Strumentazione per bioimmagini
Introduzione alle immagini digitali
Introduzione
• Immagini: risultato di un sistema di acquisizione/elaborazione/visualizzazione
della radiazione EM visibile (400-700nm) per riprodurre stimoli visivi “realistici”
•Piu’ generale: analisi di dati/proprieta’ attraverso la loro visualizzazione
temperatura
2
pressione
densita’
Introduzione
Immagine “ideale” continua: le variabili x,y,c e sono continue
c  I ( x, y )
 [0,1]  R

I : R 2   [0,1]3  R 3
[0,1]N  R N

scala di grigi
colore
multispett rale
Immagine numerica: le variabili x,y,c e sono discrete
(quantizzate)
c  I ( x, y )
3
 [0,Vmax ]  Z

I : Z 2   [0,Vmax ]3  Z 3
[0,V ]N  Z N
max

scala di grigi
colore
multispett rale
Acquisizione di immagini
• Ci si aspetta che un sistema di acquisizione/visualizzazione “ideale”
sia in grado di distinguere dettagli a qualsiasi scala (risoluzione “infinita”)
• Ma:
– Limiti fisici (diffrazione, apertura …)
– Campionamento
– Distorsione
4
S(x,y)
??
I(x,y)
Scena da
acquisire
Sistema di
acquisizione
Immagine
(misura)
Acquisizione di immagini
• Risposta impulsiva del sistema di acquisizione si chiama
Point Spread Function (PSF),
• Impulso bidimensionale = punto ideale
I x, y   S ( x, y )  PSF ( x, y )   PSF  ,   I IN x   , y    d d
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S(x,y)
PSF(x,y)
I(x,y)
Scena da
acquisire
Sistema di
acquisizione
Immagine
(misura)
Point Spread Function
• Al diminuire della scala i dettagli tendono a “sfocare” fino a “svanire”
• La Point Spread Foint (PSF) può modellare questo fenomeno
Convoluzione
Point Spread Function
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Rumore
Il rumore nelle immagini puo’ essere generato in qualsiasi punto della
catena del segnale:
• Rumore gaussiano (termico):
• Speckle noise (elettrico): il rumore e’ proporzionale (correlato)
all’immagine “sottostante”
• Rumore “salt&pepper”: pixel “difettosi” nella camera, transienti anomali
immagine originale
7
Gaussiano
Speckle
Salt & pepper
Quantizzazione
• Immagine numerica: le variabili x,y,c e sono discrete
(quantizzate)
• Quantizzazione delle coordinate spaziali x,y
– Risoluzione: numero di pixel per mm2 di immagine.
All’aumentare della risoluzione aumenta la qualita’, ma anche la memoria
richiesta ed i tempi di elaborazione
– Nelle applicazioni biomediche la risoluzione minima e’ determinata dal livello di
dettaglio richiesto dalla diagnosi
• Quantizzazione del colore/livelli di grigio
– La quantizzazione del colore comporta perdita di dettagli (variazioni). Una
quantizzazione uniforme non e’ sempre la scelta ottimale!
8
Qualita’ delle immagini: quantizzazione
Meno livelli di grigio
Meno
pixels
quantizzazione
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Elaborazione numerica delle immagini
• Immagini come segnali discreti bidimensionali
• Estensione finita: Le immagini digitali vengono “naturalmente” rappresentate da
matrici
I=f(n,m)
n
m
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
matrice MxN
n[0…N-1]
m[0…M-1]
Convoluzione/filtraggio
• Come per i segnali 1D e’ possibile definire un prodotto di convoluzione
f  g : un , m 
N 1M 1
  f n  r ,m  s hr , s 
r 0 s 0
• E’ possibile applicare i concetti della teoria dei sistemi (deterministici e
stocastici) con i dovuti accorgimenti matematici
•modello ingresso-uscita  risposta impulsiva del sistema  filtraggio
•energia dell’immagine
•autocorrelazione dell’immagine e cross-correlazione con l’uscita:
descrizione statistica delle immagini
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Convoluzione/filtraggio
• Filtraggio: risposta impulsiva finita (FIR)  maschera di convoluzione
3
f  h : u n, m  
3
  f n  r , m  s  hr , s 
r  3 s  3
n
m
r
s filtro h = FIR 7x7
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immagine f
La Trasformata Discreta di Fourier (DFT)
• La 2D DFT e’ definita come
N 1M 1

 n k m l 
Pk ,l   F  pn , m 
pn, m exp j 2 


 N M 

n 0 m 0

Tempo
Continuo
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Tempo
Discreto
Frequenze
Continuo
Trasformata Trasformata
di Fourier
Discreta di
Fourier
Frequenze
Discrete
Serie di
Fourier
Trasformata
Finita di
Fourier
Linearità e convoluzione (DFT)
• Linearità della DFT:
F   a(i, j)    b(i, j)    A(k , l )    B(k , l )
• Teorema della convoluzione:
F a  b  A(k , l ) B(k , l )
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F 1 A  B  a  b
Basi della DFT
• Queste immagini mostrano la parte reale di B(n,m) al crescere delle frequenze l,k
l crescente
• Le MxN basi rappresentano livelli crescenti
di dinamica spaziale della scala dei grigi
 livelli progressivi dettaglio
• Al variare del rapporto relativo tra l e k:
 orientazione della base
k crescente
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Fast Fourier Transform (FFT)
• Ulteriore motivo di “popolarita’” della DFT: algoritmo veloce di
calcolo (FFT). La convoluzione viene calcolata nel dominio della
frequenza invece che nel dominio del tempo. Con la stessa
facilita’ si realizza la trasformazione inversa (IFFT)
I1
FFT
IFFT
I2
FFT
convoluzione
16
I3
Fast Fourier Transform (FFT)
• Quando si applica la FFT occorre considerare l’effetto “finestra”:
l’immagine è il risultato di un “ritaglio” di una scena che si estende
indefinitamente nelle due dimensioni
S
I
A=rect(x0,y0,lx,ly)
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Windowing (1)
i( x, y )  s( x, y )  a( x, y )  s( x, y )  rect ( x0 , y0 , l x , l y )
I (u, v)  S (u, v)  A(u, v)
a(x,y)
A(u,v)
Comparsa di alte frequenze
Windowing (2)
• Un metodo per risolvere questo problema è “finestrare” l’immagine con una finestra che
abbia bordi smooth: funzioni a decrescenza rapida
i(x,y)a(x,y)
FFT
F(i(x,y)a(x,y))
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a(x,y)
i(x,y)
FFT
F(i(x,y))
Risoluzione in frequenza
•Se abbiamo N campioni di un segnale
x(0), x(t),x(2t), … x((N-1)t):
1
X ( ) 
N
N 1
 j  nt
x
(
n
t
)
e

n 0
u

Nt
•La risoluzione in frequenza è tanto maggiore quanto più elevato è il numero
di campioni N!
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Filtraggio nel dominio della DFT
•Le frequenze basse sono associate alle transizioni “lente”
blu: stop-band del filtro
low-pass
DFT
filtraggio
IDFT
band-pass
high-pass
•Le frequenze alte sono associate alle transizioni “rapide” (bordi)
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