Esponenziali e Logaritmi
La funzione esponenziale
ab=c
xb = y
ax = y
•a=0
0x = 0
•a=1
1x = 1
•a<0
ax
(indefinita per x=0)
(cambia segno di continuo)
La funzione esponenziale
y=ax
con a<0
6
4
3
2
(−1) = (−1)
4
(−1)6
=
2
(−1)3
La funzione esponenziale
y=ax
a>0 e a≠1
0<a<1
1 < a < +∞
xR
L’equazione esponenziale
ax=q
y=ax
y=q
ax > 0,
q≤0
q>0
xR
Nessuna soluzione
1 soluzione
L’equazione esponenziale
2x=4
x=2
5x=125
x=3
2x=⅛
x=-3
(¾)x=1
x=0
(⅞)x=5
x=?
Il logaritmo
x =loga y
ax = y
base
10, e
a>0 e a≠1
y >0
(⅞)x=5
x = log⅞ 5
argomento
La funzione logaritmo
y =loga x
0<a<1
y= log 1/10 x
x>0
x
Log x
1
0
10
-1
100
-2
1/10
1
1/100
2
La funzione logaritmo
y =loga x
1 < a < +∞
y= Log x
x>0
x
Log x
1
0
10
1
100
2
1/10
-1
1/100
-2
L’equazione logaritmica
logax=q
y=logax
y=q
qR
1 soluzione
L’equazione logaritmica
y  log3 9
y=2
1
y  log 3
9
y=-2
y  log 2 1
y=0
y  log 2 2
y=1
Proprietà del logaritmo
log a a  1
log a 1  0
log a a  x
x
a
log a x
x
I
N
F
A
T
T
I
a a
1
a0  1
a a
x
x
log a x è l’esponente
da dare ad a per
ottenere x
Proprietà del logaritmo
log a X  log a Y  log a X  Y
log a X  x
X a
log a Y  y
Y a
X Y  a  a  a
x
y
x
y
x y
log a X  Y  log a a x  y  x  y  log a X  log a Y
Proprietà del logaritmo
X
log a X  log a Y  log a
Y
log a X  x
X a
log a Y  y
Y a
x
y
X
x
y
x y
 a :a  a
Y
X
log a
 log a a x  y  x  y  log a X  log a Y
Y
Proprietà del logaritmo
c log a X  log a X c
log a X  x
X  ax
X  (a )  a
c
x c
xc
log a X c  log a a cx  cx  c log a X
Proprietà del logaritmo
log b X
log a X 
log b a
log a X  logb a  logb X
log a X  x
X a
log b a  y
a  by
X  a  (b )  b
x
y x
x
yx
log b X  log b b xy  xy  log a X  log b a
Esempio
1
1
3
y  3log 2  log 3  ln e  log 5 15 
8
9
1
Log
 log 5 45  log 5 9  4 log 5 3  log 5 75
1000
Equazioni esponenziali elementari
a x1  a x2
x1  x2
a x1  a x2
x1  x2
Equazioni esponenziali elementari
a
f ( x)
a
log a a
f ( x)
 log a a
g (x)
g ( x)
f ( x)  g ( x)
2 x2
5
 52 x  2
2 8 x
3
3 x 1
9
Equazioni esponenziali elementari
a
f ( x)
b
log a a
f ( x)
 log a b
g ( x)
g ( x)
f ( x)  g ( x)  log a b
2
x 1
1 x
5
2
x 3
3
x 3
Equazioni logaritmiche elementari
log a x1  log a x2
x1  x2
log a x1  log a x2
x1  x2
Equazioni logaritmiche elementari
log a f ( x)  log a g ( x)
a
log a f ( x )
a
log a g ( x )
ATTENZIONE:
 f ( x)  0

 g ( x)  0
f ( x)  g ( x)
log3 ( x  3)  log3 (3x  1)
log3 (2 x  4)  2
log 2 x  3log 4 x  10
Disequazioni esponenziali
elementari
0<a<1
a x1  a x2
x1  x2
a x1
a x2
x1 x2
Disequazioni esponenziali
elementari
0<a<1
a x1  a x2
x1  x2
a x2
a x1
x2 x1
Disequazioni esponenziali
elementari
a>1
a x1  a x2
x1  x2
a x1
a x2
x2 x1
Disequazioni esponenziali
elementari
a>1
a x1  a x2
x1  x2
a x2
a x1
x1
x2
Disequazioni esponenziali
0<a<1
a
f ( x)
a
g (x)
a
f ( x)  g ( x)
3
 
4
f ( x)
a
g ( x)
f ( x)  g ( x)
2 x
3
 
4
3 2 x
Disequazioni esponenziali
a>1
a
f ( x)
a
g (x)
a
f ( x)  g ( x)
f ( x)
a
g ( x)
f ( x)  g ( x)
31 4 x  9 x 1
Disequazioni logaritmiche
log a x1  log a x2
0<a<1
x1  x2
log a x1
log a x2 x1
x2
Disequazioni logaritmiche
log a x1  log a x2
a>1
x1  x2
log a x1
x2
log a x2
x1
Disequazioni logaritmiche
0<a<1
log a f ( x)  log a g ( x)
log a f ( x)  log a g ( x)
f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)
log 1 (3x  5)  1
2
Disequazioni logaritmiche
a>1
log a f ( x)  log a g ( x)
log a f ( x)  log a g ( x)
f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)
log 2 (1  x )  1
2
Disequazioni tra esponenziali
aventi base diversa
a
f ( x)
b
log a a
f ( x)
 log a b
g ( x)
a>1
g ( x)
f ( x)  g ( x) log a b
2
x 1
1 x
5
Disequazioni tra esponenziali
aventi base diversa
a
f ( x)
b
log a a
f ( x)
 log a b
g ( x)
g ( x)
f ( x)  g ( x) log a b
0<a<1
1
 
2
2 x 1
3 x
3