5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE
Indice Generale
CARATTERISTICHE DINAMICHE DEGLI
STRUMENTI DI MISURA
Modello generale : equazione differenziale lineare a coeff. costanti
n
n 1
d q0
d q0
an
n  an 1
n 1  . . . .  a0 q0 
dt
dt
m
m1
d qi
d qi
bm
m  bm1
m1  . . . .  bo qi
dt
dt
qo ,qi sono funzioni del tempo
SOLUZIONE DI
EQ. DIFFERENZIALE
n
d
Dn  n
dt
Forma simbolica con operatore




an Dn  an 1 Dn 1  ...  a0 q0  bm Dm  bm1 Dm1  ...  b0 qi
Funzione di trasferimento sinusoidale
bm D  bm1 D  ...  b0 

q0
 D 
qi
an Dn  an1 Dn1  ...  a0 
m
m1
Utilizzo della funzione di trasferimento operazionale:
definizione di modelli dinamici di sistemi composti se si
possono trascurare gli effetti di carico
AD 2  B
K
qi 

 qo
C
 D 1
q0
AD  B
K
D  

qi
C
 D 1
2
SOLUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
LINEARI A COEFF. COSTANTI
q0  q0 g  q0 p
q0g : soluzione dell’ equazione
d n q0
d n 1q0
an
n  an 1
n 1  ...  a0  0
dt
dt
q0p : integrale particolare che dipende dalla forma della
funzione
d n qi
bm n  ...  b0
dt
q0g ha n costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni
n
iniziali, cioè dai valori di
all’ istante t=0
dq0
d q0
q0 ,
, ... ,
dt
dt n
q0p non ha nessuna costante arbitraria
per la determinazione di qog esiste un metodo generale che
consiste nel risolvere l’ equazione algebrica associata
an D  an1 D
n
n 1
 ...  a1 D  a0  0
• Per ogni radice reale singola s si somma nella soluzione q0g
un termine del tipo cest
• Per ogni radice reale s n-pla si somma nella soluzione q0g un
termine del tipo (c0+c1t+c2t2+ … +cn-1tn-1)est
• Per ogni radice complessa a+ib singola si somma nella
soluzione q0g un termine del tipo c1eatsin(bt+c2)
• Per ogni radice complessa a+ib, ripetuta n volte, nella
soluzione q0g si aggiunge un termine del tipo
c0eat sinbt  0   c1teat sinbt  1   ...  cn1t n1eat sinbt  n1 
La funzione di trasferimento sinusoidale
m
m1




q0
bm i  bm1 i
 ... b0
 i  
n
n 1
qi
an  i   an 1  i   ...  a0
è una funzione complessa che può essere espressa nella
forma polare
M 
è estremamente importante
• IL MODULO M di questa funzione è il rapporto tra le ampiezze
dell’ uscita (sinusoidale) e dell’ ingresso quando l’ ingresso è
sinusoidale
A0
M 
Ai

• LA FASE
di questa funzione è pari alla differenza di fase
tra l’ uscita (sinusoidale) e l’ ingresso quando l’ ingresso è
sinusoidale
QUESTA FUNZIONE CARATTERIZZA
COMPLETAMENTE STRUMENTI
DI QUALSIASI ORDINE QUANDO L’ INGRESSO E’ DI TIPO
SINUSOIDALE
DIMOSTRAZIONE PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE
DI TRASFERIMENTO SINUSOIDALE
Per ogni strumento la risposta A REGIME ad un ingresso
sinusoidale del tipo
qi  Ai sin t 
è un’ uscita del tipo
qo  Ao sin t  0 
cioè con la stessa frequenza dell’ ingresso, diversi ampiezza e
fase.
Se rappresentiamo le quantità dinamiche qi e qo con
esponenziali complessi
qi  Ai e
jt
qo  Ao e j t 0 
per la relazione di Eulero
Ae j  A cos   Aj sen 
si ha
qi  Ai e
jt
 Ai cost   Ai j sen t 
qo  Ao e j t 0   Ao cost  0   Ao sen t  0 
cioè:
qi
 ImA e 
jt
i

qo  Im Ao e
e
j t 0 

Sostituendo nell’ equazione differenziale che descrive il modello
dello strumento di misura alle quantità qi e qo le loro
rappresentazioni con esponenziali complessi si ha
an  j  Ao e
n
j t 0 
 bm  j  Ai e
m
jt
 an1  j  Ao e
n 1
 bm1  j  Ai e
m 1
j t 0 
jt
 ...  a0 A0e
 ...  b 0 Ai e
j t 0 
jt
questa eq. complessa sarà soddisfatta se le parti reali dei due termini
saranno uguali e lo stesso vale per le parti immaginarie.

Dalla eq. precedente si ha inoltre
j t  
Ao e
Ai e jt
bm i   bm 1 i   ... b0
qo
i 


n
n 1
an i   an 1 i   ...  a0 qi
m
m 1
e
Ao e j t   Ao j Ao
cos   j sen  

e 
j t
Ai e
Ai
Ai
cos   j sen   cos 2   sen 2    1
e quindi
qo
Ao
i     M
qi
Ai
STRUMENTO DI ORDINE ZERO
a0 q0 t   b0 qi t 
b0
q0 t  
qi t 
a0
q0 t   kqi t 
b0
k
a0
Unico parametro che lo caratterizza : k=SENSIBILITA’ STATICA
ESEMPIO:
Eb
POTENZIOMETRO
L
Xi
e0
xi
e0  Eb  kxi
L
Eb
k
L
Funzione di traferimento sinusoidale dello strumento di ordine zero
M
K


0

STRUMENTO PERFETTO
STRUMENTO DI ORDINE UNO
dq0
a1
 a0 q0  b0 qi
dt
b0
a1 dq0
 q0  qi
a0 dt
a0
b0
k
a0
Sensibilità statica
a1

a0
Costante di tempo
dq0

 q0  kqi
dt
ESEMPIO :
Termometro
hAT f  Tb dt  V c p dTb

dTb
V c p
 hATb  hAT f
dt
qo : Tb
qi : T f
V c p dqo
 qo  qi
hA dt
K=1
 
poiché abbiamo considerato sia come ingresso
che come uscita delle temperature
V c p
hA
• Se consideriamo come qo lo spostamento xo
• sia KV il coefficiente di espansione
volumetrica del liquido del termometro
V  KVVTb  Ac xo
KVV
KVV
xo 
Tb  K 
Ac
Ac
Risposta al gradino dello strumento del primo ordine
 D  1 qo  Kq is
 D  1 qo  Kq is
Integrale generale della
 D  1 qo  0
condizioni iniziali:
q0  Ce
q0  0
0  C  Kq is
quindi
t

 Kq is
integrale particolare
soluzione completa
 Ce


t

 Kq is
t0

t


q0  Kq is 1  e 


C   Kq is




Kq is  q0
e 
Kq is
t
per
t 
quindi

= Differenza percentuale
Kq is  q0
 e 1  0,3678
Kq is
q0 t    %  1  0,3678  63,2%
 è il tempo necessario perché l’uscita raggiunga il 63,2%
del valore finale
Risposta ad una rampa dello strumento del primo ordine
0
qi  
q ist
t  0

t  0
 D  1 q0
 Kq ist
Come per il caso precedente
l’integrale generale è

e l’integrale particolare è

Ce
t

Kq is t   
La soluzione risulta quindi
q0  Ce
Con le condizioni iniziali:
q0  0
si ottiene


t

 Kq is t   
t  0
t




q0  Kq is  Ce  t   


Il grafico di questa risposta è il seguente

Risposta in frequenza dello strumento del I ordine
qo
K
K
i  

 arctg   
qi
 D 1
 2 2  1


Risposta all’impulso dello strumento del I ordine
Definizione di impulso
Funzione picco p(t)
A

pt    T
0

0 t T

altrove 
Funzione impulso
area
A
ampiezza 
0
i t   

t  0

t  0

 i t dt  A

Per lo strumento del I ordine
con ingresso p(t)
KA
 D  1 qo  Kqi 
T

KA 
1  e 
q0 
T 
t
Come per il gradino , la soluzione è
Valida però solo fino al tempo t = T



All’istante t = T sarà
t



KA

1  e 
q0 
T 

(I)
Per t > T l’eq. Differenziale da risolvere è
 D  1 qo  Kqi  0
Che ha per soluzione
q0  Ce
La costante iniziale C si determina con la
condizione iniziale (I) , si ottiene

t

t
 

KA1  e  


C
t

Te 
E quindi
t
t
  

KA1  e  e 


q0 
t

Te 
La risposta all’impulso si ottiene facendo il limite di questa
espressione per T  0 e applicando la regola di L’Hopital
per la forma indeterminata 0/0 ( il limite del rapporto tra le
derivate) si ottiene
q0 
KA

e

t

Che riportata in un grafico ha l’andamento seguente


Proprietà dell’impulso
STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE
d 2 q0
d q0
a2 2  a1
 a0q0  b0qi
dt
dt
Dividendo, al solito , per ao e posti
b0
K
a0
 n
Sensibilità statica
a0
a2
a1

2 a0 a 2
frequenza naturale
non smorzata
rapporto di
smorzamento
Si ottiene la funzione di trasferimento operazionale
q0
D   2
D
qi

2
n

K
2 D

1
n
ESEMPIO DI STRUMENTO DEL II ORDIINE : LA BILANCIA
qi : f i
q0 : x0
dx0
d 2 x0
fi  B
 K s x0  M
dt
dt 2
d 2 x0
dx0
M
B
 K s x0  f i
2
dt
dt
fi
D2

2

K
2 D
n
dove
K
1
Ks
Ks
 n
M
B

2 Ks M

n
xo
1
Risposta in frequenza (Risposta ad un ingresso sinusoidale)
q0
K
i  
qi
 i  2 i
1


 n   n
In forma polare si ottiene :
Modulo
fase
q0 / K
i  
qi
  arctg
1
  

1  
   n 
2
 n

n 
2 2

  4 2 2 /  2 n
