il sistema è composto dall’elettrone, dal positrone e dal
campo e.m. da essi generato e nel quale si muovono, se la descrizione fosse quella della fisica
classica.
Inoltre ci sono processi quantistici: i due possono annichilarsi e+e–  ; rimane solo il campo
Un fotone del campo può di nuovo produrre una coppia   e+e–
[Perché questi processi avvengano deve essere presente un altro corpo, vedi poi]
Criterio (2 equivalenti)
Si può usare il concetto di potenziale
se le energie in gioco sono << masse
se le velocità << c
OK negli atomi e nei nuclei
Non OK nei nucleoni
12/18/2015
C.1 A. Bettini
13
Esempio. L’urto macroscopicamente anelastico
Consideriamo due corpi con la stessa massa m e con la medesima velocità  che siano diretti
inizialmente l’uno contro l’altro (due palline di cera ad esempio). I due corpi si urtano e
rimangono appiccicati, formando un corpo di massa M
L’energia cinetica finale è nulla ma l’energia totale è rimasta invariata. È aumentata di altrettanto
l’energia a riposo. La conservazione dell’energia in questo caso è
2 m  M
La massa del corpo composto è M > 2m, ma di poco
Esempio. Prendiamo velocità alta rispetto alle ordinarie =300 m/s. Rispetto a c però è piccola,
 = /c = 10–6. Sviluppando in serie
M  2 m 
M  2m 1 2
   10 12
2m
2
2m
1 2

2m(1
 )
2
2
1 
La differenza è così piccola da non essere misurabile direttamente. L’aumento di energia di
massa, macroscopicamente appare come aumento di temperatura (cioè di energia cinetica delle
molecole)
12/18/2015
C.1 A. Bettini
14
Esempio. L’atomo di idrogeno
L’atomo di idrogeno è costituito da un elettrone ed un protone
Il lavoro necessario per separarli, cioè l’energia di legame è
DE = 13.6 eV
In corrispondenza la massa dell’idrogeno mH è minore della somma delle masse del protone mp e
dell’elettrone me
mH  DE  m p  me
La differenza relativa di massa, il rapporto tra differenza di massa e massa dell’idrogeno, è
mH  m p  me
mH

13.6
8

1.4

10
9.388  10 8
una piccolissima frazione come si vede. Il che giustifica l’approssimazione non
relativistica
12/18/2015
C.1 A. Bettini
15
Esempio. La fissione e la fusione nucleari
I nuclei più massicci, come l’Uranio, tendono ad essere instabili; possono spontaneamente o
forzandoli dall’esterno (facendo loro assorbire un neutrone) spaccarsi in due.
M = massa del nucleo originario
m1 e m2 = masse dei frammenti.
Risulta che: m1 + m2 < M
M  m1  Ek1  m2  Ek 2
Conservazione dell’energia (un. nat.)
Ek1  Ek 2  M  m1  m2
La somma delle energie cinetiche dei frammenti è
l’”energia nucleare” utilizzata nelle centrali a fissione
Viceversa, il nucleo di He è molto stabile, la sua massa è minore della somma delle masse dei
nucleoni (2p e 2n) costituenti
mHe  3727.41 MeV
mn  939.57 MeV
m  938.27 MeV
p


DE  mHe  2m p  2mn  3727.41 2  938.7  2  939.57  28.3 MeV
DE
28.3

 0.8%
mHe 3727.41
L’energia
del sole
I difetti di massa nucleari sono enormi rispetto a quelli atomici o molecolari.
La forza forte è infatti molto maggiore di quella elettromagnetica
Ma ancora l’approssimazione non relativistica funziona
Non così per gli adroni
12/18/2015
C.1 A. Bettini
16
Esercizio. Avviene o no?
Nel vuoto possono avvenire i seguenti processi?
  e  e Sia E l’energia del gamma, Ef, pf energia e q.d.m. dell’elettrone finale
s= (E+me)2 – p2= 2meE 
= Ef2 – pf2 = me2
2meE  0
NO
  e  e
E1 e p1 energia e momento di e+, E2 e p2 energia e momento di e–
s = 0=(E1+ E2)2–(p1+ p2)2 = 2me2+2(E1E2 – p1p2 cos)>2me2>0
e  e  
È l’inversa delle precedente.
NO
NO
NB. In tutti i casi il problema nasce dall’impossibilità di soddisfare contemporaneamente la
conservazione dell’energia e quella del momento
e+

Le reazioni avvengono in natura nel campo Coulombiano di un
nucleo; questo rincula, garantendo la conservazione del momento
12/18/2015
C.1 A. Bettini
e–
p
17
Unità di misura naturali
h =6.58x10–22 MeV s
c = 3 x 1023 fm/s
hc = 197 MeV fm (GeV am)
Poniamo (già visto) c = 1, ridefinendo l’unità di misura delle lunghezze
L’unità di misura del tempo = il secondo
Unità di misura delle lunghezze = distanza percorsa dalla luce in un secondo [L] = [T]
Massa, energia, quantità di moto hanno le stesse dimensioni fisiche
Poniamo h =1, ridefinendo l’unità di misura della massa
Per le conversioni
Dimensioni dell’energia [E]=[L–1]=[T–1]
1 MeV = 1.53  1021 s–1
NB. In UN h=2π
1 MeV–1 = 197 fm
1 s = 3  1023 fm
1 s–1= 6.5  10-16 eV
1 m = 5.07  104 eV–1
1 m–1 = 1.97  10–7 eV–1
Si può ridefinire anche l’unità di misura della carica
elettrica. Unità Heaviside-Lorentz 0= m0= 1
Alcuni autori (letteratura passata e non solo) 4π0=1
12/18/2015
C.1 A. Bettini
 Carica elementare al quadrato
qe2
2
e 
  hc  2.3  10 28 Jm
4 0
18
Energia e tempo
Il simbolo m può significare
•La massa m
•L’energia di riposo mc2
•L’inverso della lunghezza Compton h/mc
•L’inverso del tempo impiegato dalla luce a percorrere la lunghezza Compton h/mc2
Lunghezza d’onda Compton del π (m=140 MeV)

1
1fm
MeV–1 
 1.42fm
–3
m
140  5 10
Tempo impiegato
a percorrerla a velocità c

t
1.42fm
–24

5
10
s
23
310 fm/s

12/18/2015
C.1 A. Bettini
19
Frequenza angolare ed energia
In UN il simbolo  può significare o una frequenza angolare o un’energia h
 t 
 t 
t   0 exp –  cos 0t  0 exp –  cos 0t,
 2
 2t 
t = 1/

Trasformata di Fourier F() (<<
F  
2

2
1

 2 2 – 2
0
 –  2 2
2
La misura della larghezza di risonanza
fornisce la vita media della stessa
Esempio: la r, un mesone che decade tramite interazione forte in 2π, ha larghezza   150 MeV
1
1
1
–24
t 


4
10
s
21
–1
Tempo caratteristico dei processi forti
 150MeV 150 1.52 10 s
12/18/2015
C.1 A. Bettini
20
Decadimenti e Urti
Fisica teorica insegna a calcolare l’elemento di matrice della hamiltoniana d’interazione tra lo
stato iniziale e quello finale. L’elemento di matrice è l’ampiezza di probabilità di transizione
nello stato finale considerato.
Due tipi di processi
M fi   f H int  i
1 urti. Ad esempio a + b  c + d : lo stato finale può essere definito, ad esempio o con c e d
prodotti in qualsiasi direzione e con qualsiasi polarizzazione, o con a in un certo angolo solido, o
con b con una certa polarizzazione, ecc. A seconda del caso si deve integrare sulle variabili che
non si osservano. La quantità da calcolare è la sezione d’urto relativa allo stato finale misurato
2 decadimenti Ad esempio a  b + c + d : di nuovo lo stato finale può essere definito in
maniera più o meno dettagliata a seconda di cosa si misura. La quantità da calcolare è la velocità
di decadimento nello stato finale misurato. Se si somma su tutte le configurazioni possibili si
ottiene la larghezza parziale di a nel canale b c d: Gbcd. La somma su tutti i possibili canali di
decadimento fornisce la larghezza totale di a
G1/t
Si chiama rapporto di ramificazione in b c d il rapporto Rbcd= Gbcd/ G
In entrambi i casi si calcola il numero di interazioni (urti o decadimenti) per unità di tempo,
normalizzato ad una particella del bersaglio e una del fascio, oppure ad una che decade
12/18/2015
C.1 A. Bettini
21
Sezione d’urto
Bersaglio fisso. Un fascio di particelle urta contro un pezzo di materia composto da bersagli
elementari (nuclei, o elettroni, o quark nei nuclei)
Ff = flusso incidente = numero di particelle nel fascio per unità di tempo e unità di sezione
normale
Ri = numero di interazioni per unità di tempo
W= numero di interazioni per unità di tempo per particella bersaglio
Nb = numero totale di centri diffusori (s’intende illuminati dal fascio)
La sezione d’urto è per definizione
Ri
W
b 

F f Nb F f
Ci sono NA nucleoni per grammo N nucleoni
M kg N A M kg 6  10 23


–3
10 kg
10 –3 kg

Ci sono A nucleoni per nucleo
N Nuclei 
M kg N A
A moli/g  10 –3 kg/g



1 barn = 10–28 m2 (sezione
geometrica nucleo A 100)
In fisica subnucleare
 mb, µb, pb, fb

dei quali circa 1/2 protoni e 1/2 (o un po’ di
più) neutroni
12/18/2015

C.1 A. Bettini
1 GeV–2 = 388 µb
1 mb = 2.5 GeV–1
22
Luminosità
Luminosità L=numero di eventi per unità di tempo e unità di sezione d’urto
[L]=[m–2s–1], ma spesso [cm–2s–1]
S= sezione utile del fascio
N f Nb
Ri
L


F
N

Nf numero particelle del fascio al secondo
f
b

S
nb densità numerica di particelle bersaglio [m–3]
r densità del bersaglio [kg/m3]
L  N f nbl  N f
l=lunghezza del bersaglio  Nb=nb S l
rN A
10 –3
l
Fascio con I=1013 particelle/s
Bersaglio H2 liquido: r=60 kg m–3, l=10 cm
LI
12/18/2015
r
10
3
lN A  1013  60  10 3  0.1 6  10 23  3.6  10 40 m -2 s-1
C.1 A. Bettini
Att errore su dispense Ni per Nf
23
Spazio delle fasi, larghezze e sezioni d’urto
Regola d’oro di Fermi
W= tasso di reazioni per particella bersaglio
E= energia totale del sistema
r(E) = volume di spazio delle fasi
W  2 M fi r E 
2
Due modi di scrivere il volume dello spazio delle fasi (SF) e quindi Mfi
1. non relativistico: la probabilità che la particella i abbia la posizione ri è | (ri)|2. Essa viene
normalizzata uguagliando ad 1 il suo integrale su dV
dV è scalare in 3 dimensioni ma non in 4, quindi non è Lorentz-invariante. Fattore di Lorentz
per il cambio di riferimento rr’ =   l’elemento di volume cambia dV dV’=  dV
La densità di probabilità | (ri)|2 non è invariante, ma | (ri)|2  | ‘(ri)|2= | (ri)|2/ 
SF=per ogni particella i un fattore d3pi. Il tasso di interazioni W è indipendente dal riferimento,
quindi M non è invariante
2. relativistico: Le energie: E E’=  E  Definire densità di probabilità |(2E)1/2 (ri)|2 (2 per
convenzione), che è invariante. Si dimostra che, per n corpi nello stato finale
 3 n r r
d 3 pi  n
rn E   (2 )   3    Ei  E     pi  P  
  i1

i1 (h) 2Ei  i1
n
4
 n
 3 n r r
d 3 pi
 (2 )  
   Ei  E     pi  P 
3
  i1

(2

)
2E
i1
i  i1
n
UN
12/18/2015
4
C.1 A. Bettini
24
Sezioni d’urto
Sezione d’urto.
È normalizzata ad una singola particella incidente  dividere per flusso incidente
Nel riferimento del lab le particelle bersaglio b sono ferme, le particelle del fascio a si muovono
con velocità a. Il flusso è il numero di particelle (normalizzato a 1) in un cilindro di altezza a
e base unitaria
In un riferimento in cui anche le particelle b si muovono con velocità b il flusso di queste è il
loro numero (normalizzato a 1) in un cilindro di altezza b e base unitaria. Il flusso complessivo
è 1 in un cilindro di altezza a– b = differenza delle velocità
La sezione d’urto se le energie sono Ea e Ea e le velocità a e b è
(2 )4
r
r

2Ea 2Eb a  b
M
2
fi
 n
 3 n r r
d 3 pi
   Ei  E     pi  P 

3
  i1

(2

)
2E
i1
i  i1
n
N.B. a– b è la differenza delle velocità non la velocità relativa (come spesso scritto)
12/18/2015
C.1 A. Bettini
25
Larghezze
Decadimento.
Nello stato iniziale c’è una particella di energia E. La probabilità di transizione allo stato finale f
per unità di tempo è
(2 )4
G if 
2E
M
2
fi
 n
 3 n r r
d 3 pi
   Ei  E     pi  P 

3
 i1
  i1

(2

)
2E
i1
i
n
Velocità di decadimento (larghezze) e sezioni d’urto si misurano
L’elemento di matrice si calcola sulla base della teoria (modello standard o
altra)
Il confronto testa la teoria
12/18/2015
C.1 A. Bettini
26
Esempio. Spazio fasi per due corpi
Consideriamo uno stato finale di un decadimento o di un urto di due corpi c e d. Conviene
calcolare nel sistema del cm.
Le energie: Ec, Ed, e in totale E= Ec+ Ed
I momenti: pc=–pd=pf
Sia per i decadimenti sia per le sezioni d’urto c’è da calcolare
d 3 pc
d 3 pd
r
4
3 r
2


E

E

E

p

p





c
d
c
d
 (2 )3 2Ec (2 )3 2Ed
Integrando su pd
1
4 
2
d 3 pc
1

E

E
p

E





 Ec Ed pc  c d c
4 2


 
p 2f d p f d f
E c Ed p f
 Ec  Ed p f  E
Usando la rimanente  e rimandando l’integrazione sugli angoli, dai quali in genere dipende
l’elemento di matrice
p 2f
d pf
p 2f
1
1
1
d

d f
f
2
2
d
E
E
p
E
E
p
4

4

  c d f d Ec  Ed p f
  c d f
Ec  Ed p f
dp f
 
dEc p f

dp f Ec
12/18/2015
dEd p f

dp f Ed
 
1
4 2
C.1 A. Bettini
p 2f
 

1
d f 
Ec Ed p f p f

Ec Ed
 
p f d f
E 4 2
27

Larghezza (parziale) e sezione d’urto
G a,cd 
Velocità di decadimento di una
particella a di massa m in c + d (nel cm)
1 pf
2m E
G a,cd 

pf
8 m 2
d f
2
M a,cd
4 2
M a,cd
2
Sezione d’urto per il processo a + b  c + d (nel cm)
Le energie: Ea, Eb, e in totale E= Ea+ Eb
I momenti: pa=–pb=pi
In genere particelle del fascio e del bersaglio non sono polarizzate. Bisogna sommare sui
diversi stati di spin finali e mediare su quelli iniziali
d
1
r
r

d f 2Ea 2Eb  a  b
r
 a  b   a  b 
Dove
pi pi
pE

 i
Ea Eb Ea Eb

iniziali
12/18/2015

 
iniziali
M fi
2
finali
d
1 1 pf

d f 8 2 E 2 pi
1
4 2
 
iniziali
pf
E
M fi
2
finali
1

2sa  12sb  1iniziali
C.1 A. Bettini
28
Fermioni e bosoni
Fermioni (statistica di Fermi-Dirac)
Due tipi di particelle
Bosoni (statistica di Bose-Einstein)
1 3 5
Spin= h, h, h,....
2 2 2
Spin=0h,1h, 2h,....
Le particelle di un certo tipo, ad esempio gli elettroni, sono tra loro indistinguibili in linea di
principio
Lo stato di una particella è definito dai valori di un insieme di osservabili {P} (ad es.:
{momento, terza componete dello spin, carica,..})
Sistema di due particelle identiche. Stato definito dai due insiemi di valori, diciamo, {P1 }, {P2 }
Le particelle sono indistinguibili, quindi |({P2 },{P1 })|2 = |({P1 },{P2 })|2
Due casi
Statistica di Fermi-Dirac
Statistica di Bose-Einstein
 {P2 },{P}1    {P1 },{P2 } 
 {P2 },{P}1    {P1 },{P2 } 
antisimmetrica
simmetrica
Segue il principio di esclusione di Pauli: due fermioni identici non possono trovarsi nel
medesimo stato quantico (cioè avere gli stessi autovalori per tutti gli osservabili che
definiscono lo stato)
12/18/2015
C.1 A. Bettini
29
Le particelle
Materia ordinaria = nuclei+elettroni. Nuclei = protoni+neutroni (= nucleoni)
Elettroni, protoni, neutroni hanno spin = 1/2
Barioni: fermioni (spin=1/2, 3/2,..) ,includono nucleoni; tutti instabili (tranne p). Composti di tre
quark
Mesoni π+, π–, π˚ mediatori delle forze nucleari (Yukawa 1935, Occhialini e Powell 1949)
Mesoni includono i pioni ma ce ne sono molti diversi. Composti di un quark+un antiquark
Adroni: particelle con interazioni forti= barioni + mesoni
Quark. Mai liberi. Spin = 1/2. Tre “famiglie” con la stessa struttura: un quark tipo “up”, carica
2/3 e un quark tipo down, carica —1/3:
up (u), down (d)
charm (c), strano (s)
top (t), beauty (b)
Leptoni. Spin = 1/2. Tre “famiglie con la stessa struttura: un quark tipo elettrone, carica –1 e
neutrino, carica 0
elettrone (e), neutrino-e (ne)
muone (µ), neutrino-µ (nµ)
tau (t), neutrino- t (nt)
Attenzione. La materia ordinaria costituisce, sembra, solo poco più del 10% della
materia e il 4% della Materia+energia dell’universo. Cosa è il resto?
12/18/2015
C.1 A. Bettini
30
Le interazioni fondamentali
Le interazioni fondamentali sono
Interaz
1. Gravitazionale
Debole
2. Debole
E.M.
+
–
• di “corrente carica”, mediata da W e W
Forte
• di “corrente neutra”, mediata da Z0
3. Elettromagnetica, mediata dal fotone, 
4. Forte. Si esercita tra quark, è la forza di “colore”,
mediata dai gluoni, all’interno degli adroni
• le forze forti tra adroni non sono fondamentali, ma
le “code” della forza di colore
Mediatore
M (GeV)
JP
W ±, Z 0
91.2, 80.4
1–

0
1–
g
0
1–
I mediatori neutri sono
antiparticelle di se stessi
W+e W– sono uno
antiparticella dell’altro
Le interazioni sono elencate in ordine di intensità crescente alle energie di laboratorio
Il Modello Standard è la teoria quantistica di tutte le forze, tranne la gravitazione. Di questa
abbiamo solo teorie macroscopiche, la Relatività Generale (e altre)
La forza gravitazionale è debolissima e non osservabile a livello microscopico e alla scala delle
energie di laboratorio
Non ne discuteremo in questo corso, a parte un’osservazione
12/18/2015
C.1 A. Bettini
31
L’interazione gravitazionale
Esemp.: le forze elettrostatica e gravitazionale tra un protone ed un elettrone fermi alla distanza r
me m p
1 qe2
F
ep

G
 N 2
gravit . 
Felettrost . ep  
2
r
4 r
0


Felettrost . ep 
q


 10 39
12
11
31
27
Fgravit . ep  4 0GN me m p 4  8.8  10  6.67  10  9.1 10  1.7  10
1.6  10 –19
2
e
2
La costante di Newton GN (gravitazione), la velocità della luce c (relatività) e la costante di
Planck h (meccanica quantistica) si combinano in espressioni (correlate) che hanno le
dimensioni della massa e della distanza, la massa e la lunghezza di Planck
MP 
hc
 1.22  1019 GeV
GN
LP 
h
35

1.62

10
m
3
GN c
sono le scale, energie enormi o distanze minuscole alle quali, presumiamo, gli effetti
quantistici della gravitazione dovrebbero manifestarsi
nell’impossibilità, ora e sempre, di costruire acceleratori di tanta energia, dobbiamo cercare
nei fenomeni cosmici qualche indicazione sulla teoria della gravità cui ubbidisce la natura
12/18/2015
C.1 A. Bettini
32