Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria
Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…
Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2015-16
Perdite istantanee e Cadute
lente in travi di CAP
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Introduzione
La forza di precompressione non può ritenersi costante, sia perché spesso
applicata in fasi successive, sia perché risulta influenzata da fenomeni in
grado di generare cadute di tensione nei cavi, che possono essere di
natura istantanea o differita nel tempo in accordo con lo schema
seguente
Predite e cadute
Lente
Viscosità
Ritiro
Istantanee
Rilassamento
Accorciamento
elastico
Attrito
Rientro
ancoraggi
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: la viscosità
La Teoria della viscoelasticità lineare prevede che per il calcolo della
deformazione nel cls si possa utilizzare la seguente formulazione:
e c (t )  e el  e v 
c
Ec

c
Ec
(t , t0 ) t  t0
La parte di deformazione viscosa (2° termine) produrrà inevitabilmente un
accorciamento del cls e, data l’ipotesi di perfetta aderenza, anche
dell’acciaio, generando così una perdita di tensione nei cavi.
A tempo infinito, quest’ultima si può calcolare assumendo la deformazione
dell’acciaio ep=ev . Di conseguenza la variazione di tensione nell’acciaio si
esprimerà come segue:
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Cadute di tensione nel’acciaio
Cadute di tensione lente: la viscosità
NOTA: La tensione elastica nel calcestruzzo si calcola mettendo in
conto la precompressione scontata delle perdite istantanee, il peso
proprio, i sovraccarichi permanenti e variabili; questi ultimi andranno
considerato solo nel caso in cui essi siano di natura quasi
permanente. I sovraccarichi variabili in combinazione rara o
frequente non dovranno essere considerati.
N i N i e M G + M p+q
s c,el = +
A W
W
Variabili quasi permanenti
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: la viscosità
NOTA: La tensione elastica nel calcestruzzo si calcola mettendo in
conto la precompressione scontata delle perdite istantanee, il peso
proprio, i sovraccarichi permanenti e variabili; questi ultimi andranno
considerato solo nel caso in cui essi siano di natura quasi
permanente. I sovraccarichi variabili in combinazione rara o
frequente non dovranno essere considerati.
N i N i e M G + M p+q
s c,el = +
A W
W
Variabili quasi permanenti
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Cadute di tensione nel calcestruzzo
Cadute di tensione lente: la viscosità - Esempio
Esempio 5.5: Con riferimento all’esercizio 5.4 si calcolino le
cadute di tensione dovute alla viscosità della trave ipotizzando un
ambiente con umidità del 75% e un tempo di applicazione della
precompressione t0=15gg. Si ipotizzi che il contributo Mp+q sia
legato esclusivamente a carichi variabili in combinazione rara.
Per il caso esaminato l’area esposta risulta essere pari a A=1.125
m2, (si trascurano le armature), mentre il perimetro p=7.5m.
Quindi il parametro vale h0=300. Poiché l’umidità è pari al 75% il
coefficiente di viscosità a tempo infinito vale f (¥,t=15gg)=2.2. Il
coefficiente di omogeneizzazione può essere calcolato a partire
dalle caratteristiche meccaniche dei materiali, desumibili dalla
tabella 4.3.
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: la viscosità - Esempio
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: Il ritiro
Come già visto la normativa attuale prevede un calcolo analitico della
deformazione da ritiro in funzione delle condizioni ambientali, della
geometria e della qualità del calcestruzzo.
Ritiro da essiccamento
Ritiro Autogeno
La caduta di tensione nell’armatura di precompressione dovuta al ritiro
quindi valutabile semplicemente moltiplicando la deformazione fornita
dalla normativa per il modulo elastico dell’armatura di precompressione,
ipotizzando che tale deformazione sia uniformemente distribuita sulla
sezione.
erit*L
L
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: Il ritiro
Esempio 5.6: Sempre con riferimento all’esercizio 5.4 si calcolino
le cadute di tensione dovute al ritiro nella trave ipotizzando un
ambiente con umidità del 75% e un tempo di applicazione della
precompressione t0=15gg
Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro da
essiccamento ha l’espressione:
ecd, = kh ec0
¥
(5.29)
Poiché il coefficiente h0 = 300, il coefficiente kh risulta essere pari
a 0.75 (vedi tabella 4.7). Poiché la resistenza cilindrica
caratteristica del calcestruzzo è pari a 29 MPa e l’umidità relativa
è pari al 75% per determinare la deformazione di base ec0 occorre
interpolare i valori riportati in tabella 4.6, che forniscono un valore
pari a 0.312.
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: Il ritiro
La deformazione per ritiro autogeno si desume direttamente dalla
relazione seguente:
e ca ,¥ = -2.5 ( f ck - 10) × 10-6 =4.75 ´ 10-5
Il valore di deformazione totale dovuta al ritiro vale dunque:
ecs=0.75 ´ 0.312 + 4.75 ´ 10-5 = 0.234/1000
La perdita di tensione corrispondente nel cavo è la seguente:
Dsr = 0.234/1000 ´ 205000 = 48 MPa
che in termini di sforzo di precompressione risulta:
DN = 4.8 ´ 45 = 216 MPa , ossia una perdita del 4.8 %
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: effetto combinato
Il calcolo delle cadute di tensione così come in precedenza
illustrato è basato sull’ipotesi di non-interdipendenza dei fenomeni
lenti. L’ipotesi di tensione costante per il calcolo della viscosità
verrebbe meno non appena si considerasse la contemporanea
presenza del rilassamento dell’acciaio che varia la tensione nel
cavo. Vale naturalmente anche l’opposto. Sicché è necessario
determinare l’entità di questa interazione reciproca.
F=cost
d=cost
Condizioni di Rilassamento Ideali
Condizioni di Viscosità Ideali
Interazione
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: effetto combinato
A tale fine l’Eurocodice 2 (p. 5.46) prevede l’utilizzo della
seguente espressione
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: effetto combinato
L’espressione precedente può essere facilmente dedotta
immaginando di prendere un elemento di calcestruzzo di
lunghezza unitaria in corrispondenza del cavo e uguagliando la
variazione di deformazione del cavo a quella del calcestruzzo
N0+DN
Acciaio
CLS
Variazione di def
Nell’acciaio
Effetto di viscosità causato
dalla variazione di N – c0.8
Variazione di deformazione nel cls
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: effetto combinato
Ricordando infine che N0=Apsp0 e tenendo conto del segno
opposto delle tensioni nell’acciaio e nel calcestruzzo si ottiene
l’equazione
La normativa sottovaluta il contributo
del rilassamento con una diminuzione del 20%
sc =
N Ne
N
A
+
e = (1+ e 2 )
A J
A
J
Tensione nel cls
a livello del cavo
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Cadute di tensione nell’acciaio
Cadute di tensione lente: effetto combinato - Esempio
Esempio 5.7: Con riferimento all’esercizio 5.4 si calcolino le
cadute di tensione combinate della trave ipotizzando che le cadute
per rilassamento siano pari a Dsril = 150 MPa e le cadute dovute
alla viscosità e al ritiro siano quelle calcolate negli esercizi 5.5 e
5.6.
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Cadute di tensione nell’acciaio
Perdite di tensione istantanee
Oltre alle cadute di tensione che sono, come visto, differite nel tempo,
esistono altre cause che all’atto della precompressione diminuiscono il
tiro inizialmente imposto. Esse sono le così dette perdite di tensione
istantanee che si manifestano in maniera diversa in travi a cavi posttesi e travi a cavi pre-tesi.
• Nel caso si travi a cavi post-tesi il fenomeno delle perdite di
tensione è dovuto essenzialmente all’attrito tra guaina e il cavo, al
rientro degli ancoraggi dei cavi e alle perdite al martinetto. Queste
ultime due cause sono in genere di entità minore e quindi spesso
vengono trascurate.
• Nelle travi a cavi pre-tesi le perdite di tensione sono si manifestano
all’atto del taglio delle armature dopo la maturazione del getto per
l’accorciamento elastico del calcestruzzo.
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito
Per effetto della curvatura del cavo, su di esso
agisce una pressione p, pari al rapporto tra lo
sforzo normale N e il raggio di curvatura R in
generale variabile lungo il cavo:

N1
d
p
A
ds
N2
B
pt
Perdite dovute all’attrito cavo-guaina
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito
La normativa europea, alla quale la normativa italiana rimanda per
la valutazione delle perdite dovute all’attrito, suggerisce i valori
del coefficiente d’attrito riportati in Tabella
Tabella 5.1 - Valori di fc secondo l’EC2
Tipo di armatura
Fili trafilati a freddo
Trefoli
Barre con risalti
Barre lisce
Coefficiente d’attrito
0.17
0.19
0.65
0.33
Nei tratti rettilinei, non essendoci alcuna variazione angolare, si
dovrebbe assumere in teoria una perdita per attrito nulla. La
normativa però considera, anche per tali tratti, una variazione di
tensione, che dipende però oltre che dal coefficiente d’attrito fc,
anche dalla lunghezza L del tratto considerato:
Il termine k è la variazione angolare espressa per unità di
lunghezza del cavo ed è generalmente compresa nell’intervallo
0.005 < k < 0.01 rad/m.
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito
Nel caso di cavi con variazioni angolari e tratti lineari multipli, le
perdite di tensioni per attrito possono essere valutate ancora con le
5.38 e 5.40 dove a ed L rappresentano ora la somma delle
variazioni angolari e le lunghezze dei tratti rettilinei
æ
öö
æ
- fc çåai +å kL j ÷
ç
÷÷
ç
j
è i
ø
DN = N 0 ç1- e
÷
ç
÷
è
ø
Formula per il calcolo delle perdite d’attrito nel caso di
andamento generico del cavo
Le variazioni angolari i si possono ricavare una volta noto l’andamento geometrico del cavo.
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito - esempio
Esempio 5.8: Valutare le perdite dovute all’attrito cavo-guaina
nella sezione di mezzeria della trave precompressa a cavi post-tesi
indicata in figura.
D
A
h
f
B
dp
12.5
b
h
(cm)
b
(cm)
150
45
C
12.5
5.00
L
Dati trave
Ap
L
2
(cm )
(m)
35
30
f
(m)
dp
(cm)
Lr
(m)
1.00
10
2,5
La trave è costituita da una tratto rettilineo centrale di lunghezza 5 m
e due tratti parabolici di lunghezza 12.5 m e altezza f
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito - esempio
Esempio 5.8: Valutare le perdite dovute all’attrito cavo-guaina
nella sezione di mezzeria della trave precompressa a cavi post-tesi
indicata in figura.
D
A
h
B
dp
b
12.5
f
5.00
L
C
12.5
Si assume inoltre che i coefficienti d’attrito abbiano i seguenti valori,
come suggerito dalla normativa:
1.
fc = 0,3 [1/rad] nel caso si utilizzino guaine metalliche
ü
k = 0,01 [rad / m]
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito - esempio
TIP: Per la valutazione dell’angolo α si può ricavare l’equazione della parabola che
descrive la forma del cavo tramite i seguenti passaggi per valutare poi il valore della
derivata prima in testa alla trave (punto A):
y
x
I coefficienti della parabola si possono determinare imponendo che:
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito - esempio
Ora è possibile calcolare la perdita di tensione nel cavo dovuta all’attrito, assumendo
N0 = 4500 KN e Lr = lunghezza del tratto rettilineo di metà trave:
Dsatt=
N0
Ap
1-e-fc a+kL =69,413 MPa
La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza:
corrispondente al 5.4%
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a fili pretesi: perdite per accorciamento elastico del cls
Nel caso di travi a fili pre-tesi non sussistono ne perdite per attrito ne
tanto meno perdite per rientro degli ancoraggi. Le uniche perdite sono
dovute all’accorciamento elastico del calcestruzzo all’atto del taglio dei
cavi ad avvenuta maturazione dello stesso
N0 æ e2 ö
e p = ec =
ç1+ Ac ÷ = eG k
Ec Ac è J ø
DN p = Ap E pe p = Ap n s c,0 k
Per il calcolo dell’accorciamento del cavo è sufficiente, per l’ipotesi di
perfetta aderenza, determinare l’accorciamento del cls a livello del cavo
stesso.
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a fili pretesi: perdite per accorciamento elastico del cls
Una via diretta per determinare la predita nel cavo per accorciamento
elastico del cls in funzione dei parametri meccanici e geometrici in
gioco è la seguente:
(e p0 - ec ) E p Ap = eG Ec Ac
Ds p =
N0
Ap +
Ac
nk
æ e2 ö
ec = eG ç1+ Ac ÷ = eG k
è J ø
ec = e po
1
A
1+ c
nAp k
Si esprime la
deformazione del cls ec a
livello del cavo in
funzione di quella media
eG. Imponendo l’equilibrio
alla traslazione della
sezione di trova la perdita
in funzione di N0, AP, Ac, n
ek
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a fili pretesi: perdite per accorciamento elastico: esempio
Esempio 5.9: Si consideri una trave in c.a.p., realizzata con
calcestruzzo di classe C35/45, precompressa a mezzo di fili pretesi
la cui area totale è Ap=10 cm2 e il cui cavo risultante presenta
eccentricità costante e=25 cm. La sezione è rettangolare 40 x 80
cm, mentre lo sforzo iniziale N0 è pari a 1350 kN. Si calcoli la
perdita di precompressione dovuta all’accorciamento elastico del
calcestruzzo all’atto della precompressione della trave.
L’area della sezione di calcestruzzo è Ac=3200 cm2 mentre il
coefficiente k della 5.43 risulta essere:
k= 1+
e2
J
Ac = 1+
252
40×803
12
40×80 =2.17
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Cadute di tensione nell’acciaio
Travi a fili pretesi: perdite per accorciamento elastico: esempio
Essendo il calcestruzzo di classe C35/45 il modulo elastico medio
del calcestruzzo risulta pari a Ecm=34 GPa, sicché il coefficiente di
omogeneizzazione n è uguale a 6.02. Applicando la 5.45 si ottiene
la perdita di carico richiesta:
Ap N0
1000×1350
∆N=
=
=52.10 MPa
Ac
320000
Ap +
1000+
nk
5.92×2.17
che corrisponde ad una perdita in percentuale del 3.80%.
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Cadute di tensione nell’acciaio
Effetto mutuo dei cavi nella post-tensione
Nel caso di travi in c.a.p. a cavi post-tesi in cui i cavi vengano tesati
in tempi differenti, uno alla volta, oppure come più spesso accade,
in gruppi, sussiste una perdita per accorciamento elastico del cls che
si manifesta sui cavi una volta che solamente un gruppo venga
tesato.
N1
N2
Il cls si accorcia per l’azione di
N1 sul cavo 1 il quale produrrà
anche un accorciamento del
cavo 2 e quindi una sua
perdita indiretta
Analogamente l’azione di
N2 sul cavo 2 produrrà un
accorciamento del cavo 1 e
quindi una perdita indiretta
analoga a quella del cavo 1
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Cadute di tensione nell’acciaio
Effetto mutuo dei cavi nella post-tensione
Nel caso di travi in c.a.p. a cavi post-tesi in cui i cavi vengano tesati
in tempi differenti, uno alla volta, oppure come più spesso accade,
in gruppi, sussiste una perdita per accorciamento elastico del cls che
si manifesta sui cavi una volta che solamente un gruppo venga
tesato.
Il valor medio delle perdite in ciascun cavo può essere valutato
come segue:
dove j = n - 1
2n
dove Dc(t) è la perdita al tempo t riferita al baricentro delle armature di
precompressione Ecm(t) è il modulo elastico del cls al tempo t, n è il numero delle
armature, Ap è l’area delle stesse ed Ep è il loro modulo elastico. Se il numero di
cavi è elevato è ammesso adottare j=1/2.
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Cadute di tensione nell’acciaio
Altri fenomeni
RIENTRO DEGLI ANCORAGGI
Esso si manifesta per effetto delle elevate tensioni nel cls che può
subire plasticizzazioni locali. Ciò produce un rientro degli ancoraggi
e una conseguente perdita di tensione nei cavi. Essa è di difficile
determinazione e in genere si valuta mediante test di natura
sperimentale.
RIENTRO CUNEI DEGLI ANCORAGGI
E’ dovuto al non perfetto “serraggio” dei cavi da parte dei cunei. La
sua entità è una caratteristica dell’ancoraggio e viene fornita dalla
casa produttrice degli ancoraggi
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