Liceo Scientifico “Filippo Silvestri”
Portici
Piano lauree scientifiche Matematica e Statistica 2013-2014
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Introduzione
Trasformazioni del piano
Natura
Musica
Arte
Lo studio della simmetria è un modo per accostarsi alla bellezza, una
misura di essa fondata su proporzionalità ed equilibrio.
Allo stesso modo costituisce un assunto fondamentale nello studio del
mondo che ci circonda, come accade nel caso della meccanica
quantistica.
Esistono infinite simmetrie e il loro studio costituisce un elemento
fondamentale nel variegato panorama della matematica
contemporanea.
Filo conduttore di questo nostro impegno progettuale è stato lo studio
della simmetria affrontato come chiave di lettura delle molteplici e
composite esperienze che ciascuno di noi, talvolta, senza nemmeno
averne certezza, affronta nella vita di tutti i giorni.
La matematica, infatti, come diceva Galileo Galilei, è ‘’l’alfabeto con cui
Dio ha scritto l’Universo’’ e poiché la curiosità è l’arte che unisce
l’uomo alla sua ricerca, la simmetria altro non può essere che
l’esperienza viva dell’armoniosa ricerca, della «grande bellezza» dentro
e fuori di noi.
Una trasformazione f del piano è una applicazione biunivoca del piano
euclideo E2 in sé, dove per biunivoca si intende che f associa punti
distinti a punti distinti ed è tale che ogni punto del piano è immagine
di un altro punto. In altre parole f ammette un’applicazione inversa.
Tra le trasformazioni più importanti troviamo le trasformazioni lineari
(affinità) caratterizzate algebricamente dalla proprietà che le funzioni
componenti sono funzioni lineari ovvero polinomi di grado minore o
uguale a uno, del tipo sotto indicato con la condizione che a1b2 - a2b1 sia
non nullo per garantire la biunivocità:
Un’isometria (o simmetria) del piano è una trasformazione h del piano
che conserva le distanze, cioè la distanza tra due punti qualsiasi A e B
coincide con la distanza dei loro trasformati h(A) e h(B). Un’isometria è
un’affinità, di conseguenza si rappresenta allo stesso modo con qualche
condizione aggiuntiva che traduce l’ulteriore proprietà imposta.
Tra le isometrie ricordiamo la traslazione, trasformazione t del piano
caratterizzata dalla proprietà che il segmento congiungente un punto e
la sua immagine ha lunghezza, direzione e verso fissati.
Tra le isometrie che presentano più applicazioni visibili nel mondo
reale vi sono:
Simmetria centrale
La simmetria centrale di centro O è una trasformazione che ad ogni
punto P del piano associa il punto P' tale che O è il punto medio del
segmento PP'.
Considerando la proprietà delle coordinate del punto medio, possiamo
dedurre che la rappresentazione di una simmetria di centro il punto di
coordinate (x0, y0) è:
Simmetria assiale
La simmetria assiale di asse una retta r è una trasformazione che ad
ogni punto P del piano associa il punto P' tale che il segmento PP' sia
perpendicolare all'asse r e il punto medio M di PP' appartenga ad r.
Per simmetria di una figura piana F intendiamo una isometria del
piano che trasforma F in F.
Dire che una figura F è più simmetrica di un’altra F’ vuol dire che le
simmetrie di F in sé sono di più delle simmetrie di F’ in sé. Ad esempio,
diremo che un quadrato è più simmetrico di un triangolo equilatero
perché le simmetrie del quadrato in sé sono otto, mentre quelle del
triangolo equilatero in sé sono sei. Più simmetrico di questi due è
l’esagono regolare che presenta dodici simmetrie.
Fiocchi di neve
I cristalli di neve hanno una forma molto
simmetrica. Sembrano tutti uguali ma in
realtà sono diversi per motivi di
aggregazione molecolare. Molti avranno
sentito dire che non esistono in natura due
fiocchi di neve identici, come non esistono
due persone uguali.
Ma è vero? Simbolo di unicità irripetibile
e singolarità, i fiocchi di neve sono
davvero unici, come lo sono tutti gli
esseri viventi, esseri umani compresi.
Siamo come i cristalli di ghiaccio che
formano i fiocchi di neve,
apparentemente uguali ma solo se visti
da lontano.
Alveare
Le api raccolgono il miele in celle tutte uguali, piccoli prismi a base
esagonale.
La scelta di questa figura simmetrica come base non è casuale e segue
dei criteri:
- Non lasciare spazi vuoti;
- Usare minima quantità di cera per ottenere la massima raccolta di
miele.
Usare celle con base un cerchio (la figura più simmetrica di tutte)
comporterebbe uno spreco di spazio.
Bisogna allora servirsi di poligoni regolari.
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Broccolo romanesco
Il broccolo romanesco ha una strana
conformazione fisica; invece è semplicemente
uno straordinario esempio di simmetria
frattale naturale. In geometria un 'frattale' è
un complesso modello, in cui ogni parte ha la
stessa 'forma’ del tutto, e ciò ripetuto
all'infinito.
Ingrandendo una sezione dell’oggetto, la
forma/modello geometrico è sempre la
stessa e si ripete all'infinito. In altre parole un
frattale si ripete nella sua forma allo stesso
modo su scale diverse. Nel broccolo
romanesco ogni singolo fiore ha lo stesso
'disegno' dell'intero broccolo, solo in formato
più piccolo. L'intero broccolo è una grande
spirale, composta a sua volta da tante mini
spirali della stessa forma della spirale
principale.
Da secoli, in musica, la simmetria è uno strumento molto usato dai
compositori. A volte ciò avviene su piccola scala, come quando in una fuga di
Bach un arpeggio viene ripetuto prima dal basso verso l’alto e subito nella
battuta successiva dall’alto verso il basso. Altre volte invece avviene su larga
scala, come nei cosiddetti “canoni cancrizzanti”, quando le stesse note sono
suonate in avanti e all’indietro allo stesso tempo.
Per esempio il primo canone dell’Offerta musicale di J.S.Bach è un canone di
questo tipo.
Brano tratto dall’Offerta musicale di J.S.Bach
La simmetria per traslazione genera un sottogruppo ciclico infinito. In musica
ciò è rappresentato dalla ripetizione di un qualche ritmo o melodia. Un celebre
esempio è l’inizio della mano destra della Sonata al chiaro di luna di Beethoven
Brano tratto dalla Sonata al chiaro di luna di Beethoven
Certamente, un brano musicale ha una lunghezza finita, quindi non si può
realmente parlare di simmetria per traslazione. Effettivamente, in musica, le
simmetrie approssimate sono molto più comuni delle simmetrie perfette.
La simmetria è una tecnica compositiva molto utilizzata nel campo
artistico. Può essere di diversi tipi:
- Simmetria assiale o di riflessione (una trasformazione della retta, del
piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a un punto,
una retta, o un piano, detti rispettivamente centro, asse o piano di
riflessione).
- Simmetria radiale (definita anche come variante del ritmo, consiste
nella ripetizione di figure lungo assi passanti per uno stesso punto e
simmetriche rispetto ad essi).
- Simmetria rotatoria o centrale (le forme hanno caratteristiche simili e
si sviluppano attorno ad un punto, il centro. È tipica dei formati
circolari e della architettura in generale (Borromini).
La simmetria permette di dare equilibrio e armonia all'opera in cui
viene utilizzata.
Simmetria assiale o di riflessione
Un esempio di questa trasformazione
geometrica è presente nel famoso
dipinto di Caravaggio “Narciso”, qui a
lato.
Il dipinto, situato nella galleria d’arte
antica nel palazzo Barberini a Roma,
ritrae la figura mitologica di Narciso
mentre si specchia nell’acqua. Questi,
osservando la sua bellezza, si innamora
perdutamente della sua immagine a tal
punto da volerla baciare; e proprio
quest’atto gli sarà fatale.
Caravaggio per rappresentare al meglio
l’effetto di riflessione adotta
la tecnica della simmetria assiale
dando vita a due figure perfettamente
uguali.
Simmetria radiale
Questa trasformazione è stata utilizzata particolarmente nell’arte araba
specialmente nei mosaici:
Il divieto di rappresentare figure sacre ha portato la cultura figurativa islamica ad
orientarsi verso i pattern geometrici con esempi in opus sectile dagli incredibili
intrecci che creano particolari illusione ottiche.
Il problema di ricoprire una superficie, ovvero il piano, con uno o più
moduli ripetuti in maniera periodica costituisce un affascinante campo di
ricerca per la matematica e per le arti grafiche.
Chi più di ogni altro ha cercato di
approfondire entrambi gli aspetti della
questione è senza dubbio il grafico
olandese Maurits Cornelis Escher
(1898 –1972). Consapevole dell'unicità
dell'Alhambra, si spinse due volte fino
alla Spagna - nel 1922 e nel 1936 - per
contemplare e studiare quella che lui
stesso non esitò a definire "la più ricca
fonte di ispirazione mai incontrata".
La religione islamica impedisce di
rappresentare animali o figure umane;
per questo motivo tutti i moduli
dell'Alhambra - così come in tutte le
altre tassellazioni prodotte da artisti
islamici - sono esclusivamente geometrici. Fin dal suo primo viaggio Escher
cercò di spingersi oltre questo limite, e la sua prima opera di questo tipo è
una tassellazione del piano con otto volti umani (Otto teste, 1922). Con gli
anni saranno proprio uomini e soprattutto animali a stimolare la sua fantasia,
e riuscirà a ricoprire il piano con conchiglie, stelle marine, granchi, pesci,
uccelli, cavalieri…
Simmetria rotatoria
Questa trasformazione è stata usata in architettura dal Borromini nella
cupola di Sant’Ivo alla Sapienza.
Sul piano tipologico Sant’Ivo è uno spazio a pianta centrale con tre assi
di simmetria ruotati di 120 gradi. L’impianto esagonale che ne deriva
presenta alternativamente all’occhio dello spettatore absidi semi
circolari e spazi più complessi formati da lati convergenti e da un
fondale convesso così che complessivamente il controllo planimetrico
assuma una forma stellare.
Allievi partecipanti
Barbato Luca
Borrelli Chiara
Caruso Veronica
Casale Dario
Cirenza Cristina
Cozzolino Monica
De Maria Pasquale
Di Paolo Alessandro
Fusco Francesco
Moio Camilla
Monopoli Rosa
Morale Raffaele
Morante Chiara
Negri Margherita
Ruggiero Francesca
Russo Gaetano
Russo Gelsomina
Solaro Raffaele
Varriale Francesco
Docenti:
Antonina Giampaglia
Si ringraziano i professori del laboratorio nelle persone della
prof.ssa Sara Dragotti
La dirigente scolastica prof.ssa Enrichetta Idato