HALLIDAY - capitolo 4 problema 4
Un treno viaggia alla velocità costante di 60,0 km/h per 40,0 min
verso est, quindi per 20,0 min nella direzione che forma un angolo
di 50° verso est rispetto al nord, e infine per 50,0 min verso ovest.
Qual è la sua velocità vettoriale media su tutto il tragitto?
v=60km/h=1km/min
N
W
S
y Δr  v  t  40,0km
1
1
Δr2  v Δ t 2  20,0km

ˆ
Δr1  40,0 i

E
Δr2  20,0sin(50 ) iˆ  20,0cos(50  ) ˆj
 15,3 iˆ  12,9 ˆj
Δr3
Δr3  v  t 3  50,0km

α=50°
Δr3  50,0 iˆ
Δr
Δr2
O
Δr1
x




Spostamento totale: Δr  Δr1  Δr2  Δr3  5,3iˆ  12,9ˆj
Intervallo di tempo:
Δ t  Δ t 1  Δ t 2  Δ t 3  110min
Velocità media:


Δr
vM 
 0.0482 iˆ  0.117 ˆj (in km/min)
Δt
Modulo: v M  0,0482  0,117  0,127km/mi n  7,62km/h
2
2
0,117
 67,6
Direzione e verso:   arctg
0,0482
HALLIDAY - capitolo 4 problema 10
La velocità v di una particella in moto nel piano xy è data
dall’espressione v=(6,0t - 4,0t2) î + 8,0 ĵ, ove v è in metri al
secondo e t (>0) in secondi. Qual è l’accelerazione per t=3,0s?
Quando (se ciò avviene) l’accelerazione si annulla? Quando (se
ciò avviene) si annulla la velocità? E quando (se ciò avviene) la
velocità ha modulo 10m/s?

v  (6,0t  4,0t 2 ) iˆ  8,0 ˆj

a  (6,0  8,0t) iˆ

Al tempo t=3,0s: a  18,0 iˆ

a  0  a x  0  a y  0  az  0
a x  0  6,0  8,0t  0  t  0,75s

v  0  v x  0  v y  0  vz  0
impossibile (vy≠0 sempre)
Modulo della velocità:
v  (6t  4t )  8
2
2
2
2
v  10  v 2  100  (6t  4t 2 )2  64  100
2

6t  4t  6
2 2
 (6t  4t )  36  
2
6t  4t  6
La prima equazione non ammette soluzioni (Δ<0)
La seconda equazione ammette le soluzioni t1= -0,686s (non
accettabile perchè la traccia richiede che sia t>0) e t2=2,19s
che rappresenta l’istante in cui v=10m/s
HALLIDAY - capitolo 4 problema 19
Un aeroplano, volando alla velocità di 290km/h con un angolo
di 30° verso il basso rispetto al piano orizzontale, sgancia un
falso bersaglio radar. La distanza orizzontale fra il punto di
rilascio ed il punto in cui il falso bersaglio colpisce il terreno è
di 700m. Per quanto tempo è rimasto in aria il falso bersaglio?
A che quota si trovava l’aereo al momento dello sgancio?
y
v0
h
Posizione iniziale: (0,h)
Velocità iniziale: (v0cosθ, -v0sinθ)
(v0=290km/h=80,6m/s)
x
x  v0 cosθ t
Moto del falso bersaglio:
All’istante di caduta tc il
bersaglio ha percorso la
distanza orizzontale d
1 2
y  h  v0 sinθ t  gt
2
d
d  v0 cosθ t c  t c 
 10,0s
v0 cosθ
2
L’altezza da cui il
bersaglio è stato
lanciato si ricava
imponendo y(tc)=0
d
1  d 
  0
h  v0 sinθ
 g
v0 cosθ 2  v0 cosθ 
gd 2
 h  dtgθ  2 2  897m
2v0 cos θ
HALLIDAY - capitolo 4 problema 22
H=2,37m
Un tennista serve la palla orizzontalmente da un’altezza (riferita
al centro della palla) sul campo di 2,37m a una velocità di
23,6m/s. Riuscirà la palla a passare sopra la rete, alta 0,90m,
che si trova ad una distanza di 12,0m? Se sì, a che altezza
sulla rete (riferita al centro della palla)? Supponiamo ora che il
tennista serva con un’inclinazione verso il basso di 5,00°
rispetto al piano orizzontale. La palla riuscirà ancora a passare
la rete? Se sì, a che altezza?
y
La palla supera la rete
se nell’istante in cui x=D
P0(0,H)
v0
è y>h (traiettoria verde)
h=0,90m
D=12,0m
x
x  v0 t
Equazioni del moto della palla:
1 2
y  H  gt
2
Calcoliamo l’istante di tempo t1 in cui x=D:
D
D  v0 t 1  t 1 
v0
L’altezza della palla sulla rete è y(t1):
1 2
gD 2
y(t 1 )  H  gt 1  H  2  1,10m
2
2v0
Poichè y(t1)>h la palla supera la rete
y
H=2,37m
P0(0,H)
Equazioni del moto:
θ=5,00°
x  v0 cosθ t
1 2
y  H  v0 sinθ t  gt
2
v0
h=0,90m
D=12,0m
Calcoliamo l’istante di
tempo t1 in cui x=D:
x
D
D  v0 cosθ t 1  t 1 
v0 cosθ
L’altezza della palla sulla rete è y(t1):
1 2
gD 2
y(t 1 )  H  v0 sinθ t 1  gt 1  H  Dtgθ  2 2  0,043m
2
2v0 cos θ
Poichè y(t1)<h la palla non riesce a superare la rete
HALLIDAY - capitolo 4 problema 29
Dall’estremità sinistra dell’edificio alto h in figura si lancia verso
sinistra una palla che cade a terra dopo 1,50s alla distanza
d=25,0m dalla base del palazzo, arrivandovi con direzione che
forma un angolo θ=60° rispetto al piano orizzontale. Trovare
l’altezza h. Determinare il modulo della velocità e l’angolo di
lancio rispetto al piano orizzontale. La palla è stata lanciata
verso l’alto o verso il basso?
v0 y
α
h
x
θ=60°
v
d
Moto della palla:
x  v0 cos α t
1 2
y  h  v0 sin α t  gt
2
v x  v0 cos α
v y  v0 sin α  gt
Incognite: h, v0, α
d
All’istante di caduta (tc=1,50s) x=d: d  v0 cos α t c  v0 cosα 
tc
L’angolo del vettore velocità con l’asse x nell’istante tc è -60° :
v0 sinα  gt c
 tan( 60 ) 
 3
v x (t c )
v0 cosα
v y (t c )
d
v0 cosα 
tc
d
v0 sinα  gt c   3v0 cosα  v0 sinα  gt c  3
tc
Elevando al quadrato le due equazioni e sommando:
2
2
2


d
d
4d
v02   gt c  3   2  v0  g 2 t c2  2  2 3 gd  21,9m/s
tc 
tc
tc

Dalla seconda equazione:
1
d
sinα   gt c  3   0,647  α  40,3
v0 
tc 
Quando la palla arriva al suolo, al tempo tc, è y=0:
1 2
y(t c )  0  h  v0 sin α t c  gt c  32,3m
2
HALLIDAY - capitolo 4 problema 37
Un ragazzino fa ruotare un sasso legato ad una cordicella lunga
1,5m su una circonferenza orizzontale ad altezza di 2,0m dal
suolo. La cordicella si rompe ed il sasso fila via orizzontalmente
andando a cadere a 10m di distanza orizzontale. Quale era
l’accelerazione centripeta del sasso in moto circolare?
y
R
v0
h=2,0m
O
d=10m
x
x  v0 t
Moto del sasso:
1 2
y  h  gt
2
Il sasso arriva al suolo nell’istante t1 in cui y=0:
1 2
y  0  h  gt 1  0  t 1 
2
2h
g
All’istante di caduta t1 dovrà essere x=d:
d  x(t 1 )  v0 t 1  v0
2h
g
 v0  d
g
2h
L’accelerazione centripeta del moto circolare è ac=v02/R:
v02 d 2 g
ac 

 163m/s 2
R 2hR
HALLIDAY - capitolo 4 problema 58
Il treno francese TGV compie viaggi ad una velocità di 216km/h.
Se abborda una curva a questa velocità e la massima
accelerazione accettabile dai passeggeri è 0,050g, qual è il
minimo raggio ammissibile per le curve dei binari? Se una curva
ha raggio di 1,00km, a quale valore deve essere ridotta la velocità
del treno per rispettare il limite di accelerazione consentito?
Se v=216km/h(=60,0m/s):
2
2
v
v
ac  0,050g 
 0,050g  R 
 7347m
R
0,050g
Se R=1000m:
2
v
ac  0,050g 
 0,050g 
R
v 2  0,050gR  v  0,050gR  22,1m/s  80,0km/h
HALLIDAY - capitolo 4 problema 74
Qual è l’accelerazione centripeta dovuta alla rotazione della
Terra per un oggetto che si trova sull’equatore? Quale dovrebbe
essere il periodo di rotazione della Terra affinchè questa
accelerazione sia uguale a 9,8m/s2?
Raggio della Terra: R=6,37106m
Periodo di rotazione: 1giorno=86400s
R
P
2πR
v
T
v2 4 π2 R
2
2
ac 


3,37

10
m/s
R
T2
4 π2 R
R
 g  T  2π
 507s  8min27sec
Se fosse ac=g: ac  g 
2
T
g
Per avere ac=g sull’equatore la velocità di rotazione della Terra
dovrebbe essere di circa 170 volte maggiore!