Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria
Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…
Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2015-16
Il calcolo in fase elastica
delle sezioni composte
c.a.- c.a.p.
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Introduzione
I sistemi misti c.a-c.a.p sono elementi composti da travi prefabbricate in
cap a fili pretesi o cavi post-tesi e da elementi in c.a. ordinario (spesso
solette) gettati successivamente alla trave in c.a.p. resi collaboranti da
opportuni sistemi di connessione.
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Introduzione
Il principio di funzionamento di una trave composta è il seguente
ELEMENTI NON CONNESSI
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Introduzione
Il principio di funzionamento di una trave composta è il seguente
ELEMENTI CONNESSI
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Fasi costruttive
La realizzazione di una struttura composta passa in genere
attraverso le seguenti fasi costruttive:
•
•
•
•
Realizzazione della trave nello stabilimento di prefabbricazione
Posa in opera della trave (con o senza puntellamento)
Getto della soletta di completamento
Messa in servizio della struttura
Alle precedenti corrispondono altrettante verifiche alle quali il
progettista dovrà attenersi.
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Metodi Costruttivi
I metodi di costruzione di travi miste sono essenzialmente due:
• Metodo delle travi con puntellamento provvisorio
• Metodi delle travi senza puntellamento provvisorio
Nel primo caso, prima del getto della soletta, le travi sono
temporaneamente sostenute da una serie di puntelli, che vengono
rimossi non appena raggiunto il grado minimo di maturazione della
calcestruzzo.
Nel secondo caso, il peso della soletta graverà, all’atto del getto,
direttamente sulla trave senza l’ausilio di sostegni temporanei
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Metodi Costruttivi: travi non puntellate
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Metodi Costruttivi: travi puntellate
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Verifiche allo SLE
E’ in genere necessario considerare almeno le seguenti verifiche:
• Verifica della trave all’atto della precompressione
Fase I (verifica al tiro)
• Verifica della trave al getto della soletta
Fase II (verifica a vuoto)
• Verifica della struttura composta in esercizio sotto l’azione dei
carichi permanenti + variabili
Fase III (verifica in esercizio)
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Fasi di verifica
Travi non puntellate
MG
Travi puntellate
MG
Ms
Ms
Mp+q
Fase I
Fase II
Fase III
Mp+q
Fase I
Fase II
Fase III
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Verifiche allo SLE: Trave non puntellata
FASE AL TIRO
All’atto del tiro la struttura è costituita dalle sole travi
precompresse, esclusa quindi la soletta. Le relative tensioni al
lembo inferiore e superiore valgono quindi:
s =
I
tr,i
s =
I
tr,s
N 0 - DN p
Aid ,0
N 0 - DN p
Aid ,0
N
(
+
N
(
+
0
)
- DN p eI
Widi ,0
0
)
- DN p eI
s
id ,0
W
M GT
- i
Wid ,0
-
M GT
s
id ,0
W
MG
Ms
Mp+q
Fase I
Fase II
Fase III
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Verifiche allo SLE: Trave non puntellata
FASE A VUOTO
Nell’ipotesi che le cadute di tensione vengano scontate prima della realizzazione
della soletta, all’atto del getto della soletta le tensioni diventano le seguenti:
s =
II
tr,i
s =
II
tr,s
N 0 - DN p - DN c
Aid ,0
N 0 - DN p - DN c
Aid ,0
N
(
+
N
(
+
0
Widi ,0
0
)
-
)
-
- DN p - DN c eI
- DN p - DN c eI
Wids ,0
M GT + M GS
Widi ,0
M GT + M GS
Wids ,0
MG
Ms
Mp+q
Fase I
Fase II
dove la sezione da verificare è sempre quella della trave in precompresso
mentre ora si aggiunge il momento flettente dovuto al peso della soletta MGS,
non ancora reagente.
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Fase III
Verifiche allo SLE: Trave non puntellata
FASE IN ESERCIZIO
Alla fase precedente si aggiunge la fase di esercizio nella quale il
momento dovuto ai sovraccarichi accidentali ed eventuali
sovraccarichi permanenti Mp+p modifica lo stato tensionale della
trave:
Riferita alla sezione composta
s
III
tr,i
s
III
tr,s
=
=
N 0 - DN p - DN c
Aid ,0
N 0 - DN p - DN c
Aid ,0
N
(
+
N
(
+
0
)
- DN p - DN c eI
Widi ,0
0
)
- DN p - DN c eI
Wids ,0
-
M GT + M GS M q
- i
i
Wid ,0
Wid ,e
M GT + M GS
Wids ,0
-
Mq
Wids ,e
MG
Ms
Riferita alla sezione in cap
Mp+q
Fase I
Fase II
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Fase III
Verifiche allo SLE: Trave non puntellata
FASE IN ESERCIZIO
Alla fase precedente si aggiunge la fase di esercizio nella quale il
momento dovuto ai sovraccarichi accidentali ed eventuali
sovraccarichi permanenti Mp+p modifica lo stato tensionale della
trave:
Riferita alla sezione composta
s
III
tr,i
s
III
tr,s
=
=
N 0 - DN p - DN c
Aid ,0
N 0 - DN p - DN c
Aid ,0
N
(
+
N
(
+
0
)
- DN p - DN c eI
Widi ,0
0
)
- DN p - DN c eI
Wids ,0
-
M GT + M GS M q
- i
i
Wid ,0
Wid ,e
M GT + M GS
Wids ,0
-
scs
Mq
Wids ,e
Riferita alla sezione in cap
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s ci
Verifiche allo SLE: Trave non puntellata
FASE IN ESERCIZIO
Nella fase III lo stato tensionale nella soletta è ovviamente
influenzato soltanto dal momento dovuto ai sovraccarichi variabili.
Sicché le tensioni al lembo inferiore e superiore della stessa
varranno:
s
III
si
s
III
ss
==-
Mq
scs
i
Wids,e
Mq
s
Wids,e
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s ci
Verifiche allo SLE: Trave non puntellata
FASE IN ESERCIZIO
La figura seguente illustra lo stato tensionale nelle varie fasi di
verifica, ognuna delle quali è ulteriormente suddivisa in diagrammi
rappresentanti gli effetti dei singoli carichi (carichi esterni e
precompressione
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Verifiche allo SLE: Trave puntellata
Nel caso di travi puntellate la Fase II si sviluppa con la soletta già
collaborante, poiché i puntelli vengono rimossi solo dopo che essa
ha raggiunto il giusto grado di maturazione. Conseguentemente, lo
stato nelle diverse varie fasi costruttive
oS
ole
tta
Pes
Pes
rio
rop
e
n
nsio
i Te
e
on
pe
so
p
d
ute
ssi
pre
FASE I
oS
ole
tta
Cad
com
pre
precompressione
FASE II
FASE III
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Calcolo del sistema di connessione trave-soletta
L’aderenza tra le due parti non è in genere sufficiente a garantire l’assenza
di scorrimenti relativi tra le due parti, per cui si aggiunge in genere un
sistema di collegamento realizzato con idonea staffatura che dovrà
sopportare sollecitazioni di taglio.
connettore
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Calcolo del sistema di connessione trave-soletta
L’aderenza tra le due parti non è in genere sufficiente a garantire l’assenza
di scorrimenti relativi tra le due parti, per cui si aggiunge in genere un
sistema di collegamento realizzato con idonea staffatura che dovrà
sopportare sollecitazioni di taglio.
Detto T il taglio ed s il passo delle staffe, la singola staffa dovrà sopportare
la seguente forza di scorrimento per unità di lunghezza:
TS *
Fs =
J id
T=(T1+T2)/2
dove S* è il momento statico della soletta rispetto all’asse neutro
della sezione composta, Jid è il momento d’inerzia della sezione
composta.
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Calcolo del sistema di connessione trave-soletta
La resistenza del collegamento può essere calcolata adottando
l’approccio indicato nell’Eurocodice 2 al punto 6.2.5, che definisce
la resistenza a taglio per unità di superficie, dovuta al contatto tra
trave e soletta e al sistema di connessione (staffe), come segue:
vRD = c f ctd + ms n + r f yd (m sin a + cosa )
• c e  dipendono da quanto liscia è la superficie di contatto. Nel
caso di superficie molto liscia, liscia e ruvida essi valgono
rispettivamente, c=0.025 =0.5, c=0.35 =0.6, c=0.45 =0.7
• n è la tensione normale eventualmente presente sulla
superficie di contatto
•  è l’angolo di inclinazione dei connettori
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Calcolo del sistema di connessione trave-soletta
La resistenza del collegamento può essere calcolata adottando
l’approccio indicato nell’Eurocodice 2 al punto 6.2.5, che definisce
la resistenza a taglio per unità di superficie, dovuta al contatto tra
trave e soletta e al sistema di connessione (staffe), come segue:
vRD = c f ctd + ms n + r f yd (m sin a + cosa )
• c e  dipendono da quanto liscia è la superficie di contatto. Nel
caso di superficie molto liscia, liscia e ruvida essi valgono
rispettivamente, c=0.025 =0.5, c=0.35 =0.6, c=0.45 =0.7
• n è la tensione normale eventualmente presente sulla
superficie di contatto
•  è l’angolo di inclinazione dei connettori
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Influenza del ritiro
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Influenza del ritiro
Lo stato di coazione generato dall’accorciamento impedito della
soletta, genera a sua volta una forza di trazione Fr=r EC b0s.
La trave composta risulta così soggetta a compressione eccentrica.
Sulla soletta di calcestruzzo l’effetto della trazione e della
compressione eccentrica si sommano.
Le variazioni dello stato tensionale ai lembi superiore e inferiore
della soletta sono esprimibili pertanto come segue:
Ds r,cs =
Fr
Fe
F
+ r ycs - r
Aid n J id n
b0 s
Fr
Fr e
Fr
Ds r,ci =
+
yss Aid n nJ id
b0 s
Soletta
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Influenza del ritiro
Lo stato di coazione generato dall’accorciamento impedito della
soletta, genera a sua volta una forza di trazione Fr=r EC b0s.
La trave composta risulta così soggetta a compressione eccentrica.
Sulla soletta di calcestruzzo l’effetto della trazione e della
compressione eccentrica si sommano.
Le variazioni dello stato tensionale ai lembi superiore e inferiore
della soletta sono esprimibili pertanto come segue:
Fr Fr e
Ds r,ss =
+
yss
Aid J id
Fr Fr e
Ds r,si =
+
ysi
Aid J id
Trave
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Esempio
Esempio 5.12: Si consideri la trave semplicemente appoggiata di figura, la cui sezione è
mista c.a.p.-c.a. realizzata con un’unica classe di calcestruzzo. Quest’ultima è costituita da
una costola rettangolare precompressa a fili pretesi e una soletta di completamento di
cemento armato ordinario. Con riferimento ai dati geometrici e meccanici forniti nella
tabella seguente si calcoli lo stato tensionale nell’ipotesi 1) assenza di puntelli 2) uniforme
puntellamento. Per il calcolo delle caratteristiche geometriche si faccia riferimento alla
sezione di solo calcestruzzo.
x
btr
d'
htr
so
bo
y
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Esempio
Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi:
• Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione
• Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento
Fase I e II (solo trave)
Area:
Posizione baricentro:
Momento d’inerzia:
Moduli di resistenza
Eccentricità del cavo:
Aid,0 = btr ´ htr = 2550 cm
yGi = 42.5 cm (dal lembo superiore)
I0 = 1/12 btr htr3 = 1535313 cm4
Wiid,0 = -Wsid,0 =36125 cm3
eI=24.5 cm
btr
2
yGI
htr
eI
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Esempio
Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi:
• Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione
• Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento
Fase III (sezione composta)
Area:
Aid,0 = btr ´ htr + b0 ´ s0= 4050 cm
Posizione baricentro:
yGe = 38.98 cm (dal lembo superiore)
b0
2
Momento d’inerzia:
3
3
2
2
6
4
Ie = 1/12 b0 h0 +1/12 btr htr +s0 b0 (yGe-s0/2) + btrbtr (s0-yGe+htr/2) =3.92´10 cm
s0
yGe
htr
Modulo di resistenza inf. trave
Modulo di resistenza sup. trave
Modulo di resistenza inf. soletta
Modulo di resistenza sup. soletta
i
3
W id,e = 64315 cm
Wsid,e = -163657 cm3
Wiids,e = -163657 cm3
s
3
W ids,e = -100700 cm
btr
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Esempio
Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi:
• Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione
• Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento
Trave non puntellata
d'
x
y
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17.17 MPa
Esempio
Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi:
• Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione
• Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento
Trave non puntellata
4.84MPa
d'
x
y
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9.67 MPa
Esempio
Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi:
• Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione
• Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento
Trave non puntellata
6.28 MPa
8.69 MPa
d'
x
3.86 MPa
y
Trave
Soletta
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-0.15 MPa
Esempio
Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi:
• Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione
• Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento
Trave puntellata
x
d'
Verifica al tiro (fase I)
Questa fase è identica al caso di
trave non puntellata. La trave è
messa in opera e subisce la
precompressione e il suo peso
proprio. Dopo di che vengono
posizionati i puntelli e gettata la
soletta.
y
17.17 MPa
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Esempio
Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi:
• Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione
• Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento
Trave puntellata
Trave
Soletta
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Esempio
Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi:
• Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione
• Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento
Trave puntellata
Trave
Soletta
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Esempio
Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi:
• Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione
• Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento
Osservazione: l’esercizio presentato ha messo in
evidenza che dal punto di vista tensionale il
puntellamento agisce favorevolmente
contribuendo a diminuire la tensione massima al
lembo inferiore, portandola, nel caso in esame, da
trazione a compressione. Di contro sussiste un
aumento di tensione al lembo superiore della
soletta dovuta ad un aumento rispetto al caso non
puntellato del momento flettente. Ciò è dovuto al
fatto che nel caso puntellato e in fase II la soletta è
già collaborante.
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Esempio
Calcolo sistema di connessione
La trave è soggetta in esercizio ad un taglio massimo T pari a 235 kN. Il
6
4
momento d’inerzia Jid nella fase di esercizio vale Jid=3.92 ´ 10 cm . Poiché per
il dimensionamento dell’armatura di collegamento è necessario valutare lo
scorrimento all’attacco trave-soletta occorre valutare il momento statico rispetto
ad esso, pari a:
yGe
S =15 ´ 100 ´ (38.95 –7.5) = 47250 cm
La forza di scorrimento massima per unità di lunghezza vale quindi:
*
3
Fs = 235 ´ 47250 / 3.92 10 = 2.83 kN/cm = 283 kN/m
6
Adottando staffe a 2 bracci f 8/20, la forza di scorrimento sulla singola staffa
varrà, nell’ipotesi di scorrimento costante:
20 cm
Fs1 = 283 x 0.2 = 56.6 kN
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Esempio
Calcolo sistema di connessione
20
30
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Esempio
Calcolo effetti del ritiro
Si valutino gli effetti del ritiro della soletta sullo stato tensionale della trave dell’esercizio
precedente considerando un ambiente con umidità relativa del 60% e un calcestruzzo per
la realizzazione della soletta di classe C28/35.
Dalla tabella 6.4 si ricava che la deformazione da ritiro per essiccamento è pari a
0.38°/°° mentre il parametro kH desumibile dalla tabella 6.5 vale 1.0 essendo h0<
100. La deformazione da ritiro soletta vale dunque 0.038%. La forza nella soletta
dovuta al ritiro risulta:
Fs = 0.038/100 ´ 3259 100 ´ 15 = 1857 kN
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Esempio
Calcolo effetti del ritiro
0.029 MPa
12.56 MPa
d'
x
9.36 MPa
y
7.63 MPa
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