Moltiplichiamo le potenze
Osserviamo che scrivere 52 × 56 equivale a scrivere:
52 × 56
5×5
×
5×5×5×5×5×5
2 volte
6 volte
ossia:
5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 58
2 + 6 = 8 volte
Prodotto di potenze con uguale base
Il prodotto di due o più potenze di uguale base è
una potenza avente per base la stessa base e
per esponente la somma degli esponenti.
Prodotto delle potenze
am
×
an
=
am+n
Somma
degli esponenti
Stessa base
(
a, m, n
N non nulli)
Alcuni esempi
• 34 × 32 = 34+2 = 36
• 35 × 32 × 3 = 35+2+1 = 38
• 20 × 23 = 20+3 = 23
• 24 × 23 × 2 = 34+3+1 = 28
Prova tu
Completa le seguenti uguaglianze:
• 35 × 34 = 3 ....+.... = 3 ....
• 3 × 35 = 3 ....+.... = 3 ....
• 33 × 33 = 3 ....+.... = 3 ....
= 35+4 = 39
= 31+5 = 36
= 33+3 = 36
Esercitati
• Completa la proprietà sotto riportata scegliendo tra i termini:
base, esponente, potenze, il prodotto, la somma, la differenza.
Il prodotto di due o più ...................... di ugual base è una potenze
potenza avente per base la stessa ...................... e per
base
la somma
esponente ...................... degli esponenti.
La stessa regola si può anche scrivere nel seguente modo:
am × an = a m+n
a .... × a .... = a ...........
( a, ......, ........
N non nulli)
m, n
• Completa ora le seguenti uguaglianze.
32 × 35 = 3.....+..... = ......
53 × 52 53 = 5.....+.....+...... = 5......
........4 × 25 = 2...... + ...... = ......
....... × 43 × 4 = 46
32 × 35 = 32+5 = 37
53 × 52 × 53 = 53+2+3 = 58
24 × 25 = 24+5= 29
42 × 43 × 4 = 46
Dividiamo le potenze
Consideriamo la seguente moltiplicazione:
22 × 23= 25
Utilizzando i grafi:
×23
22
25
23:
Ricaviamo la seguente divisione: 25 : 23 = 22
Possiamo allora scrivere: 25 : 23 = 25-3 = 22
Quoziente di potenze con uguale base
Il quoziente di due potenze di uguale base è
una potenza avente per base la stessa base e
per esponente la differenza degli esponenti.
Quoziente delle potenze
am
:
an
=
am−n
Differenza
degli esponenti
Stessa base
(
a, m, n
N; a
0 e m ≥ n)
Alcuni esempi
• 105 : 104 = 105-4 = 101 = 10
• 102 : 105 = 102-5 (impossibile in N)
• 74 × 73 : 72 = 74+3 : 72 = 77 : 72 = 77-2 = 75
• 75 : 7 × 74 = 75-1 × 74 = 74 × 74 = 74+4 = 78
Prova tu
Completa le seguenti uguaglianze.
• 75 : 72 = 7...
• 94 : 9 = ......
• 32 × 34 : 33 = .....
• 47: 44 × 4 = .......
= 73
= 94-1 = 93
= 32+4 : 33 = 36 : 33 = 36-3 = 33
= 47-4 × 4 = 43 × 4 = 43+1 = 44
Esercitati
• Completa la proprietà individuando la formulazione corretta.
Il quoziente di due potenze di ugual base è una potenza
avente per base la stessa base e per esponente:
 il quoziente degli esponenti
x  la differenza degli esponenti
 la somma degli esponenti
• Applica la proprietà alle seguenti uguaglianze.
185 : 183 = 185 ... 3 = 182
215 : 21...... = 21
65 : 63 = 6..... … ...... = ........
17...... : 173 = 172
513 : 510 = ........
456 : 4...... = 42
185 : 183 = 185-3 = 182
215 : 214 = 21
65 : 63 = 65-3= 62
175 : 173 = 172
513 : 510 = 513
456 : 454 = 42
Che potenza il 2!
Le unità di misura della memoria degli
apparecchi elettronici si esprimono
con le potenze di 2.
Il byte (B) è l’unità di base e le altre si
chiamano kilobyte (kB), megabyte
(MB) e gigabyte (GB).
Questa è la relazione che le lega:
1 kB = 210 B = 1024 B
1 MB = 220 B = 210+10 B = 210 × 210 B = 210 kB = 1024 kB
1 GB = 230B = 2110+20B = 210 × 220 B = 210 MB = 1024 MB
Lavoriamo con potenze aventi
base diversa
Consideriamo il prodotto e il quoziente di potenze con
lo stesso esponente ma con base diversa.
Osserviamo i seguenti due esempi:
• Prodotto
52 × 22 = 25 x 4 = 100
(5 × 2)2 = 102 = 100
quindi:
52 × 22 = (5 x 2)2
• Quoziente
62 : 22 = 36 : 4 = 9
(6 : 2)2 = 32 = 9
quindi:
62 : 22 = (6 : 2)2
Prodotto di potenze con uguale
esponente
Il prodotto di due potenze aventi uguale esponente è
una potenza avente per esponente lo stesso esponente
e per base il prodotto delle basi.
Prodotto delle potenze
an × bn = (a × b)n
Prodotto
delle basi
Stesso esponente
(
a, m, n
N; a
0 e m ≥ n)
Quoziente di potenze con uguale
esponente
Il quoziente di due potenze aventi uguale esponente è una
potenza avente per esponente lo stesso esponente
e per base il quoziente delle basi.
Quoziente delle potenze
an : bn = (a : b)n
Quoziente
delle basi
Stesso esponente
(
a, m, n
N; a
0 e m ≥ n)
Alcuni esempi
• 72 × 52 = (7 × 5)2 = 352 = 1225
• 23 × 33 × 43 = (2 × 3 × 4)3 = 243 = 13824
• Osserviamo che applicando le proprietà delle potenze
possiamo facilitare il calcolo rapido.
Infatti risulta più facile calcolare, per esempio:
153 : 53 = (15 : 5)3 = 33 = 27 anziché 3375 : 125
Prova tu
Risolvi le seguenti operazioni utilizzando le proprietà delle
potenze.
(20 : 4)3 = 53 = 125
• 203 : 43 = ..........
(5 × 3)3 = 153 = 3375
• 53 × 33 = ..........
(12 : 6)4 = 24 = 16
• 124 : 64 = ..........
(5 × 8)3 : 103 = 403 : 103 = (40 : 10)3 = 43 = 64
• 53 × 83 : 103 = ..........
Esercitati
• Completa la seguente scrittura.
(an × bn) = (........ × ........)n
(an : bn) = (........ : ........)n
Quali proprietà esprime? …….
(a × b)n
(a : b)n
Prodotto e quoziente di
potenze con uguale esponente
• Applicando le corrispondenti proprietà delle potenze,
completa le scritture.
222 x 22 = 442
2
2
2
22 × ....... = 44
(15 : 3)2 = 52
2
2
2
15 : 3 = (....... : ........) = ...........
(45 : 15)2 = 32
2
2
45 : 15 = ..............
(5 : 5)2 = 1
2
2
2
5 : 5 = (...... : ........) = ..........
302 : 52 = 62
............2 : 52 = 62
(15 x 2)2 = 302
152 × 22 = (........ × ........)2 = ..........
(45 x 2)2 = 902
452 × 22 = ..........
(3 x 4)3 = 123
33 × 43 = (......... ×..........)3 = ........