Niccolò Fontana
Il triangolo di Tartaglia
Niccolò Fontana(Brescia 1500-Venezia 1557)
• Matematico autodidatta
• Universalmente conosciuto con il soprannome
di Tartaglia per via della balbuzie
• Insegnante di matematica a Verona nel 1521
poi a Venezia nel 1534
Opere di maggiore interesse
• Nel 1537 scrisse la «Nova Scientia»
prima opera di balistica teorica
• Nel 1543 pubblico la traduzione
italiana degli «Elementi di Euclide»
Il triangolo di Tartaglia
Disposizione geometrica dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello
sviluppo del binomi (a b) elevato ad una qualsiasi potenza n.
Costruzione del triangolo
In ciascuna riga si può osservare che gli elementi di questa costruzione si ottengono come
somma di due elementi adiacenti della riga precedente. Ossia, se k e n sono interi positivi,
e k è minore o uguale a n
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
1 7 21 35 35 21 7 1 n=7
k=0 k=1 k=2 K=3 k=4 k=5 k=6 k=7
La somma dei termini di ogni riga è la successione delle
potenze del 2.
Se i numeri pari sono sostituiti dai puntini bianchi e i numeri
dispari da puntini neri, si ottiene l’immagine in figura
Dato un numero n fissato, i numeri del triangolo che siano suoi multipli
interi formano dei nuovi triangoli con il vertice in basso oppure dei punti
isolati. Tali triangoli non si intersecano, né sono adiacenti
Pari:
1
1
1
1 \2/ 1
1 3 3 1
1 \4 6 4/ 1
1 5 \10 10/ 5 1
1 \6/ 15 \20/ 15 \6/ 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 \8 28 56 70 56 28 8/ 1
1 9 \36 84 126 126 84 36/ 9 1
Nel triangolo di Tartaglia, oltre ai coefficienti binomiali,
si individuano anche altre successioni di interi positivi
• Numero di Catalan
• Numeri di Fibonacci
• Serie dei numeri politopici
I Numeri di Catalan si possono trovare in verticale partendo dal
vertice, scendendo e dividendo per 1, 2, 3, 4 ... quindi sono
1/1, 2/2, 6/3, 20/4, 70/5 ... ovvero 1, 1, 2, 5, 14 ...
1
1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
I Numeri di Fibonacci possono essere trovati sommando le diagonali "storte", ottenute
spostandosi ogni volta di una riga sotto e due numeri a sinistra. Esiste anche un algoritmo
per la determinazione dei coefficienti del polinomio di Fibonacci
1
1
1
1
1
2
3
4
1
1
3
1
6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Il triangolo disegnato dal matematico cinese Zhu Shijie nel 1303