Lezione 6
Perdita di energia
Abbiamo introdotto la perdita di energia per collisioni, che avviene
tramite scattering coulombiani sugli elettroni del materiale.
 Questo è alla base di molti apparati usati per rivelare particelle
cariche.
Andremo ora un po’ più in dettaglio:





dE/dx
Range
Risalita relativistica (bmin/bmax) e saturazione
Fluttuazioni della perdita di energia
Energia critica
Rivelatori di Particelle
1
Lezione 6
Perdita di energia
Per una singola collisione a parametro d’impatto b:
2 2 z 2
De (b)  2 2
bvm
DE b   energia persa o trasferi ta

 z  carica particella incidente
m  massa particella bersaglio

 La perdita di energia non dipende dalla massa della particella
incidente
 Dipende dalla carica e dalla velocità della particella incidente
 Dipende dall’inverso della massa del bersaglio  favorito il
trasferimento di energia agli elettroni atomici
 Va come 1/b2  grandi De per piccoli b2
Indichiamo con De il trasferimento di energia per un singolo urto e con
DE la perdita di energia totale.
Rivelatori di Particelle
2
Lezione 6
Perdita di energia
Una particella veloce che attraversa la materia vede elettroni a varie
distanze dal suo percorso. Se abbiamo N atomi per unità di volume
con Z elettroni per atomo, il numero di elettroni dn che si hanno fra b e
b+db in uno spessore dx di materia sarà:
dn  NZ 2bdbdx
se vogliamo la perdita di energia dE/dx dovremo integrare su tutti i
possibili parametri d’impatto, ovvero:
dE
z

 4NZ
dx
mv2
2
1
z 2 2 bmax
b b2 bdb  4NZ mv2 ln bmin
min
2 bmax
Nell’ipotesi che ho un parametro d’impatto minimo e massimo.
Rivelatori di Particelle
3
Lezione 6
Perdita di energia
Introducendo il numero di Avogadro N0:
N 0 z 2 2 bmax
dE
 4
Z
ln
2
d x 
A mv
bmin
Osserviamo che la perdita di energia dipende solo dalla carica (z2) e
dalla velocità 1/v2 del proiettile, non dalla sua massa M.
Vediamo ora di ricavare i valori minimo e massimo del parametro
d’impatto b.
Rivelatori di Particelle
4
Lezione 6
Perdita di energia
 bmin >0 in quanto DEmax non può divergere.
Per collisioni frontali ho parametro d’impatto minimo e massimo di
energia trasferita:
z
e
DEmax=Tmax=2(b2g2)mc2
ma:
zre
2 2 z 2
z
DE  2 2 2  bmin  2 2  2
b bcm
gb mc
b g
Rivelatori di Particelle
5
Lezione 6
Perdita di energia
 Per ricavare bmaxosserviamo che l’elettrone è in realtà legato ad un
atomo  per poterlo considerare libero il tempo di collisione deve
essere minore del tempo di rivoluzione, ma tcoll~b/vg
 bmax 
gv
w
dove con w si intende la frequenza di rivoluzione dell’elettrone.
Rivelatori di Particelle
6
Lezione 6
Perdita di energia
Osserviamo:
Un trattamento, sempre classico, ma più corretto (Bohr) considera gli
elettroni come degli oscillatori armonici  bmax.
Il risultato è comunque praticamente lo stesso:
2 2
2 2
2
dE
b2
 No Z   z 1  g b mc
 4 
ln


2
2 
dx
Iz
2 
 A  mc b 
Il termine di Bohr (-b2/2) è una piccola correzione; I = energia media di
eccitazione della targhetta.
Questa formula ottenuta classicamente è valida per particelle incidenti
pesanti ( o nuclei), per particelle più leggere dobbiamo usare una
trattazione quantistica.
Rivelatori di Particelle
7
Lezione 6
Perdita di energia
La formula di dE/dx ricavata classicamente è comunque
perfettamente adeguata per alcune osservazioni:
1.
Picco di Bragg: la maggioranza della perdita di energia si ha
verso la fine del percorso dove la velocità della particella è più
piccola  cura del cancro.
dE/dx
x
Rivelatori di Particelle
8
Lezione 6
Perdita di energia
2.
Range: le particelle perdono energia e poi si fermano
Dato un fascio monocromatico la profondità alla quale le particelle iniziali
sono ridotte alla metà si chiama range medio.
0
1
R E   
dE
dE
E
dx
Il range rappresenta la distanza attraversata dalla particella ed è diversa
dallo spessore attraversato a causa dello scattering multiplo.
È misurato in g/cm2 o in cm. (vedi http://pdg.lbl.gov)
Rivelatori di Particelle
9
Lezione 6
Perdita di energia
Rivelatori di Particelle
10
Lezione 6
Perdita di energia
Legge di scala (Range).
dE
E
 z 2 f v   z 2 g   con f e g funzioni
dx
M 
1
dE

R 2
M

E
M
z g
M
E M
R   2 h E
con h funzione universale di E
M
M
M  z
Supponiamo di conoscere il range di 1 protone come f(E/M)  il range di una
particella  con energia E è :
 
 
 E
R 
 M
 M  z 2p
 E 
 

Rp 
2
 M p z
 M 
Le relazioni range energia sono spesso espresse R(E)=(E/Eo)n. e.g. il range in metri di
protoni di bassa energia nell’aria puo’ essere approssimato con n=1.8 e Eo=9.3 MeV.
Rivelatori di Particelle
11
Lezione 6
Perdita di energia
Cenni sulla trattazione quantistica di dE/dx.
Abbiamo trascurato:
1.
Gli scambi di energia sono discreti  modifica di bmax. Il risultato classico di scambi di
energia possibili su un continuo è sbagliato, ma, in media, viene praticamente corretto.
2.
Natura ondulatoria delle particelle e principio d’indeterminazione  modifica di bmin.
L’analogo quantistico di bmin è bmin~ħ/p.
Bethe ricavò:
2mc2 b 2g 2Tmax
dE
2
2 Z 2 1 1
2

  4N 0 re mc
z 2  ln

b

dx
A b 2
I2

Dove Tmax è la massima energia incidente trasferibile in una singola collisione ed I il
potenziale di ionizzazione medio.
Rivelatori di Particelle
12
Lezione 6
Perdita di energia
Osserviamo che dE/dx:
2mc2 b 2g 2Tmax
dE
2
2 Z 2 1 1
2

  4N 0 re mc
z 2  ln

b

dx
A b 2
I2

i.
Dipende dalla carica della particella incidente (z2). (interazione
Coulombiana).
ii.
Per b crescente decresce come 1/b2 raggiungendo un minimo per
bg ~3÷4 e poi risale in quanto log(b2g2) domina. (risalita
relativistica).
iii.
Dipende dal potenziale di ionizzazione medio del materiale. ( I
dipende da Z, per Z≥20 I/Z~10 eV. (Per una lista delle proprietà
elettromagnetiche degli elementi vedi Fernow pag. 39 e figura prossima diapositiva)
Rivelatori di Particelle
13
Lezione 6
Perdita di energia
Rivelatori di Particelle
14
Lezione 6
Perdita di energia
Rivelatori di Particelle
15
Lezione 6
Perdita di energia
Effetto densità.
La salita relativistica satura crescendo g  plateau di Fermi.
In materiali densi la polarizzazione del dielettrico del materiale altera i campi della particella
incidente dai valori nello spazio vuoto a quelli caratteristici di campi macroscopici in un
dielettrico. La polarizzazione del mezzo agisce da schermo e modifica il massimo
parametro d’impatto. Questo fenomeno è chiamato effetto densità in quanto dipende dalla
densità del mezzo. Più denso è il mezzo tanto prima si raggiunge il plateau di Fermi  la
salita relativistica è più importante nei gas che nei liquidi e nei solidi.
La formula di Bethe Block diventa:
dE
2mc2 b 2g 2
 g 
2 Z 1 
2

 Kz
ln

b

dx
A b 2 
I
2 
E funziona fino al % per particelle fino al nucleo di  per b 0.1  1.0. Per basse velocità
(b~0.05) non è più valida in quanto non sono più valide molte delle assunzioni di Bethe
Block.
Rivelatori di Particelle
16
Lezione 6
Perdita di energia
dE/dx per composti e miscugli.
Una buona approssimazione della perdita di energia per composti e miscugli è data dalla
regola di Bragg (vedi range)
1 dE w1  dE  w2  dE 
       
 dx 1  dx 1 2  dx 2
Dove w1 , w2 …. Sono le frazioni in peso 1, 2 ….del composto:
wi  ai
Ai
AM
AM   ai Ai
i
Possiamo definire dei valori efficaci come segue:
Z eff   ai Zi
ln I eff  
ai Zi ln I i
Z eff
Aeff   ai Ai
 eff  
ai Z i i
Z eff
E riscrivere la dE/dx in termini dei valori efficaci.
Rivelatori di Particelle
17
Lezione 6
Perdita di energia
Particelle della stessa velocità hanno
praticamente la stessa dE/dx in
materiali diversi, se escludiamo
l’idrogeno. È presente una piccola
diminuzione della perdita di energia
all’aumentare di Z.
In pratica, la maggioranza delle
particelle relativistiche hanno una
perdita di energia simile a quella del
minimo MIP (minimum ionizing
particle).
La perdita di energia è normalmente
espressa in termini della densità di
area dS=dx e le particelle ionizzanti
al minimo perdono in media 1.94
MeV/(gr/cm2) in He, 1.08 in Uranio e
~4 MeV/(gr/cm2) in H2.
Rivelatori di Particelle
18
Lezione 6
Perdita di energia
Fluttuazioni della perdita di energia.
Ricordiamo che la perdita di energia dE/dx (Bethe Block) è un valore medio.
dE
2mc2 b 2g 2
 g 
2 Z 1 
2

 Kz
ln

b

dx
A b 2 
I
2 
La reale perdita di energia per una particella che attraversa del materiale
fluttua a causa della natura statistica delle sue interazioni con i singoli atomi
del materiale.
Rivelatori di Particelle
19
Lezione 6
Perdita di energia
Gli apparati sperimentali (granularità limitata) non misurano <dE/dx>, ma l’energia DE
depositata in uno strato di spessore finito x.
DE è il risultato di un certo numero i di collisioni con trasferimenti di energia Ei e sezioni
d’urto ds/dE.
ds/dW~1/W2  tendo a trasferire piccole quantità di energia
Gli eventi in cui ho una grossa perdita di energia sono associati alla produzione di e di
rinculo ad alta energia (  rays )  la distribuzione della perdita di energia è
tendenzialmente asimmetrica con una coda verso le alte energie.
Rivelatori di Particelle
20
Lezione 6
Perdita di energia
Fluttuazioni della perdita di energia….
Assorbitori spessi  teorema del limite centrale  distribuzione Gaussiana
Assorbitori sottili  Landau se molto sottili, Vavilov se poco sottili.
Straggling functions in silicon for 500 MeV pions, normalized to unity at the most
probable value Dp/x. The width w is the FWHM.
Bibliografia Fernow (Introduction to experimental particle physics)
http://pdg.lbl.gov
Rivelatori di Particelle
21
Lezione 6
Fluttuazioni di dE/dx
Assorbitori spessi: limite gaussiano.
Per assorbitori relativamente spessi la distribuzione della perdita di energia è
gaussiana.
Ciò deriva direttamente dal teorema del limite centrale: la somma di N variabili
casuali, ciascuna che segue la stessa distribuzione statistica diventa distribuita
gaussianamente nel limite di N∞.
Se consideriamo come variabile casuale la E, cioè l’energia persa in una
collisione singola ed assumiamo che in ogni collisione la velocità b del proiettile
non è cambiata (in maniera apprezzabile) in modo che s(p) è costante 
l’energia totale persa è la somma di tutte le E, tutte con la stessa
distribuzione.
Rivelatori di Particelle
22
Lezione 6
Assorbitori spessi
Se il materiale è spesso (ma non troppo) o denso  N è grande quindi
vale il teorema del limite centrale e la perdita totale di energia W è
distribuita secondo una gaussiana
 W  W 2 

f ( x,W )  exp  
2


2
s


Essendo x lo spessore del materiale, W la perdita di energia
nell’assorbitore, W la perdita di energia media, e s la deviazione
standard.
Rivelatori di Particelle
23
Lezione 6
Assorbitori spessi
Bohr ha calcolato la deviazione standard s0 per particelle non relativistiche:


Z
Z
2
2
2 2
s 0  0.157  x MeV  4Nre (mc )  x
A
A
Dove N è il numero di Avogadro,  la densità, A il peso atomico e Z il numero
atomico del materiale.
Estesa a particelle relativistiche diventa:
s s
2
2
0
1 
b2
1 b 2
1
2
Attenzione:
Abbiamo assunto che la perdita di energia W è piccola rispetto ad E (energia iniziale) in modo che la
velocità del proiettile non cambia  se il materiale è molto spesso questo non è più vero e quanto
detto sopra non vale.
Rivelatori di Particelle
24
Lezione 6
Assorbitori sottili
Assorbitori sottili.
Nel caso di assorbitori sottili (o poco densi) N non è così grande da far
valere il teorema del limite centrale. Il calcolo diventa estremamente
complicato a causa di trasferimenti di grosse quantità di energia (raggi
delta) in una singola collisione  avrò una distribuzione di perdite di
energia con una coda verso le alte energie, cioè asimmetrica.
Rivelatori di Particelle
25
Lezione 6
Assorbitori sottili
La probabilità che una particella incidente di energia E perda energia
compresa fra W e W+dW attraversando un dx infinitesimo è:
ds W 
W dWdx  na
dWdx
dW
Dove na=N0/A= numero di atomi per unità di volume, ds/dW= sezione
d’urto differenziale per la particella incidente di perdere energia W in
una singola collisione con un atomo.
La probabilità totale di una collisione di perdere qualunque W
nell’infinitesimo dx sarà:
ds


qdx   na 
dW dx
dW


q si chiama rate di ionizzazione primaria.
Rivelatori di Particelle
26
Lezione 6
Assorbitori sottili
Semplice se dx è infinitesimo, ma complicato per dx finito.
Consideriamo un fascio di N particelle di energia E. Sia (W,x) la
probabilità che una particella perda un’energia fra W e W+dW dopo
avere attraversato uno spessore x.
La forma di  può essere determinata considerando come varia quando
le particelle attraversano un ulteriore spessore dx.
 Il numero di particelle con perdita di energia fra W e W+dW cresce
perché qualcuna che ad x aveva perso meno energia di W colliderà
e perderà un’energia fra W e W+dW in dx.
 Il numero di particelle con perdita fra W e W+dW diminuisce perché
alcune particelle che avevano già perso l’energia giusta prima del
tratto dx ne perderanno ancora e quindi ne perdono di più di
W+dW.
Rivelatori di Particelle
27
Lezione 6
Assorbitori sottili
Se assumiamo che le collisioni che avvengono successivamente sono statisticamente indipendenti,
che il mezzo assorbitore è omogeneo e che la perdita totale di energia è piccola rispetto all’energia
della particella incidente:
N W , x  dx dW  N W , x dW 
W
   W  e , x dxe dWdxde  N W , x dWqdx
0
Cioè:
 W , x 
  e  W  e , x de  q W , x 
x
0
W
Equazione integro-differenziale molto difficile da risolvere. Le differenze nelle soluzioni derivano
essenzialmente dalle assunzioni fatte sulla probabilità (W) cioè dal trasferimento di energia per
collisione singola.
Ciascuno dei calcoli teorici ha un suo limite di validità ed una particolare zona di applicabilità a
seconda del valore di un parametro k=/Emax ( rappresenta l’energia al di sopra della quale avrò
almeno un raggio delta =kz2(Z/A)(1/b2)x essendo x lo spessore attraversato).
Rivelatori di Particelle
28
Lezione 6
Assorbitori sottili
 Teoria di Landau
Valida per /Emax<0.01
Assunzioni:
• Perdita di energia piccola rispetto al massimo possibile in una singola
collisione (/Emax piccolo)
• Perdita di energia grande se paragonata all’energia di legame degli
elettroni (elettrone libero). Si trascurano quindi le piccole perdite di
energia dovute alle collisioni lontane.
Rivelatori di Particelle
29
Lezione 6
Teoria di Landau
Con queste assunzioni  può essere fattorizzata come segue:
 W , x  
1

f L  
1


W


ln

1

c
E ;


e'

1 b 2 I 2
2
ln e '  ln

b
;
2
2mv
cE  0.577 (costante di Eulero)
con  


e’ è il taglio sulla minima energia persa.
Rivelatori di Particelle
30
Lezione 6
Teoria di Landau
La funzione universale fL() può essere espressa come segue:
f L   
1


u ln u   
e
sin u du

0
Valutando fL() si ottiene per il valore più probabile per la perdita di
energia:
Wmp   ln  e '  0.198   
= correzione per effetto densità e FWHM=4.02
Rivelatori di Particelle
31
Lezione 6
Assorbitori sottili
 Teoria di Vavilov
Valida per 0.01<k<1.
Caratterizzata da code un po’ meno asimmetriche.
Osserviamo:
Anche se il limite gaussiano si ha per k≥10 già per k≥1 la
distribuzione assomiglia ad una gaussiana.
Vavilov  landau per k  0 ed ad una gaussiana per k  ∞.
Rivelatori di Particelle
32