Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria
Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…
Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2015-16
Verifica allo SLU di sezioni
inflesse in cap
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Introduzione
• Per la verifica allo Stato Limite Ultimo la normativa italiana
considera legami costitutivi indicati nel capitolo 4.
• Di conseguenza la verifica di una sezione in c.a.p. sarebbe del
tutto analoga alla verifica di sezioni in c.a. ordinario, salvo
considerare nel cavo uno stato deformativo preesistente, dovuto
alla precompressione
• Questa deformazione va sommata alla deformazione dovuta ai
carichi esterni, i quali devono essere ovviamente moltiplicati per
i relativi coefficienti allo stato limite ultimo (NTC-08 p. 2.5.3).
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Stato tensionale e deformativo in travi di cap
Stato deformativo e tensionale
in una trave in cap allo SLU
s
s0
e
ep0
M
eu
Deformazione nel
cls dovuta alla precompr.
(def. di decompressione)
epd
epo
Stato deformativo
preesistente dovuto
al tiro iniziale del cavo
M0
c.a.
c.a.p.
c
M0 = momento di decompressione
legato alla deformazione epd
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP
Le operazioni per determinare il momento ultimo sono esattamente
le stesse utilizzate per sezioni in cemento armato ordinario, con la
differenza che ora occorre considerare per l’armatura di
precompressione anche la deformazione applicata ai cavi all’atto del
tiro ep0 e la deformazione subita dal calcestruzzo ad opera della
precompressione, calcolata all’altezza del cavo epd
1) Determinazione della deformazione iniziale nel cavo di
precompressione epo e le deformazioni nel calcestruzzo a livello
del cavo epd causate da N;
2)
3)
4)
Determinazione della zona di rottura;
Determinazione dell’asse neutro;
Determinazione del Momento ultimo
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP
Determinazione della deformazione iniziale nel cavo di
precompressione epo e le deformazioni nel calcestruzzo a livello del cavo
epd causate da N
La valutazione della deformazione nel cavo dovute alla forza
di precompressione, scontata ovviamente delle perdite e
delle cadute di tensione, è immediata
Il termine di deformazione del calcestruzzo che
porta allo stato di decompressione la fibra di
calcestruzzo al livello del cavo, si calcola
altrettanto facilmente:
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP
Determinazione della zona di rottura
Come per le travi in c.a. normale la modalità di collasso della trave si
determina a partire dalla percentuale meccanica di armatura.
Generalmente questa % è tale che il diagramma delle deformazioni
ricada in campo 2 o 3.
fcd
C’
C
a.n.
yc
es
T
ep0
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP
Determinazione dell’asse neutro
La posizione dell’asse neutro si ricava imponendo l’equilibrio alla
traslazione della sezione. Poiché generalmente la sezione collassa in
zona 2 o 3 l’espressione dell’asse neutro si ricava facilmente nel caso
in cui per l’acciaio di precompressione si assumesse un
comportamento elastoplastico perfetto con tensione di
snervamento pari a fpyk:
yan =
Ap f pyk
0.8bf cd
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP
Determinazione dell’asse neutro
Qualora si assumesse per l’acciaio un comportamento incrudente
occorrerebbe operare per tentativi. In tal caso, infatti, la tensione
dell’acciaio oltre il limite di snervamento dipenderebbe da livello di
deformazione post-elastica.
In tal caso di procede come segue:
s2
s1
e1 e2
C
e2
e1
T
Iter. 1 Iter. 2
1) Si sceglie un diagramma delle deformazioni
2) Si determina la deformazione a livello del cavo
e si calcola la tensione nell’acciaio
3) Si calcolano le risultanti di compressione C e
trazione T
4) Si verifica che l’equilibrio sia soddisfatto (C=T)
5) Se l’equilibrio non risulta soddisfatto si itera
finché non si raggiunge la tolleranza desiderata
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP
Determinazione del Momento Ultimo
Utilizzando l’approssimazione dello stress block è possibile calcolare
facilmente la risultante delle compressioni C e di conseguenza l’asse
neutro e il momento ultimo.
Nell’ipotesi di comportamento elastoplastico perfetto dell’acciaio da
precompressione il momento ultimo si calcola con la nota formula
già utilizzata per il cemento armato ordinario
yc
M u = Ap f pyk × (d - 0.4 yc )
d
0.4 yc
z=d-0.4 yc
T=Apfpyk
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP
Determinazione del Momento Ultimo
Nell’ipotesi di comportamento incrudente dell’acciaio da
precompressione il momento ultimo si calcola come il momento
dato dalla coppia interna C-T il cui braccio delle forze interne si può
calcolare una volta note C e T e la loro reciproca posizione
Mu = C z = T z
yc
d
z
T=Apsp
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Esempio 1
Esempio 5.10: Si riprenda la trave dell’esempio 5.8 e si calcoli il
momento ultimo della sezione in mezzeria della trave.
Si consideri uno sforzo di precompressione iniziale pari a N0 = 4000 KN,
calcestruzzo avente Rck = 40 MPa, trefoli d’acciaio con tensione caratteristica di
snervamento fpyk = 1600 MPa e modulo elastico Ep = 205000 MPa .
La deformazione iniziale di precompressione è pari a:
e p0 =
N0
= 5.584 ×10-3
A f Ep
La deformazione allo snervamento dell’armatura di precompressione è pari a:
e py =
f pyk
Ep
= 7.805 × 10- 3
h
f
dp
b
12.5
5.00
L
12.5
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Esempio 1
La resistenza del calcestruzzo allo stato limite ultimo è pari a:
f cd =
0.83× R ck
= 22.13 MPa
1.5
Con l’ipotesi di rottura in campo 2 e di snervamento dell’armatura di
precompressione, l’asse neutro è dato dalla seguente espressione:
yc =
A f f pyk
0.89bf cd
= 63.18 cm
La deformazione dell’acciaio è quindi pari a:
e p = 0.0035
h - yc - d p
yc
= 4.25×10-3
alla quale va aggiunta quella in fase di tiro:
e pt = e pt + e p0 = 9.834 ×10-3
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Esempio 1
Poiché quest’ultima è maggiore della deformazione di snervamento
dell’armatura di precompressione la sezione collassa è certamente in zona 2.
Il momento ultimo della sezione di mezzeria quindi vale:
M u = A f f pyk (d - 0.4 y c ) = 6424 KNm
La trave appoggiata è soggetta ad un momento massimo pari a:
L2
Md = Pd
= 4500 KNm
8
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Esempio 1
Poiché quest’ultima è maggiore della deformazione di snervamento
dell’armatura di precompressione la sezione collassa è certamente in zona 2.
Il momento ultimo della sezione di mezzeria quindi vale:
Mu = A f f pyk 0.89( h -d p) = 6978 KNm
La trave appoggiata è soggetta ad un momento massimo pari a:
L2
Md = Pd
= 4500 KNm
8
La sezione risulta dunque verificata.
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Esempio 2
Ap=558 mm2
ACCIAIO DA PRECOMPRESSIONE
400
s(MPa)
140
1385
500
(b)
As=400 mm2
140
50
1539
(a)
50
e(%)
0.7
CLS
C50/60
ACCIAIO
ARM. LENTA
B450C
3.5
Legame costitutivo acciaio da precom.
a) EP Perfetto b) EP incrudente
Si calcoli il momento ultimo della sezione nell’ipotesi di acciaio a comportamento
Elasto-Plastico Perfetti ed Elasto-Plastico Incrudente, con le caratteristiche
geometriche e meccaniche indicate in Figura.
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Esempio 2
Caso 1: Acciaio da precompresso a comportamento EEP
Caratteristiche Materiali
CLS
f cd =
f ck
0.85 = 28.33 MPa
1.5
C
0.8 f cd b
Per l’equilibrio delle forze la risultante delle
compressioni è uguale a quella delle trazioni
pari alla somma della forza di snervamento
delle due armature
ACCIAIO ARMONICO
s(MPa)
C
Tap
Ts
C = T = Tap +Ts = 558´1385+ 400 ´ 391= 929300 N
(a)
e(%)
0.7
Ipotizzando di essere in fase 2 e utilizzando
lo Stress-Block l’asse neutro potrà esprimersi0.8y
c
come segue
yc =
ACCIAIO DOLCE
450
f yd =
= 391 MPa
1.15
fyd=1385
Calcolo Asse Neutro
yc =102.5mm
3.5
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Esempio 2
Caso 1: Acciaio da precompresso a comportamento EEP
Calcolo Deformazione Acciaio
3.5
yc
C
Tap
Ts
10.16
11.86
e
Calcolo Momento Ultimo
M u = N c zc + N s zs = 923.3´(0.4 -0.041) +156.5´0.05 = 336.6+7.8 = 344.4kNm
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Esempio 2
Caso 2: Acciaio da precompresso a comportamento EEI
Caratteristiche Materiali
CLS
f cd =
f ck
0.85 = 28.33 MPa
1.5
ACCIAIO DOLCE
450
f yd =
= 391 MPa
1.15
ACCIAIO ARMONICO
Essendo presente l’incrudimento dell’acciaio
armonico è necessario operare per tentativi.
Occorre fissare un diagramma delle
deformazioni di primo tentativo con il quale
calcolare le risultanti di trazione e
compressione. Se dal confronto le due
dovessero risultare diverse occorrerebbe
modificare il campo delle deformazioni fino
al raggiungimento della condizione di
equilibrio
ACCIAIO ARMONICO
1539
C
C
C >T
(a)
e(%)
0.7
C @T
Tentativo 1……………………..Tentativo n-mo
s(MPa)
1385
Calcolo Asse Neutro
T
3.5
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
T
Esempio 2
Caso 2: Acciaio da precompresso a comportamento EEI
Caratteristiche Materiali
CLS
f cd =
f ck
0.85 = 28.33 MPa
1.5
Calcolo Asse Neutro
Dopo vari tentativi fissando la defromazione del cls al 0.35% si giunge
al seguente diagramma delle deformazioni che corrisponde ad una
condizione di equilibrio
3.5%°
ACCIAIO DOLCE
450
f yd =
= 391 MPa
1.15
105.2
9.8%°
1428
1385
ACCIAIO ARMONICO
1539
(a)
e(%)
0.7
3.5
T
11.47 %°
ACCIAIO ARMONICO
s(MPa)
C
La tensione dell’armatura da precompressione si può calcolare a
partire dal valore della deformazione totale somma della def ultima
più la deformazione iniziale dei cavi
e p = eu + e p0 = (9.8+ 5) / 1000 = 0.0148
s p =1428MPa
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Esempio 2
Caso 2: Acciaio da precompresso a comportamento EEI
Caratteristiche Materiali
CLS
f cd =
f ck
0.85 = 28.33 MPa
1.5
ACCIAIO DOLCE
450
f yd =
= 391 MPa
1.15
Verifica Equilibrio
E’ possibile verificare l’equilibrio alla traslazione calcolando le risultanti
di compressione e Trazione
Nc=0.8 x 105.2 x 400 x 28.33 = 953.7 kN
Np= 558 x 1428 = 796.8 kN
Ns = 400 x 391 = 156.4 kN
Np + Ns = 953.2 kN ≅ Nc (VERIFICATO)
ACCIAIO ARMONICO
Calcolo Momento Ultimo
s(MPa)
1428
1385
ACCIAIO ARMONICO
1539
M u = 349,1kNm
(a)
e(%)
0.7
C’è quindi un incremento del 1.4% rispetto al caso non incrudente
3.5
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Verifica per Momento minimo
Può accadere che in fasi di costruzione intermedie la trave sia
soggetta a una diminuzione di momento esterno che conduce a
condizioni ultime.
Un classico esempio è quello della messa in opera di travi da ponte
in c.a.p. Può accadere infatti che durante la costruzione sussista
una configurazione strutturale che conduca a condizioni di
momento minimo tali da portare la trave in condizioni di rottura
per schiacciamento del calcestruzzo in corrispondenza del cavo.
Tensione di compressione
Eccessiva nel cls
+
=
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Verifica per Momento minimo
Il problema si risolve imponendo l’equilibrio alla traslazione delle
forze interne e valutando poi il livello di tensione del cavo sp. Dopo
di che il momento interno si ricava come prodotto della forza di
trazione nel cavo per la distanza tra il cavo e la risultante delle
compressioni nel cls
M=Cz=Tz
Tensione di compressione
Eccessiva nel cls
+
= C
z
T
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16