POSTULATO DEL
TRASPORTO DEGLI ANGOLI
• DATA IN UN PIANO UNA SEMIRETTA,
ESISTE UN ANGOLO E UNO SOLO
CONGRUENTE A UN ANGOLO DATO, CHE
ABBIA UNO DEI LATI COINCIDENTI CON
LA SEMIRETTA, IL VERTICE
NELL’ORIGINE DELLA SEMIRETTA E CHE
GIACCIA DA UNA PARTE PREFISSATA
RISPETTO AD ESSA.
b
O
a
c
POSTULATO DEL
TRASPORTO DEI SEGMENTI
• DATI UNA SEMIRETTA DI ORIGINE O E UN
SEGMENTO, ESISTE SULLA SEMIRETTA UN
SEGMENTO E UNO SOLO DI ORIGINE O E
CONGRUENTE AL SEGMENTO DATO.
A
CA
B
DB
AB  CD
GEOMETRIA
PREPARAZIONE ALLA VERIFICA
NOTIZIE STORICHE
• LA PAROLA GEOMETRIA DERIVA DAL
GRECO E SIGNIFICA “MISURA DELLA
TERRA”
• FURONO TALETE DI MILETO E
PITAGORA DI SAMO AD INTRODURRE IN
GRECIA LE CONOSCENZE GEOMETRICHE
DI EGIZIANI E BABILONESI.
• MA FU EUCLIDE (3° SEC. A.C.), CON LA
SUA OPERA ELEMENTI, A COSTITUIRE IL
PUNTO DI PARTENZA PER
L’INSEGNAMENTO ELEMENTARE DELLA
GEOMETRIA, CHE ANCORA OGGI VIENE
CHIAMATA “GEOMETRIA EUCLIDEA”.
• LA GEOMETRIA DIVENTA UNA SCIENZA.
CONCETTI ED ENTI
PRIMITIVI
• NON SI POSSONO DEFINIRE CON IDEE PIU’
ELEMENTARI E SONO ESPRESSI DA
PAROLE IL CUI SIGNIFICATO E’ NOTO A
TUTTI. NON ABBIAMO BISOGNO DI
DEFINIRLI
• SONO CONCETTI PRIMITIVI:
1. MOVIMENTO RIGIDO, 2. APPARTENENZA
• SONO ENTI PRIMITIVI:
1. PUNTO, 2. RETTA, 3. PIANO, 4. SPAZIO
• PUNTO: lo indico con la letterea maiuscola.
.A
.B
.C
.D
• RETTA: è un insieme di punti ed è ottenuta
utilizzando il righello. La indico con lettere
minuscole.
r
• PIANO: è come un foglio di carta, ma con
lunghezza e larghezza indefinite. Lo indico con ,
,  .
• SPAZIO:è tutto ciò che ci circonda
DEFINIZIONI
• tutti i termini che vengono usati acquistano
un ben preciso significato.
• serviranno per esprimere alcuni concetti,
ricorrendo ad altri concetti o enti
precedentemente definiti.
POSTULATI O ASSIOMI
• sono affermazioni che esprimono delle
proprieta’ evidenti, suggerite dalla nostra
intuizione e dalla nostra esperienza.
• per esempio: per due punti passa una ed
una sola retta.
RAGIONAMENTO
• E’ l’elaborazione, fatta dal pensiero, dei dati
forniti dall’intuizione e dall’esperienza.
TEOREMI
• Lo spazio ha delle proprieta’ che sono meno
evidenti e che per essere accettate devono essere
dimostrate.
• Le considerazioni logiche che si devono fare,
partendo dai concetti primitivi e postulati
introdotti, per arrivare al teorema proposto, sono
le dimostrazioni del teorema.
COROLLARI
• Sono le proposizioni che sono conseguenza
immediata di un teorema.
APPLICAZIONI DELLA
LOGICA ALLA GEOMETRIA
•
Si utilizzano in geometria i seguenti principi
fondamentali della logica:
1. PRINCIPIO D’IDENTITA’: Ogni ente e’
identico a se stesso;
2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE:
Una proposizione non puo’ essere
contemporaneamente vera e falsa;
3. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO:
Una proposizione o e’ vera o e’ falsa;
4. PROPRIETA’ TRANSITIVA
DELL’IMPLICAZIONE: Se una
proposizione ne implica una seconda e
questa a sua volta ne implica una terza,
allora anche la prima implica la terza.
Es. (P1P2)  (P2P3) (P1  P3)
TEOREMI
• Si puo’ definire come una implicazione logica tra
due predicati detti ipotesi (i) e
tesi (t), che deve essere verificata.
I  T
L’ENUNCIATO Esprime il contenuto
dell’implicazione logica da verificare e puo’
essere vero o falso.
L’IPOTESI Esprime quello che si suppone essere
vero.
LA TESI Esprime quello che si deve
verificare;
LA DIMOSTRAZIONE E’ il processo
deduttivo che porta ad affermare la verita’
della tesi tutte le volte che si verifica
l’ipotesi.
DIMOSTRAZIONE DIRETTA
• Il ragionamento che dalla verita’ dell’ipotesi
conduce alla verita’ della tesi e’ la
dimostrazione e tiene conto dei postulati,
dei teoremi precedenti, e della proprieta’
transitiva dell’implicazione logica.
• QUANDO UN TEOREMA SI SIMOSTRA
SECONDO QUESTO PROCEDIMENTO
SI DICE CHE SI E’ FATTA UNA
DIMOSTRAZIONE DIRETTA.
• Es. un numero naturale divisibile per 6 e’
divisibile anche per 3.
I T
• I: n è divisibile per 6
n N
• T: n è divisibile per 3
• N divisibile per 6  n divisibile per 3
DIMOSTRAZIONE DIRETTA
DI UN TEOREMA
• IPOTESI
vera
• RAGIONAMENTI LOGICI
• TESI
vera
TEOREMI DERIVATI
• Data l’implicazione I T, che supponiamo vera e
che chiamiamo TEOREMA DIRETTO:
• TEOREMA RECIPROCO O INVERSO (non è
sempre vero)
T I
• TEOREMA CONTRARIO
T negato I
• TEOREMA CONTRONOMINALE
T negato I negato
• Se I T e T I sono entrambi vere, allora
IT si equivalgono.
Se il teorema diretto è vero ed è vero anche il
reciproco, allora Ipotesi e Tesi si
equivalgono.
DIMOSTRAZIONE PER
ASSURDO DI UN TEOREMA
(METODO INDIRETTO)
•
Vogliamo dimostrare l’implicazione I  T
1. Supponiamo vera l’ipotesi I
2. Supponiamo vera la negazione della tesi (si nega la
tesi) T negato
3. Dimostro per via diretta che T negato  I negato
sono vere. Ma avrei II negato vere entrambi: ciò
non è possibile, è un ASSURDO.
4. Risultano vere I e I negato: dalla verità
di T negato segue la verità di I negato,
quindi
I
non
può
essere
contemporanenamente vera e falsa.
5. E’ sbagliato aver supposto T negato vera,
quindi T è vera.
6. T vera: il teorema è domostrato.
DIMOSTRAZIONE PER
ASSURDO DI UN TEOREMA
• IPOTESI
IT
vera
• NEGAZIONE DELLA TESI T negato
vera
• RAGIONAMENTI LOGICI
T negato  I negato =
II negato
ASSURDO
(per il principio di non
contraddizione)
• NEGAZIONE
T negato
falsa
• TESI
T
vera
TEOREMI DERIVATI
•
DATO IL TEOREMA VERIFICATO I  T
DETTO TEOREMA DIRETTO, SI
POSSONO RICAVARE ALTRE TRE
IMPLICAZIONI:
1. TEOREMA RECIPROCO O INVERSO:
T  I;
2. TEOREMA CONTRONOMINALE:
non T  I;
3. TEOREMA CONTRARIO:
non I  non T
TEOREMA RECIPROCO O
INVERSO
•
IL TEOREMA RECIPROCO NON E’
SEMPRE VERO.
Es.
1. se x è un angolo ottuso, allora è maggiore della
metà di un angolo retto; (non è vero)
2. Se x è un angolo maggiore di un angolo retto
allora il doppio di x è maggiore di un angolo
piatto. (vero)
COIMPLICAZIONE LOGICA
• QUANDO UN TEOREMA
I T
È VERO ANCHE L’INVERSO, T  I ,
SI HA LA COIMPLICAZIONE
LOGICA
IT
E I DUE PREDICATI (I) E (T) SI
DICONO EQUIVALENTI.
TEOREMA
CONTRONOMINALE
• E’ SEMPRE VERO, QUINDI E’ VERO
ANCHE IL TEOREMA DIRETTO.
• LA PRIMA LEGGE DELLE INVERSE:
SE UN TEOREMA E’ VERO, ALLORA E’
VERO ANCHE IL SUO
CONTRONOMINALE E VICEVERSA.
TEOREMA CONTRARIO
• NON E’ SEMPRE VERO.
DATO IL TEOREMA CONTRARIO
I T
L’IMPLICAZIONE
non I  non T,
E’ VERA SOLO SE, E SOLO SE, E’ VERO IL
TEOREMA I  T , CIOE’ IL TEOREMA
INVERSO DEL TEOREMA DATO.
SECONDA LEGGE DELLE
INVERSE
• SE SONO VERI I TEOREMI:
I T , I1 T1 ,I2 T2 , In Tn …
SE LE TESI SI ESCLUDONO A VICENDA,
ALLORA SONO VALIDI I RECIPROCI
TEOREMI:
T  I , T1  I1 , T2  I2 , Tn  In …
NOZIONI
FONDAMENTALI DI
GEOMETRIA
RAZIONALE
CONCETTI PRIMITIVI
• SONO QUELLI DEI QUALI NON SI DA
ALCUNA DEFINIZIONE
• ESSI SONO: PUNTO, RETTA, PIANO E
SPAZIO.
FIGURA
• SI DEFINISCE FIGURA UN INSIEME,
NON VUOTO, DI PUNTI.
• ANCHE UN SINGOLO PUNTO
COSTIUTUISCE UNA FIGURA
GEOMETRICA.
LO SPAZIO
• E’ L’INSIEME DI TUTTI I POSSIBILI
PUNTI E SI PUO’ CONSIDERARE
COME LA FIGURA CHE CONTIENE
TUTTI I PUNTI E QUINDI TUTTE LE
FIGURE.
LA LINEA
• E’ UN INSIEME DI PUNTI
LA RETTA
• È UNA LINEA TRACCIATA CON LA
RIGA E PROLUNGATA
INDEFINITAMENTE COL PENSIERO
DA UNA PARTE E DALL’ALTRA.
LA SUPERFICIE
• SI PUO’ CONSIDERARE COME
GENERATA DA UNA LINEA CHE SI
MUOVE, MA PRIVA DI SPESSORE.
SUPERFICIE PIANA
• SI PUO’ IMMAGINARE COME UN
FOGLIO ESTESO INDEFINITAMENTE
IN TUTTE LE DIREZIONI.
POSTULATI
FONDAMENTALI
•
SONO PROPOSIZIONI CHE ESPRIMONO
PROPRIETA’ DEGLI ENTI GEOMETRICI CHE
SI CHIEDONO DI ACCETTARE PER VERE
SENZA DIMOSTRAZIONE (verità evidenti).
• I PRIMI POSTULATI SONO.
1. LO SPAZIO CONTIENE INFINITI PUNTI,
INFINITE RETTE E INFINITI PIANI,
2. UN PIANO CONTIENE INFINITI PUNTI E
INFINITE RETTE,
3. UNA RETTA CONTIENE INFINITI PUNTI.
POSTULATI DI
APPARTENENZA
• DUE PUNTI DISTINTI APPARTENGONO A
UNA E A UNA SOLA RETTA.
• PER DUE PUNTI DISTINTI PASSA UNA E
UNA SOLA RETTA.
Ar, Br, Cr
C
A
B
r
• SE TRE O PIU’ PUNTI
APPARTENGONO A UNA STESSA
RETTA SI DICE CHE ESSI SONO
ALLINEATI.
A
B
C
r
• TRE PUNTI NON ALLINEATI
APPARTENGONO A UNO E A UN SOLO
PIANO.
• PER TRE PUNTI NON ALLINEATI PASSA
UNO E UN SOLO PIANO.
• TRE PUNTI NON ALLINEATI INDIVIDUANO
UN PIANO E UNO SOLO.
B
A
r
C

• SE DUE PUNTI DI UNA RETTA
APPARTENGONO AD UN PIANO, ALLORA
LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL
PIANO.
A, B , C , Ar, B r, r 
B
A
r
C

IL POSTULATO D’ORDINE
• SI PUO’ STABILIRE UNA RELAZIONE
D’ORDINE TRA I PUNTI DI UNA RETTA,
OSSIA SI POSSONO ORDINARE I PUNTI DI
UNA RETTA IN MODO CHE:
dati due punti distinti A e B della retta, o A
precede B oppure B precede A; se A precede B e
B precede C, allora A precede C (proprietà
transitiva). Quando su una retta è fissato un verso
si parla di RETTA ORIENTATA.
A
B
C
PROPRIETA’
• PROPRIETA’ RIFLESSIVA
A=A
• PROPRIETA’ SIMMETRICA
A=B allora B=A
• PROPRIETA’ TRANSITIVA
Se A=B e B=C allora A=C
PROPRIETA’ DELLA RETTA
• La RETTA è ILLIMITATA, non esiste ne’
un primo, ne’ un ultimo punto
B
A
DEFINIZIONE DI SEMIRETTA
• DATA UNA RETTA ORIENTATA r E
UN SUO PUNTO QUALSIASI O , SI
CHIAMA SEMIRETTA DI ORIGINE O
L’INSIEME COSTITUITO DAL PUNTO
O STESSO E DAI PUNTI DI r CHE
PRECEDONO O SEGUONO O NEL
VERSO FISSATO.
semiretta
O
semiretta
• IL PUNTO O  r E DETERMINA DUE
SEMIRETTE, INOLTRE E’ ORIGINE DI
CIASCUNA DI ESSE.
• LE DUE SEMIRETTE SONO TRA LORO
OPPOSTE (HANNO LA STESSA ORIGINE,
MA DIREZIONI DIVERSE).
• LE DUE SEMIRETTE SONO L’UNA IL
PROLUNGAMENTO DELL’ALTRA.
• I PUNTI DI UNA SEMIRETTA DIVERSI
DALL’ORIGINE SI DICONO INTERNI,
QUELLI CHE NON LE APPARTENGONO SI
DICONO ESTERNI.
DEFINIZIONE DI SEGMENTO
• SI DEFINISCE SEGMENTO DI
ESTREMI A E B L’INSIEME
COSTITUITO DAI PUNTI A E B E DA
TUTTI I PUNTI DELLA RETTA AB
COMPRESI TRA A E B.
A
B
• IL SEGMENTO DI ESTREMI A E B SI
INDICA CON AB;
• I SUOI PUNTI, DIVERSI DAGLI
ESTREMI, SI DICONO PUNTI INTERNI,
MENTRE I PUNTI CHE NON
APPARTENGONO AL SEGMENTO SI
DICONO ESTERNI.
• SE A E B COINCIDONO (A B) IL
SEGMENTO E’ NULLO.
• PER DISTANZA TRA A E B SI INTENDE IL
SEGMENTO DI ESTREMI A E B.
• QUANDO UN SEGMENTO AB E’ SU UNA
RETTA ORIENTATA, ANCHE I PUNTI DEL
SEGMENTO AB RISULTANO ORDINATI. SI
PARLA
ALLORA
DI
SEGMENTO
ORIENTATO.
• SE IL PUNTO A PRECEDE B, IL SEGMENTO
SI INDICA CON AB.
• IL PUNTO A E’ DETTO ORIGINE, MENTRE
B E’ DETTO ESTREMO.
A
B
• DUE SEGMENTI AVENTI IN COMUNE
SOLAMENTE UN ESTREMO SI DICONO
CONSECUTIVI
A
B
C
• DUE SEGMENTI CONSECUTIVI (AB E BC)
SITUATI SULLA MEDESIMA RETTA SI
DICONO ADIACENTI
A
B
C
IL SEGMENTO AC, DI CUI B RISULTA
PUNTO INTERNO, SI DICE SOMMA DEI
DUE SEGMENTI DATI E SI SCRIVE AB+BC =
AC
• LA FIGURA FORMATA DA PIU’
SEGMENTI CONSECUTIVI SI CHIAMA
POLIGONALE O SPEZZATA
APERTA.
• I SEGMENTI SI DICONO LATI DELLA
SPEZZATA E I LORO ESTREMI
VERTICI.
• SE A UNA SPEZZATA APERTA SI
AGGIUNGE IL SEGMENTO CHE NE
CONGIUNGE GLI ESTREMI, SI
OTTIENE UNA POLIGONALE O
SPEZZATA CHIUSA.
• SE DUE SEGMENTI NON
CONSECUTIVI DI UNA POLIGONALE
APERTA O CHIUSA HANNO UN
PUNTO IN COMUNE (P PUNTO DI
INTERSEZIONE), LA POLIGONALE SI
DICE INTRECCIATA.
P
POSTULATO DI PARTIZIONE
DI UN PIANO
•
UNA RETTA r DI UN PIANO DIVIDE IL
PIANO IN DUE PARTI (NON VUOTE) IN
MODO CHE:
1. SE I PUNTI A E B APPARTENGONO ALLA
STESSA PARTE, ALLORA IL SEGMENTO
AB E’ CONTENUTO IN QUESTA PARTE;
B
A
r
2. SE I PUNTI C E D APPARTENGONO A
PARTI DIVERSE, ALLORA IL SEGMENTO
CD HA IN COMUNE CON r UN PUNTO
DETTO PUNTO DI INTERSEZIONE TRA
RETTA PASSANTE PER C E PER D E LA
RETTA r.
C
r
D
DEFINIZIONE DI SEMIPIANO
• SI CHIAMA SEMIPIANO AVENTE PER
ORIGINE LA RETTA r, LA FIGURA
COSTITUITA DALLA RETTA r E DA
CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI TALE
RETTA DIVIDE IL PIANO.

r

• I DUE SEMIPIANI DIVERSI AVENTI LA
STESSA ORIGINE SI DICONO OPPOSTI.
• I PUNTI INTERNI A UN SEMIPIANO SONO
QUELLI CHE APPARTENGONO AL
SEMIPIANO, MA NON ALLA SUA ORIGINE.
• PER ANDARE DA UN SEMIPIANO AL SUO
OPPOSTO SI INTERSECA SEMPRE LA RETTA
DI ORGINE r, CHE NON E’ AGGIRABILE.
• SI SUOL DIRE CHE LA RETTA E’
ILLIMITATA.
• COME CONSEGUENZA DEL POSTULATO DI
PARTIZIONE DEL PIANO SI PUO’ DIRE CHE:
TRA DUE PUNTI QUALSIASI DI UNA RETTA VI
SONO INFINITI PUNTI, LA RETTA E’ DENSA.
CONTINUITA’ DELLA RETTA
• LA RETTA E’ UNA LINEA CONTINUA.
P
r
TOGLIENDO IL PUNTO P DALLA RETTA r
NON AVREMO PIU’ UNA LINEA CONTINUA.
r
POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE
FASCIO DI RETTE
• L’INSIEME DI TUTTE LE RETTE DI UN
PIANO CHE PASSANO PER UNO STESSO
PUNTO E’ DETTO FASCIO PROPRIO DI
RETTE, IL PUNTO E’ DETTO CENTRO DEL
FASCIO.
DUE RETTE DISTINTE O NON HANNO PUNTI
IN COMUNE O NE HANNO UNO SOLTANTO.
• SE DUE RETTE HANNO UN SOLO
PUNTO IN COMUNE ESSE SI DICONO
INCIDENTI.
r
s
• DUE RETTE DISTINTE DI UNO STESSO
PIANO (COMPLANARI) SI DICONO
PARALLELE SE NON HANNO ALCUN
PUNTO IN COMUNE.
r
s

• DUE RETTE NON COMPLANARI CHE NON
HANNO ALCUN PUNTO IN COMUNE SI
DICONO SGHEMBE.
r
s

• PERTANTO DUE RETTE COMPLANARI
DISTINTE O SONO INCIDENTI O SONO
PARALLELE.
POSTULATO DI EUCLIDE
• PER UN PUNTO ESTERNO AD UNA
RETTA PASSA UNA ED UNA SOLA
RETTA PARALLELA ALLA RETTA
DATA.
P
r
• IN UN PIANO, L’INSIEME DELLE
RETTE PARALLELE A UNA RETTA
DATA PRENDE IL NOME DI FASCIO
DI RETTE PARALLELE O FASCIO
IMPROPRIO.
• LA PROPRIETA’ COMUNE A TUTTE LE
RETTE DI UN FASCIO IMPROPRIO E’
QUELLA DI AVERE TUTTE LA
STESSA DIREZIONE.
FIGURA PIANA
• SI DICE PIANA LA FIGURA SE TUTTI I
SUOI PUNTI APPARTENGONO ALLO
STESSO PIANO.
• IN CASO CONTRARIO SI DICE
SOLIDA.
FIGURE CONVESSE E
CONCAVE
• UNA FIGURA I CUI PUNTI
APPARTENGONO TUTTI A UNO
STESSO PIANO SI DICE FIGURA
PIANA, IN CASO CONTRARIO LA
FIGURA E’ UNA FIGURA SOLIDA.
• UNA FIGURA SI DICE CONVESSA SE,
CONSIDERATI DUE SUOI PUNTI
QUALSIASI, IL SEGMENTO CHE LI
CONGIUNGE E’ INTERAMENTE
CONTENUTO NELLA FIGURA.
A
B
• SE ESISTE ANCHE UNA SOLA COPPIA DI
PUNTI PER CUI TALE PROPRIETA’ NON SI
VERIFICA, LA FIGURA E’ DETTA
CONCAVA.
A
B
• I SEMIPIANI SONO FIGURE
CONVESSE.
• PIANI, RETTE, SEMIRETTE E
SEGMENTI SONO FIGURE CONVESSE.
LINEE CURVE
• UNA LINEA CHE NON SIA UNA LINEA
RETTA SI DICE CURVA.
• UNA CURVA TRACCIATA IN UN PIANO SI
DICE CURVA PIANA E IN CASO
CONTRARIO SI DICE CURVA SGHEMBA.
• IL TRATTO DI LINEA COMPRESO TRA DUE
PUNTI A E B SI CHIAMA ARCO.
• UNA CURVA PUO’ ESSERE CHIUSA O
APERTA.
• OGNI LINEA CHIUSA SI PUO’ PERCORRERE
IN DUE VERSI L’UNO OPPOSTO
ALL’ALTRO.
ANGOLI
• SI DEFINISCE ANGOLO CIASCUNA DELLE
DUE PARTI IN CUI UN PIANO E’ DIVISO DA
DUE SEMIRETTE DISTINTE CON L’ORIGINE
O IN COMUNE, SEMIRETTE COMPRESE.
• LE SEMIRETTE a - b SI DICONO LATI
DELL’ANGOLO E NE COSTITUISCONO IL
CONTORNO.
• L’ORIGINE COMUNE SI DICE VERTICE
DELL’ANGOLO.
a
O
b
• I PUNTI DI UN ANGOLO CHE NON
APPARTENGONO AI LATI SI DICONO
INTERNI.
• GLI ALTRI PUNTI, SEMPRE ESCLUSI I
LATI, SI DICONO ESTERNI.
• DEI DUE ANGOLI FORMATI DALLE
SEMIRETTE a E b: SI DICE CONVESSO
QUELLO CHE NON CONTIENE AL SUO
INTERNO I PROLUNGAMENTI DEI
LATI (AôB),
• CONCAVO QUELLO CHE CONTIENE
AL SUO INTERNO I PROLUNGAMENTI
DEI LATI.
O
a
O
b
a
b
ANGOLO PIATTO
• DUE SEMIRETTE CHE SIANO IL
PROLUNGAMENTO L’UNA
DELL’ALTRA DETERMINANO DUE
ANGOLI, CIASCUNO DEI QUALI SI
DICE ANGOLO PIATTO.
b
O
a
ANGOLO GIRO E NULLO
• L’ANGOLO GIRO E’ L’UNIONE DI
DUE ANGOLI PIATTI E COINCIDE CON
TUTTO IL PIANO.
o
• L’ANGOLO NULLO E’ L’UNIONE DEI
PUNTI DI DUE SEMIRETTE
SOVRAPPOSTE E SI RIDUCE AD UNA
SEMIRETTA.
o
ANGOLI CONSECUTIVI
• DUE ANGOLI DI UN PIANO SI DICONO
CONSECUTIVI QUANDO HANNO LO
STESSO VERTICE ED HANNO IN COMUNE
SOLAMENTE I PUNTI DI UN LATO.
AôB + BôC = AôC somma dei due angoli dati
(angolo somma)
C
B
O
A
ANGOLI ADIACENTI
• DUE ANGOLI SI DICONO ADIACENTI
QUANDO, OLTRE AD ESSERE
CONSECUTIVI, HANNO I LATI NON
COMUNI SUL PROLUNGAMENTO L’UNO
DELL’ALTRO. LA SOMMA DI DUE ANGOLI
ADIACENTI E’ UN ANGOLO PIATTO.
AôB e BôC = angoli adiacenti
AôB + BôC = angolo piatto
B
C
A
O
ANGOLO RETTO
• LA META’ DI UN ANGOLO PIATTO E’
UN ANGOLO RETTO
B
AôB= /2
A
ANGOLO ACUTO
• UN ANGOLO SI DICE ACUTO
QUANDO E’ MINORE DI UN ANGOLO
RETTO.
AôB= acuto
B
A
ANGOLO OTTUSO
• UN ANGOLO SI DICE OTTUSO
QUANDO E’ MAGGIORE DI UN
ANGOLO RETTO E MINORE DI UN
ANGOLO PIATTO.
B
AôB= ottuso
A
• PUNTI INTERNI AD UN ANGOLO
UN PUNTO CHE APPARTIENE ALL’ANGOLO
MA NON AI SUOI LATI, SI DICE PUNTO
INTERNO.
B
.C
.D
A
• TUTTE LE SEMIRETTE DI ORIGINE O
COSTITUITE DA PUNTI INTERNI AD UN
ANGOLO SI DICONO SEMIRETTE INTERNE.
POLIGONI
• SI DEFINISCE POLIGONO LA FIGURA
FORMATA DA UNAPOLIGONALE CHIUSA
(NON INTRECCIATA) E DALLA PARTE DI
PIANO DA ESSA DELIMITATA.
• UN POLIGONO SI DICE CONVESSO SE
GIACE TUTTO DA UNA STESSA PARTE
RISPETTO A CIASCUNA RETTA OTTENUTA
PROLUNGANDO ONGUNO DEI LATI.
• UN POLIGONO SI DICE EQULIATERO SE
HA I LATI TUTTI CONGRUENTI TRA LORO
• SI DICE EQUIANGOLO SE HA GLI ANGOLI
TUTTI CONGRUENTI TRA LORO.
equilatero
equiangolo
OSSERVAZIONE: POLIGONO EQUIANGOLO
non implica che sia equilatero;
POLIGONO EQUILATERO non implica che sia
equiangolo.
• UN POLIGONO SI DECE REGOLARE SE È
SIA EQUILATERO CHE EQUIANGOLO.
• IL SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI DUE
VERTICI NON CONSECUTIVI DI UN
POLIGONO SI CHIAMA DIAGONALE. SI
DEFINISCE CORDA OGNI SEGMENTO CHE
HA PER ESTREMI DUE PUNTI QUALUNQUE
DEL CONTORNO DEL POLIGONO NON
APPARTENENTI A UNO STESSO LATO.
PROPRIETA’
• UN POLIGONO HA SEMPRE UN
EGUAL NUMERO DI LATI E DI
VERTICI (ANGOLI).
• In generale, i lati e gli angoli interni di un
poligono si chiamano SUOI ELEMENTI.
• UN POLIGONO E’ CONCAVO SE IL
PROLUNGAMENTO DI UN SUO LATO LO
DIVIDE IN DUE PARTI.
• I LATI E GLI ANGOLI INTERNI DI UN
POLIGONO SI DICONO I SUOI ELEMENTI.
TRIANGOLO
• POLIGONO A TRE LATI, HA SEI ELEMENTI:
TRE LATI E TRE ANGOLI.
• OGNI LATO SI DICE OPPOSTO
ALL’ANGOLO IL CUI VERTICE NON
APPARTIENE AL LATO E ADIACENTE
AGLI ALTRI DUE ANGOLI.
• OGNI ANGOLO E’ OPPOSTO AL LATO CHE
NON CONTIENE IL SUO VERTICE ED E’
ADIACENTE AGLI ALTRI DUE LATI.
ANGOLO ESTERNO
C
A
B
K
- ANGOLI INTERNI AL TRIANGOLO:
ABC, BCA, CAB
- ANGOLI ESTERNI AL TRIANGOLO:
KBC
CONGRUENZA TRA FIGURE
PIANE
• DUE FIGURE SI DICONO CONGRUENTI O
ISOMETRICHE O SOVRAPPONIBILI,
QUANDO E’ POSSIBILE TRASPORTARE,
CON UN MOVIMENTO RIGIDO (IN BASE
AL QUALE UNA FIGURA PUO’ CAMBIARE
POSIZIONE SENZA DEFORMARSI) LA
PRIMA FIGURA IN MODO CHE COINCIDA
CON LA SECONDA.
F1  F2
F1
F2
PUNTI CORRISPONDENTI OD
OMOLOGHI
• LA CONGRUENZA TRA DUE FIGURE E’
UNA PARTICOLARE CORRISPONDENZA
BIUNIVOCA TRA I LORO PUNTI.
ab +bc  de
c
b
a
d
e
• UGUAGLIANZA: DUE FIGURE SONO UNA
MEDESIMA FIGURA.
• CONGRUENZA: DUE FIGURE SONO
SOVRAPPONIBILI.
PROPRIETA’ DELLE
CONGRUENZE
1. OGNI FIGURA E’ CONGRUENTE A SE
STESSA: F  F (proprietà riflessiva)
2. SE UNA FIGURA E’ CONGRUENTE A
UN’ALTRA, ANCHE LA SECONDA E’
CONGRUENTE ALLA PRIMA: F  F1, F1  F
(proprietà simmetrica)
3. DUE FIGURE CONGRUENTI AD UNA
STESSA FIGURA SONO CONGRUENTI FRA
LORO: F1  F, F2  F, F1  F2 (proprietà
transitiva)
PROPOSIZIONI DEDOTTE
• TUTTE LE RETTE SONO CONGRUENTI FRA
LORO.
• TUTTE LE SEMIRETTE SONO CONGRUENTI
FRA LORO.
• TUTTI I PIANI SONO CONGRUENTI FRA
LORO.
• TUTTI I SEMIPIANI SONO CONGRUENTI
FRA LORO.
• TUTTI GLI ANGOLI PIATTI SONO
CONGRUENTI FRA LORO.
CONFRONTO TRA
SEGMENTI
• Confrontare due segmenti significa stabilire
se sono congruenti o non lo sono.
• Nel caso in cui non siano congruenti
significa stabilire quale tra i due sia il
maggiore.
• Per confrontarli bisogna operare un
movimento rigido in modo che l’estremo A
coincida con l’estremo C e la semiretta A-B
coincida con C-D.
1° CASO
Il 2° estremo B coincide con D, quindi il segmento
AB  CD ; C  A, D  B
B
A
2° CASO
C
D
L’estremo B è un punto interno al segmento CD
AB < CD
A
B
C
3° CASO
D
L’estremo B è esterno al segmento CD
AB > CD
A
B
C
D
LEGGE DI TRICOTOMIA
• Dati sue segmenti AB e CD, si avrà:
• 1. AB  CD
• 2. AB < CD
• 3. AB > CD
PUNTO MEDIO DI UN
SEGMENTO
• Si chiama punto medio di un segmento un
punto interno al segmento che lo divide in
due parti congruenti.
• Si dice che A e B sono SIMMETRICI
rispetto a M.
A
M
AM  MB  1/2 AB
B
SOMMA E DIFFERENZA DI
SEGMENTI
• SE DUE SEGMENTI AB E BC SONO
ADIACENTI, IL SEGMENTO AC
COSTITUISCE LA LORO SOMMA:
AC= AB+BC
• SI DICE DIFFERENZA DI DUE SEGMENTI,
DI CUI IL PRIMO E’ MAGGIORE O
CONGRUENTE AL SECONDO, IL
SEGMENTO CHE ADDIZIONATO AL
SECONDO DA PER SOMMA IL PRIMO:
PROPRIETA’ DELLA SOMMA
1. COMMUTATIVA: LA SOMMA DI DUE O
PIU’ SEGMENTI E’ INDIPENDENTE
DALL’ORDINE DEGLI ADDENDI.
2. ASSOCIATIVA: LA SOMMA DI PIU’
SEGMENTI NON MUTA SE A PIU’ ADDENDI
SI SOSTITUISCE LA LORO SOMMA.
3. SOMME DI SEGMENTI ORDINATAMENTE
CONGRUENTI SONO CONGRUENTI.
4. DIFFERENZE DI SEGMENTI
RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI SONO
CONGRUENTI.
MULTIPLI E
SOTTOMULTIPLI DI UN
SEGMENTO
• SI DEFINISCE MULTIPLO DI UN
SEGMENTO A SECONDO IL NUMERO
NATURALE n  2, LA SOMMA DI n
SEGMENTI CONGRUENTI AD A.
A
B = 4A
• A E’ DETTO SOTTOMULTIPLO DI B
SECONDO n.
POSTULATO DI
DIVISIBILITA’ DEI
SEGMENTI
• OGNI SEGMENTO E’ DIVISIBILE IN
UN NUMERO n DI PARTI
CONGRUENTI.
PUNTO MEDIO DI UN
SEGMENTO
• SI CHIAMA PUNTO MEDIO DI UN
SEGMENTO IL PUNTO, INTERNO AL
SEGMENTO, CHE LO DIVIDE IN DUE PARTI
CONGRUENTI.
B
M
A
• A E B SONO SIMMETRICI RISPETTO AD M,
QUANDO M E’ IL PUNTO MEDIO DEL
SEGMENTO AB.
CONFRONTARE DUE
ANGOLI
• SIGNIFICA STABILIRE SE SONO
CONGRUENTI O NON LO SONO.
• PER CONFRONTARE DUE ANGOLI  E
, BISOGNA OPERARE UN
MOVIMENTO RIGIDO CHE FACCIA
SOVRAPPORRE O COINCIDERE I DUE
VERTICI E UN LATO (UNO DEI DUE
LATI DELL’ANGOLO).
1° CASO
Se il lato B coincide con B1 allora



2° CASO
Se il lato B è esterno all’angolo 
<
B
3° CASO
Se il lato B risulta interno all’angolo 
>
B
LEGGE DI TRICOTOMIA
• Dati due angoli  e , si avrà:
• 1.   ,
• 2.  < ,
• 3.  > ,
SOMMA E DIFFERENZA DI
ANGOLI.
• SE DUE ANGOLI AôB E BôC SONO
CONSECUTIVI, L’ANGOLO AôC
COSTITUISCE LA LORO SOMMA.
AôC = AôB + BôC
• SI DICE DIFFERENZA DI DUE ANGOLI, DI
CUI IL PRIMO E’ MAGGIORE O
CONGRUENTE AL SECONDO, L’ANGOLO
CHE ADDIZIONATO AL SECONDO DA PER
SOMMA IL PRIMO.
C
BôC = AôC - AôB
O
B
A
• SOMME E DIFFERENZE DI ANGOLI
RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI SONO
CONGRUENTI.
• SI CHIAMA BISETTRICE DI UN ANGOLO DI
VERTICE O, LA SEMIRETTA DI ORIGINE O,
INTERNA ALL’ANGOLO, CHE DIVIDE
L’ANGOLO IN DUE PARTI CONGRUENTI.
AôM  MôB  1/2AôB
A
O
M
B
ANGOLI ESPLEMENTARI
• DUE ANGOLI SI DICONO
ESPLEMENTARI SE HANNO PER
SOMMA UN ANGOLO GIRO (360°).
ANGOLI SUPPLEMENTARI
• DUE ANGOLI LA CUI SOMMA SIA UN
ANGOLO PIATTO (180°) SI DICONO
SUPPLEMENTARI.
• ANGOLI SUPPLEMENTARI DI UNO STESSO
ANGOLO SONO CONGRUENTI FRA LORO.
ANGOLO RETTO
• LA META’ DI UN ANGOLO PIATTO SI
DICE ANGOLO RETTO: 1/2 π , π /2
ANGOLO ACUTO
• UN ANGOLO MINORE DI UN ANGOLO
RETTO SI DICE ACUTO.
• UN ANGOLO CONVESSO MAGGIORE DI UN
RETTO SI DICE OTTUSO.
ANGOLI COMPLEMENTARI
• DUE ANGOLI LA CUI SOMMA SIA
CONGRUENTE A UN ANGOLO RETTO
SI DICONO COMPLEMENTARI:
π/2 - 

RETTE PERPENDICOLARI
• DUE RETTE SI DICONO
PERPENDICOLARI (r  s) SE,
INCONTRANDOSI, FORMANO
QUATTRO ANGOLI RETTI.
TEOREMA: PROIEZIONE DI
UN PUNTO SU UNA RETTA
Da un punto appartenente ad una retta o esterno ad
essa si può condurre una ed una sola retta
perpendicolare a quella data.
H= Piede della perpendicolare ad R, condotta dal
punto P
H= Proiezione ortogonale di P sulla retta R
Il segmento P-H si chiama Distanza di P dalla retta
R.
P
R
H
PROIEZIONE DI UN
SEGMENTO
• SI DICE PROIEZIONE DI UN
SEGMENTO SOPRA UNA RETTA IL
SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI LE
PROIEZIONI SULLA RETTA DEGLI
ESTREMI DEL SEGMENTO DATO.
B
B
A
A
B
A
ANGOLI OPPOSTI AL
VERTICE
• DUE ANGOLI CONVESSI SI DICONO
OPPOSTI AL VERTICE SE I LATI
SONO I PROLUNGAMENTI DEI LATI
DELL’ALTRO.
s
r
o
r
s
1
1