ARCHITETTURA DEI SISTEMI
ELETTRONICI
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LEZIONE N° 8
Enumerazione di funzioni
Reti logiche
Reti logiche combinatorie
Reti logiche sequenziali
Simboli
Concetto di ciclo
Realizzazioni diverse della stessa funzione
Teorema di Shannon
A.S.E.
8.1
Richiami
•
•
•
•
•
•
•
Algebra delle commutazioni
Funzione AND, OR, NOT
Tabella di Verità
Forme canoche “SP” e “PS”
Passaggi da forma SP a PS e viceversa
insieme funzionalmente completo
Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR
A.S.E.
8.2
Enumerazione di funzioni 1
• Quesito:
• Quante funzioni di due variabili si posso realizzare?
• Risposta:
• quante sono le possibili configurazioni diverse di quattro
elementi binari (cioè 16). In generale:
2 n 
2
x
y
f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f5 f 6 f 7 f 8 f 9 f A f B f C f D f E f F
0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0 0
0
1
1 1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0 1
1
0
0 1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1 0
1
0
1 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
A.S.E.
8.3
Enumerazione di funzioni 2
• Ruotando di 90˚ la tabella
A.S.E.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x
y
0
x y
x y
y
x y
x
x y
x y
x y
x y
x
x y
y
x y
x y
1
8.4
Reti Logiche
• Sistema elettronico che ha in ingresso segnali
digitali e fornisce in uscita segnali digitali
secondo leggi descrivibili con l’algebra
Booleana
a
b
n



R. L.



x
y
w
• R.L. è unidirezionale
A.S.E.
8.5
Tipi di reti
• Reti COMBINATORIE
• In qualunque istante le uscite sono funzione del
valore che gli ingressi hanno in quell’istante
• Il comportamento (uscite in funzione degli
ingressi) è descritto da una tabella
• Reti SEQUENZIALI
• In un determinato istante le uscite sono funzione
del valore che gli ingressi hanno in quell’istante e i
valori che hanno assunto precedentemente
• La descrizione è più complessa
• Stati Interni
• Reti dotate di MEMORIA
A.S.E.
8.6
Simboli
• Rete Logica =>scomponibile in blocchi
• Blocchi base = simboli degli operatori
elementari
• Rappresentazione delle funzioni logiche
mediante schemi
• RAPPRESENTAZIONE SCHEMATICA
A.S.E.
8.7
Porte logiche
• Rappresentazione circuitale delle funzioni
logiche
– AND
Y  X1  X 2  X 3
– OR
– NOT
Y  X1  X 2
X1
X2
X3
Y
X1
X2
Y
YX
X
A.S.E.
Y
8.8
Esempio
• Schema simbolico della funzione
U  f  X 1 , X 2 ,, X n    X 1  X 2    X 1  X 3 
– RETE LOGICA
X1
X2
Xn
RETE
LOGICA
U = f(X1, X2,…., Xn)
x1  x2
X1
X2
U
X3
x1  x 3
x3
A.S.E.
8.9
Altre porte logiche
• NAND
X Z Y
0 0 1
0 1 1
Y  X Z
X
Z
Y
Y  X Z
X
Z
Y
1 0 1
1 1 0
• NOR
X Z Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
A.S.E.
8.10
Proprietà della porta NAND (NOR)
• Utilizzando solamente porte NAND (NOR) è
possibile realizzare qualunque rete logica
• NOT
• AND
Y=X
X
X
Z
Y = XZ
X
• OR
Y = X+Z
Z
A.S.E.
8.11
OR Esclusivo
• Realizzazione dell’OR Esclusivo
X Y U
0 0 0
0 1 1
U  X  Y  XY  X Y
1 0 1
1 1 0
X
U
X
Y
U
Y
A.S.E.
8.12
Ciclo
• Definizione
• Ciclo: Percorso chiuso che attraversa k blocchi (k ≥ 1) tutti
nella loro direzione di funzionamento
• Osservazioni
• Tutte le reti viste sono prive di cicli
• I blocchi base combinatori sono privi di cicli
• Le funzioni descrivibili dalle tabelle di verità sono tutte prive
di cicli (le uscite sono funzione dei solo ingressi)
• Conclusione
• Tutte le reti logiche composte di blocchi combinatori e prive
di cicli sono rei combinatorie
A.S.E.
8.13
Sintesi di reti combinatorie
• Sintesi
• data la descrizione ai terminali di una rete combinatoria
• ottenere la struttura in blocchi logici e le relative interconnessioni
• Osservazioni
• il funzionamento della rete deve essere possibile descriverlo
mediante una tabella di verità
• non esiste una sola realizzazione
• per poter scegliere fra le varie soluzioni è necessario definire il
parametro da ottimizzare
• Funzione COSTO
• (numero di blocchi base, ritardo ingresso uscita, uso di particolari
blocchi, ……..)
• VEDERE ESEMPI SUCCESSIVI
A.S.E.
8.14
Esempio di funzione
• Data la funzione definita dalla Tabella di Verità:
a
b
c
z
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
Si ha:
z  a b c  a b c  a b c  a b c  a b c
 a b c  a b c  a b c  a b c  a b c  a b c
   
 a  c   c  b 
z  a  b  c  a  b  c  a  b  c 
 c  a b  c  a b  c  a  b  c  a  c b
A.S.E.
8.15
Schemi relativi 1
z  a bc  a bc  a bc  a bc  a bc
a
b
c
z
a
a
b
b
c
c
A.S.E.
8.16

Schemi relativi 2


z  abc  abc  abc

a
b
z
c
A.S.E.
8.17
Schemi relativi 3
z  c  a b
a
b
z
c
A.S.E.
8.18
Schemi relativi 4
 
z  c  a b
a
z
b
c

 
z  ac  cb
a
b
c

z
A.S.E.
8.19
Teorema di espansione di Shannon
• Data la funzione
f x1, x2 ,....., xi ,...., xn 
• Vale la seguente uguaglianza
f x1 , x2 ,.., xi ,.., xn   xi  f x1 , x2 ,..,1,.., xn   xi  f x1 , x2 ,..,0,.., xn 
• Ovvero


f x1 , x2 ,.., xi ,.., xn   xi  f x1 , x2 ,..,0,.., xn  xi  f x1 , x2 ,..,1,.., xn 
A.S.E.
8.20
Esempio
• Data la funzione
f w, x, y, z   w x  ( wx  y ) z
• Risulta
f w, x, y, z   x  f w,1, y, z   x  f w,0, y, z 

 

 xw  0  ( w 1  y ) z  xw 1  ( w  0  y ) z 
 x w 1  ( w 1  y ) z  x w  0  ( w  0  y ) z
 x( w  y ) z  x( w  yz )
A.S.E.
8.21
Osservazione
• Applicando in modo iterativo il teorema di Shannon
f x1 , x2 ,...., xn   x1  f 0, x2 ,...., xn   x1  f 1, x2 ,...., xn  
 x1 x 2  f 0,0, x3 ,...., xn   x1 x2  f 0,1, x3 ,...., xn  
 x1 x 2  f 1,0, x3 ,...., xn   x1 x2  f 1,1, x3 ,...., xn  




 x1 x 2 x 3 ....x n  f 0,0,0,....,0  x1 x 2 x 3 ....xn  f 0,0,0,....,1 
 x1 x 2 x 3 ...xn 1 x n  f 0,0,0,....,1,0  x1 x2 x3 ...xn 1 xn  f 0,0,0,...,1,1 


 x1 x2 x3 ....xn  f 0,1,1,....,1  x1 x2 x3 ....xn  f 1,1,1,....,1
• Quindi il teorema di Shennon consente di ricavare
sempre la forma SP
A.S.E.
.22
Esempio
• Data la funzione
f  x, y , z   x y  ( x  y ) z
• Risulta
f w, x, y, z   x y z  (00  (0  0)0)  x yz  (00  (0  0)1)  x y z  (01  (0  1)0) 
 x yz  (01  (0  1)1)  x y z  (10  (1  0)0)  x yz  (10  (1  0)1) 
 xy z  (11  (1  1)0)  xyz  (11  (1  1)1) 
 x y z  (11  (0  0)0)  x yz  (11  (0  0)1)  x y z  (10  (0  1)0) 
 x yz  (10  (0  1)1)  x y z  (01  (1  0)0)  x yz  (01  (1  0)1) 
 xy z  (00  (1  1)0)  xyz  (00  (1  1)1) 
 x y z  x yz  x yz  x yz  xyz
A.S.E.
8.23
Conclusioni
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Enumerazione di funzioni
Reti logiche
Reti logiche combinatorie
Reti logiche sequenziali
Simboli
Esempi
Concetto di ciclo
Realizzazioni diverse della stessa funzione
Teorema di Shannon
A.S.E.
8.24
Quesiti
• Ricavare le funzioni logiche di Z1 e Z2
X
1
X2
Z1
X
Z2
3
A.S.E.
8.25
Suggerimenti
• Scrivere la tabella di verità comprensiva delle
funzioni intermedie “a”, “b” e “c”
X
a
b
1
X2
Z1
X
Z2
3
c
A.S.E.
8.26