ARCHITETTURA DEI SISTEMI
ELETTRONICI
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LEZIONE N° 7
Algebra delle commutazioni
Funzione AND, OR, NOT
Tabella di Verità
Forme canoche “SP” e “PS”
Passaggi da forma SP a PS e viceversa
insieme funzionalmente completo
Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR
A.S.E.
7.1
Richiami
•
•
•
•
•
Algebra Booleana
Insieme di Elementi
Insieme di Operatori
Insieme di Postulati
Teoremi
A.S.E.
7.2
Algebra delle commutazioni
• Elementi
•
•
•
•
(2)
0 (logico)
Falso
Livello logico Basso
0V
• Costanti
• Variabili
1 (logico)
Vero
Livello logico Alto
5V
Possono assumere due valori
Possono assumere due valori
x0
x 1
se
se
0 1
x 1
x0
1 0
A.S.E.
7.3
Definizione di “OR”
• Operazione
– OR o SOMMA LOGICA
x y
• definizione
– l’operazione OR è definita dalla tabella
x+y
x
y
0
1
0
0
1
1
1
1
A.S.E.
x
y
x+y
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
7.4
Osservazioni
1. x y è uguale a “0” se e solo se x e y sono
uguali a “0”, altrimenti x y è uguale a “1”
2. Si può estendere a “n” variabili:
x1x2  . . xn è uguale “0” se e solo se x1, x2, ..xn
sono uguali a “0”
• La funzione OR corrisponde al concetto:
perché un evento si verifica è sufficiente che
una sola condizioni sia verificata
A.S.E.
7.5
Definizione di “AND”
• Operazione
– AND o PRODOTTO LOGICO
x y
• Definizione
xy
– l’operazione AND è definita dalla tabella
xy
x
y
0
1
0
0
0
1
0
1
A.S.E.
x
0
0
y
0
1
xy
0
0
1
1
0
1
0
1
7.6
Osservazioni
1. x y è uguale a “1” se e solo se x e y sono
uguali a “1”, altrimenti x y è uguale a “0”
2. Si può estendere a “n” variabili:
x1x2 . . . xn è uguale “1” se e solo se x1, x2, ..xn
sono uguali a “1”
• La funzione AND corrisponde al concetto:
un evento si verifica se e solo se tutte le
condizioni sono verificate
A.S.E.
7.7
“NOT”
• Operazione
– NOT o Complemento Logico , o Negazione, o
Inversione
x
• Osservazione
– In base alla definizione iniziale si ha
x
`x
0
1
1
0
A.S.E.
7.8
Riassunto
• POSTULATI
1a
Almeno due elementi distinti
Somma logica ()
1b
Prodotto logico ()
2a
x0 x
2b
x 1  x
3a
x y  yx
3b
x y  yx
4a x   y  z    x  y    x  z 
5a
x  x 1
4b x   y  z    x  y    x  z 
5b
A.S.E.
xx  0
7.9
Verifica P1
• Le funzioni AND e OR sono chiuse OK
– Per qualunque valore degli ingressi le funzioni sono
definite
– I valori delle uscite appartengono a “B”
x+y
x
xy
y
0
1
0
0
1
1
1
1
x
A.S.E.
y
0
1
0
0
0
1
0
1
7.10
Verifica P2
• “0” elemento identità della funzione OR e “1”
elemento identità della funzione AND
• x  0  x, 0  y  y; x  1  x, 1  y  y
OK
– Nella OR per x = 0 (y = 0) le uscite coincidono con y (x)
– Nella AND per x = 1 (y = 1) le uscite coincidono con y (x)
x+y
x
xy
y
0
1
0
0
1
1
1
1
x
A.S.E.
y
0
1
0
0
0
1
0
1
7.11
Verifica P3
• Le funzioni OR e AND sono commutative
•
OK
– Le tabelle sono simmetriche rispetto alla diagonale
principale
x+y
x
xy
y
0
1
0
0
1
1
1
1
x
A.S.E.
y
0
1
0
0
0
1
0
1
7.12
Verifica P4
• Le funzioni OR e AND sono distributive
• x  ( y  z )  ( x  y)  ( x  z ), x  ( y  z )  ( x  y)  ( x  z )
• Metodo dell’induzione perfetta
OK
x y z yz x+yz x+y x+z (x+y)(x+z) y+z x(y+z) xy xz
xy+xz
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0 1 0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0 1 1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1 0 0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1 0 1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1 1 0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.13
Verifica P5
• Il complemento di x deve soddisfare le condizioni
•
• x  x  1, x  x  0
OK
• Metodo dell’induzione perfetta
x
`x
x + `x x  `x
0
1
1
0
1
0
1
0
A.S.E.
7.14
Funzione logica (o Boleana)
• Una funzione Boleana (completa)
u  f x1 ,......, xn 
è una legge che fa corrispondere un valore
logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori
x1,…..,xn.
• La funzione f è costituita da variabili logiche,
costanti e le tre operazioni logiche fondamentali


u  x1  x2   x3  x1  x2  x3
A.S.E.
7.15
Osservazioni
• Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una
gerarchia di esecuzione uguale a quella
comunemente usata nelle espressioni
aritmetiche note
• Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste
la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OR
• La gerarchia prima descritta consente di
ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logiche
A.S.E.
7.16
Tabella di Verità 1
• Una funzione logica può sempre essere
espressa da una tabella che prende il nome di:
TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE)
• Osservazione
n
• Una funzione di “n” variabili ammette 2
possibili configurazioni
• Una funzione di “n” variabili è completamente
descritta da una tabella che ha sulla sinistra le
n
2 possibili configurazioni degli ingressi e a
destra i valori (0 o1) a secondo del valore della
funzione
A.S.E.
7.17
Tabella di verità 2
• Funzione di tre variabili
u  f x, y, z 
x
y
z
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
A.S.E.
u
f
f
f
f
f
f
f
f
(0,0,0)
(0,0,1)
(0,1,0)
(0,1,1)
(1,0,0)
(1,0,1)
(1,1,0)
(1,1,1)
7.18
Esempio



u  f x, y, z   x  y  x  z  yz
  
f 0,1,1  0  1  0  1  11  0  0  1  1  1  0 1  1  0  1  1
x
y
z
x
y
x + y x + z (x + y )(x + z )
yz
u
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.19
Passo 1



u  f x, y, z   x  y x  z  yz
x
y
z
x
y
x + y x + z (x + y )(x + z )
yz
u
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.20
Passo 2



u  f x, y, z   x  y x  z  yz
x
y
z
x
y
x + y x + z (x + y )(x + z )
yz
u
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.21
Passo 3



u  f x, y, z   x  y x  z  yz
x
y
z
x
y
x + y x + z (x + y )(x + z )
yz
u
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.22
Passo 4



u  f x, y, z   x  y x  z  yz
x
y
z
x
y
x + y x + z (x + y )(x + z )
yz
u
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.23
Passo 5



u  f x, y, z   x  y x  z  yz
x
y
z
x
y
x + y x + z (x + y )(x + z )
yz
u
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.24
Passo 6



u  f x, y, z   x  y x  z  yz
x
y
z
x
y
x + y x + z (x + y )(x + z )
yz
u
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.25
Fine



u  f x, y, z   x  y x  z  yz
x
y
z
x
y
x + y x + z (x + y )(x + z )
yz
u
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.26
Osservazione
• La tabella di verità consente di provare la
veridicità di una relazione logica, poiché
verifica se la relazione è vera per TUTTE le
possibili combinazioni dei valori delle variabili
• Tale proprietà è stata utilizzata nel
• Metodo dell’INDUZIONE PERFETTE
A.S.E.
7.27
Teorema 9
(dimostrazione
• 9a
9b
x  y   x  y
x  y   x  y
x y x • y ( x •y)
x
y
x+y
1
0 0
0
1
1
1
1
0
0
0 1
0
1
1
0
1
0
1
0
1 0
0
1
0
1
1
0
0
0
1 1
1
0
0
0
0
x y x+y ( x+y)
x
y
x•y
0 0
0
1
1
1
0 1
1
0
1
1 0
1
0
1 1
1
0
A.S.E.
7.28
Tabella dei Prodotti e delle Somme
n=3
n
x
y
z
p
s
0
1
0
0
0
0
0
1
`x •`y •`z p0 1
`x •`y • z p1 1
2
3
4
5
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
`x • y •`z
`x • y • z
x •`y •`z
x •`y • z
6
7
1
1
1
1
0
1
x • y •`z
x•y•z
p2
p3
p4
p5
x+y+z
x + y +`z
1 x +`y + z
1 x +`y +`z
1 `x + y + z
1 `x + y +`z
s0 0
s1 0
s2
s3
s4
s5
0
0
0
0
p6 1 `x +`y + z s6 0
p7 1 `x +`y +`z s7 0
A.S.E.
7.29
Definizioni 1
• LETTERALE
– Variabile complementata o non complementata presente
nella formula
• FORMA NORMALE DISGIUNTIVA
– Somma di prodotti
f  x, y, w, z   x  w y  w yz
• FORMA NORMALE CONGIUNTIVA
– Prodotto di somme
f x, y, w, z   z ( x  y )( w  x  y )
A.S.E.
7.30
Definizione 2
• MINTERMINE “pi ” è una funzione (prodotto) che
vale “1” in corrispondenza alla sola
configurazione “i ” di valori delle variabili
• MAXTERMINE “si ” è una funzione (somma) che
vale “0” in corrispondenza alla sola
configurazione “i ” di valori delle variabili
A.S.E.
7.31
Forma Canonica “Somma di Prodotti”
“SP”
x
y
z
u
0
0
0
1
p0
0
0
1
1
p1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
p3
p5
p7
u  p0  p1  p3  p5  p7  x y z  x yz  x yz  x yz  xyz
A.S.E.
7.32
Forma Canonica “Prodotto di Somme”
“PS”
x
y
z
u
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1


s2
s4
s6

u  s2  s4  s6  x  y  z  x  y  z  x  y  z
A.S.E.

7.33
Osservazioni
• La legittimità di rappresentare le funzioni nella
forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente
dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOT
• Una stessa funzione logica può essere scritta in
molta forme
• La manipolazioni delle espressioni booleane si
basa sui teoremi
A.S.E.
7.34
Osservazioni
• Se l’espressione in esame e funzione di tre
variabili
• L’espressione di partenza è nella forma
canonica PS
• L’espressione di arrivo non è nella forma
canonica SP, perché i termini di prodotto non
sono costituiti da tre letterali
A.S.E.
7.35
Trasformazione SP – PS e PS - SP
• Dalla tabella dei prodotti e delle somme
n
0
1
x
0
0
y
0
0
z
0
1
p
`x •`y •`z p0 1
`x •`y • z p1 1
s
x+y+z
x + y +`z
2
3
4
0
0
1
1
1
0
0
1
0
`x • y •`z p2 1
`x • y • z p3 1
x •`y •`z p4 1
x +`y + z s2 0
x +`y +`z s3 0
`x + y + z s4 0
5
6
7
1
1
1
0
1
1
1
0
1
x •`y • z
x • y •`z
x•y•z
s0 0
s1 0
p5 1 `x + y +`z s5 0
p6 1 `x +`y + z s6 0
p7 1 `x +`y +`z s7 0
A.S.E.
7.36
Osservazione
• Data un’espressine nella forma SP
Pa  Pb    Pk
• Si può scrivere come SP complementata dei
2n-k prodotti non impiegati nell’espressione
precedente
P2  P4  P5  P0  P1  P3  P6  P7
P1  P2    P2n k
• Applicando il teorema di De Morgan
P1  P2    P2n k  P1  P2  P2n k
• Applicando De Morgan si ottiene la forma PS
A.S.E.
7.37
Esempio
• Data l’espressione
x  y  z  x  y  z  x  y  z 
• Si ha
x  y  z  x  y  z  x  y  z  
x  y  z  x  y  z  x  y  z  x  y  z  x  y  z  
x  y  z  x  y  z  x  y  z  x  y  z  x  y  z  
S(1)
S(6)
S(2)
S(3)
S(0)
S(4)
S(5)
x yz  x yz  x yz  x yz  x yz 
S(7)


x yz  x yz  x yz  x yz  x yz  x yz 
x y  x y  xz
A.S.E.
7.38
Osservazioni
• Si ha quindi la seguente regola
• Passaggio da SP a PS
– Applicare il Th di De Morgan al complemento di
ciascun mintermine assente nella forma SP
– Formare il prodotto dei maxtermini ottenuti
• Passaggio da PS a SP
– Applicare il Th di De Morgan al complemento di
ciascun maxtermine assente nella forma PS
– Formare la somma dei mintermini ottenuti
A.S.E.
7.39
Premessa 1
• Osservazioni
– le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un insieme
funzionalmente completo di operatori logici
– In base al teorema di De Morgan si ha:
 
x  y  x y
– ovvero la funzione OR si può realizzare con le
funzioni AND e NOT quindi:
– le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme
funzionalmente completo di operatori logici
A.S.E.
7.40
Premessa 2
• Osservazioni
– Sempre in base al teorema di De Morgan si ha:

x y  x y

– ovvero la funzione AND si può realizzare con le
funzioni OR e NOT quindi
– le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme
funzionalmente completo di operatori logici
– le funzioni OR e AND non costituiscono un insieme
funzionalmente completo di operatori logici perché
non è possibile realizzare la funzione NOT
A.S.E.
7.41
Definizione
• Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle
seguenti tabelle di verità
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
u
1
1
1
0
x
0
0
1
1
NAND u   x  y 
y
0
1
0
1
u
1
0
0
0
NOR u   x  y 
A.S.E.
7.42
Osservazioni
•
•
NAND e NOR sono contrazioni di
NOT-AND e NOT-OR
la funzione NAND costituisce un insieme
funzionalmente completo di operatori logici
 x  x  x
•
x  y   x  y
la funzione NOR costituisce un insieme
funzionalmente completo di operatori logici
 x  x   x x  y   x  y
A.S.E.
7.43
Funzioni “complesse” 1
• L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è:
x y
• Definizione
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
u
0
1
1
0


x  y  x  y  x  y  x  y   x  y  x  y   x  y 
A.S.E.
7.44
Funzioni “complesse” 2
• L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è:
• Definizione
x y
x
0
0
y
0
1
u
1
0
1
1
0
1
0
1


x y  x y  x y  x y  x y
A.S.E.

7.45
Proprietà dello XOR / XNOR
a


b
 X  Y   X Y  XY   X  Y  X  Y 
i 
X  Y  XY  X Y   X  Y  X  Y
 ii 
 iii 
 iv 
 v
 vi 
 vii 
 viii 
 ix 
x
X 0  X
X 1  X
X X 0
X  X 1
X Y  X Y
X Y  Y  X
X  Y  Z    X  Y   Z  X  Y  Z
X Y  Z   XY  XZ
X  Y  X  Y  XY
X  Y  X  Y se e solo se XY  0
se X  Y  Z , allora X  Z  X o X  Z  Y
X Y  X Y   X Y 
A.S.E.
7.46
Generatore di disparità 1
x y z w D
0 0 0 0 0
D
0 0
0 1
1
x yzw
0 0 1 0
0 0 1 1
1
0
x yzw
0 1
0 1
0 1
0 0
0 1
1 0
1
0
0
xyzw
0 1
1 1
1
xyzw
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1
0
0
x yzw
1 0 1 1
1 1 0 0
1
0
x yzw
1 1
0 1
1
xyzw
1 1
1 1
1 0
1 1
1
0
xyzw
1
1
1
D  xyzw  xyzw  x yzw  xyzw  x yzw  xyzw  x yzw  x yzw
A.S.E.
7.47
Generatore di disparità 2
D  xyzw  xy zw  x yzw  xyzw  x y zw  xy zw  x yzw  x y zw







 xy zw  zw  zw x y  xy  zw x y  xy  x y zw  zw


 

 x y  xy zw  zw  xy  x y zw  zw

  x  y  z  w    x  y  z  w 
  x  y    z  w  x  y  z  w
A.S.E.
7.48

Conclusioni
•
•
•
•
•
•
•
Algebra delle commutazioni
Funzione AND, OR, NOT
Tabella di Verità
Forme canoche “SP” e “PS”
Passaggi da forma SP a PS e viceversa
insieme funzionalmente completo
Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR
A.S.E.
7.49
Quesiti 1
• Costruire la tabella di verità per le seguenti
funzioni.
a 
b 
c 


f x1 , x2 ,xa3 f x, x , xx1 x x x2 x  xx 3 x  x1  x3
1
2
1
3
2
1
3


, x , x   x  x  x  x   x  x
x, y, z cf xx, x 
y  xz  y
b
f  x, y , z   x  y  x  z  y

f x , x , x , x   x  x
f
3

1
2

1
3
4
2
3
4
1
2
1
A.S.E.
3
2
4
1

2
 x3

 x3  x4   x1  x 2  x3

7.50
Quesiti 2
• Scrivere le forme canoniche PS e SP per le due
tabelle di verità seguenti:
x
y
z
f
x
y
z
f
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
A.S.E.
7.51
Quesiti 3
• Verificare le seguenti identità
a  x1  x2   x1  x3   x1  x3  x1  x2
b  x1  x3  x4  x1  x3  x4  x1  x2  x4  x1  x4  x2  x4
c  x1  x 2  x2  x3  x1  x3  x1  x2  x2  x3  x1  x3
A.S.E.
7.52