OR 4 – WP.2: Modelli puntuali
Riunione congiunta CTS e CCE 05 Aprile 2013,
Università della Calabria, Cosenza
Presentazione delle attività svolte nel periodo Ottobre 2012 ad oggi
OR 4
Modello matematico di simulazione
Modulo Geotecnico
Analisi di
stabilità in
termini di FS
Risposta tensodeformativa
Modello matematico di simulazione
Gli invarianti di sforzo
Lo stato tensionale in un punto
𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥
𝜎1 𝜎2 𝜎3
In termini di tensioni principali
𝑠=
Invarianti di sforzo
𝑡=
1
3
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
1
3
+ 𝜎𝑦 − 𝜎𝑧
𝜃=
𝑇
𝑇
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧
2
+ 𝜎𝑧 − 𝜎𝑥
2
+ 6(𝜏𝑥𝑦 2 + 𝜏𝑦𝑧 2 + 𝜏𝑧𝑥 2 )
1
−3 6
arcsin
𝐽
3
𝑡3 3
Modello matematico di simulazione
s = distanza dall’origine dello spazio delle tensioni principali;
t= distanza perpendicolare dallo stress point P alla trisettrice dell’ottante;
θ= “angolo di Lode” è la misura angolare della posizione dello stress point P nel piano
ottaedrico delle tensioni principali.
Modello matematico di simulazione
Modello elasto-plastico con superficie di snervamento alla Mohr-Coulomb
F = 𝜎𝑖𝑓 ′ − 𝜎𝑘𝑓 ′
−
𝜎𝑖𝑓 ′ + 𝜎𝑘𝑓 ′
sin 𝜑′ − 2𝑐′ cos 𝜑′ ≤ 0
i,k=1,2,3
Invarianti di sforzo
F=
1
3
s ∙ sin φ′ +
3
cos θ sin θ ∙ sin φ′
t∙
−
− c ′ cos φ′
2
3
3
Modello matematico di simulazione
Non-linearità meccaniche (legame costitutivo)
Ricerca iterativa della soluzione del sistema
“Costant stiffness method” – NR mod
𝐾𝑚 𝑈 𝑖 = 𝐹
𝑖
“Tangent stiffness method” - NR
Modello matematico di simulazione
“Costant stiffness method” – Newton-Raphson modificato
Vantaggi:
1. Assemblaggio matrice Km una volta sola
2. Fattorizzazione di Km (Foward-Backward Gauss
substitution) una volta sola
3. Bassi costi computazionali rispetto al “Tangent
stiffness method”
Svantaggi:
1. Maggior numero di iterazioni per giungere a
soluzione
Modello matematico di simulazione
La viscoplasticità :
Il materiale può sostenere stati tensionali al di fuori della superficie di plasticizzazione
entro un certo limite. Ciò significa che la funzione di plasticizzazione F può essere
maggiore di zero (Zienkiewicz e Cormeau,1974) .
𝜀
𝜕𝑄
=𝐹
𝜕𝝈′
𝑣𝑝
𝛿𝜀 𝑣𝑝
∆𝜀 𝑣𝑝
𝑖
𝑖
= 𝜀 𝑣𝑝
= ∆𝜀 𝑣𝑝
F= funzione di plasticizzazione di Mohr-Coulomb
Q= potenziale plastico
𝑖
∙ ∆𝑡
𝑖−1
+ 𝛿 𝑣𝑝
𝑖
Modello matematico di simulazione
Schema risolutivo FEM:
𝐾𝑚 𝑈 𝑖 = 𝐹
𝑈
𝑖
𝑖
Vettore globale
spostamenti nodali
A livello di elemento
𝐵 𝑢 𝑖 = ∆𝜀
[B] = matrice delle derivate
delle funzioni forma
𝑖
𝐷 ∆𝜀 𝑖 = ∆𝜎
𝑖
Se viene raggiunta la superficie di plasticizzazione la
deformazione si sdoppia in due aliquote:
[D] = matrice dei coefficienti
elastici
∆𝜀 𝑖 = ∆𝜀𝑒
𝑖
+ ∆𝜀 𝑣𝑝
𝑖
Modello matematico di simulazione
Calcolo del Fattore di sicurezza: Procedura Phi-c’ Reduction
Il fattore di sicurezza viene ricercato mediante una riduzione iterativa dei parametri di
resistenza c’ e tanφ’ finché non si instaura un meccanismo di collasso:
c′
tan φ′
FS =
=
c′RID
tan φ′ RID
La potenziale superficie di scorrimento viene identificata automaticamente dalla
procedura.
Applicazione
Problema di un banco di sabbia attraversato da livelletti di terreno scadente.
FASE 1 : Pendio Asciutto
FASE 2: Risalita falda come in figura
Strato
φ (°)
c’
ψ(°)
(kPa)
γ
E
(kN/m3)
(kPa)
v
Sabbia
40
1
0
20
100 000
0.33
Livelletti
19
1
0
20
5 000
0.40
Applicazione
Discretizzazione adottata: elementi finiti quadrangolari a 4 punti di Gauss
Applicazione
Fattore di sicurezza
In caso di pendio asciutto
FS= 1.55
In caso di risalita di falda
FS= 1.18
Applicazione
Risposta in termini di spostamenti (deformazioni)
Vettori spostamento durante la
“Gravity loading”. Essivengono
azzerati a fine procedura.
Risalita falda
Vettori spostamento dopo la
risalita della falda.
Applicazione
Mesh deformata – Vettori spostamento