Esempio 1
Consideriamo un punto materiale che effettua un moto particolare lungo l’asse
x.
Supponiamo per esempio che la particella parta da un punto P localizzato a 1m dall’origine
e si sposti verso il punto Q localizzato a 5 m dall’origine e quindi torni indietro al punto R
a 2 m dall’origine. E supporremo che il tutto si concluda in 4 secondi
0
P
R
1
2
Q
3
4
5
6
7
8
Lo spostamento totale è di un metro nella direzione positiva dell’asse
9
x
x:
ΔS = 1 m
Il tempo impiegato è 4 secondi:
Δt = 4 s
La velocità media è:
v = ΔS / Δt = 0,25 m/s nella direzione positiva dell’asse x
Per stimare la velocità istantanea dobbiamo procedere diversamente. Definiamo un
6 m
sistema di assi cartesiani per x e t. Lo spostamento in questo sistema di assi sarà descritto
da una curva così.
x
3
4
5
Q
1
2
R
P
t
1
2
3
4
sec
La velocità istantanea in ogni punto si ricava come la pendenza della retta tangente in quel
6 m
dato punto. Così per esempio nel punto Q la velocità istantanea è zero
x
Q
3
4
5
v = dx / dt = 0
1
2
R
P
t
1
2
3
4
sec
6 m
Nel punto S indicato in verde, sarà la pendenza della tangente alla curva nello stesso punto:
x
5
Q
1
2
3
4
S
R
E come si calcola ?
P
t
1
2
3
4
sec
In questa retta, individuiamo due punti, per esempio
A (t=2s ; x = 7,3m) e B (t=4s; x = 2,5m)
x
5
6 m
A
3
4
S
1
2
B
t
1
2
3
4
sec
E calcoliamo la pendenza (coefficiente angolare di questa retta):
5
6 m
A
x
Δx
Δx = -4,8m
S
v = Δx / Δt = -2,4 m/s
3
4
Δt = 2 s
B
1
2
Δt
t
1
2
3
4
sec
Che cosa è questa v =
Δx / Δt = -2,4 m/s ?
5
6 m
A
x
Δx
Δx = -4,8m
S
v = Δx / Δt = -2,4 m/s
3
4
Δt = 2 s
B
2
Δt
1
La velocità v così calcolata è la velocità di un punto materiale che si muove
a velocità costante fra A e B e che nel punto S ha ovviamente la stessa
velocità del nostro punto materiale di prima.
t
1
2
3
4
sec
6 m
In modo del tutto analogo possiamo calcolare la velocità istantanea in qualsiasi punto !
x
3
4
5
Q
1
2
R
P
t
1
2
3
4
sec
Esempio 2
E facile intuire che il moto lungo l’asse x dell’esercizio precedente avviene con
accelerazione variabile:
0
P
R
1
2
Q
3
4
5
6
7
8
9
Si pone allora il problema di calcolare anche l’accelerazione istantanea.
x
a = dv / dt,
Poiché l’accelerazione istantanea è
risulta intuitivo che dobbiamo prima
ricavare la funzione v(t). Per fare questo, calcoliamo la velocità istantanea
in numero di punti sufficientemente elevato.
vi (ti)
x
Q
R
P
t
1
2
3
4
sec
4 m/s
Definiamo un sistema di assi cartesiani per vx e t, e riportiamo i valori delle velocità
istantanee calcolate nei vari punti e operiamo una interpolazione grafica
vx
P
S
Q
-4
0
W
R
-8
t
1
2
3
4
sec
vx
-4
0
4 m/s
La linea curva che abbiamo individuato nel piano (vx , t) altro non è che la rappresentazione
grafica della velocita del punto materiale in funzione del tempo vx (t).
-8
t
1
2
3
4
sec
Di questa funzione vx(t) potremo calcolare l’accelerazione istantanea punto
= dv /dt
è la pendenza della retta tangente in ogni punto
vx
-4
0
4 m/s
ricordando che a
-8
t
1
2
3
4
sec
Esempio 3
Consideriamo un moto unidimensionale (trattabile quindi con formalismo puramente scalare)
con accelerazione a = costante
x
Abbiamo imparato che se a = costante:
a) La velocità
v cresce linearmente col tempo t:
v = v0 + at
b) Lo spostamento x cresce quadraticamente col tempo t:
x = v0t + ½ a t2
Quindi se definiamo dei piani cartesianoiin cui raffigurare graficamente l’andamento
delle tre grandezze fisiche in questione in funzione del tempo , otterremo quanto segue:
a
a = costante
(pendenza della curva = 0)
t
v
v
cresce linearmente col tempo (pendenza
della curva = costante)
t
x
x
cresce quadraticamente col tempo,
la pendenza della curva cresce
uniformemente col tempo
t
Nel Corso di Analisi Matematica imparerete la calcolare e derivate di alcune semplici funzioni:
Funzione y = f(x)
Derivata dy / dx
y= k
y= kx
dy/dx = 0
dy/dx = k
y = kx2
dy/dx = 2kx
Come abbiamo visto, l’equazione dello spostamento
parabola:
x = v0t + ½ a t2
v = dx/dt = dx/dt (v0t)
+
del tempo t è una
e applicando le regole sulle derivate, ricaviamo che:
dx/dt (½ a t2) = vo + at
Ed eseguendo la derivata su v:
dv/dt = a = costante
x in funzione
Esempio 4
La velocità di una automobile che viaggia in direzione ovest si riduce uniformemente
da 45 km/h a 30 km/h in una distanza di 100 m.
1° Quesito: qual è il valore della accelerazione costante ?
Possiamo ridurre il calcolo al caso scalare: una autovettura che si muove lungo l’asse x
30 km/h
x
45 km/h
100 m
Sappiamo che:
v = v0 + at
v = 30 k/h, e conosciamo v0 = 45 k/h, tuttavia il dato che ci viene
fornito NON è il tempo t in cui avviene la variazione di velocità, ma lo spostamento
Conosciamo
x = 100 m = 0,100 km.
Risolviamo la relazione
v = v0 + at
rispetto a
t e otteniamo :
t = (v –v0) / a [1]
Definiamo adesso la velocità media fra t
e t0 come
<v> = (v0 + v) / 2
Possiamo quindi scrivere x
= <v> t  t = x / <v> = 2x / (v0+v)
che eguagliata alla [1] risulta nella relazione:
(v –v0)/a = 2x/(v0+v)  a = (v –v0)/(2x /(v0+v)) = - 5625 km/h2
2° Quesito: Quanto tempo è trascorso durante la decelerazione ?
Scriveremo:
t = (v –v0)/a =
(30 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.00267 h = 9,6 s
3° Quesito: Se si suppone che l’automobile continui a decelerare con la medesima
legge, quanto tempo dovrà trascorrere affinché si fermi, essendo partita con una
velocità di 45 km/h ?
Scriveremo di nuovo:
t = (v –v0)/a =
(0 – 45) km/h / -5625 km/h2 = 0.008 h = 28,8 s
Esempio 5
Una particella si muove all’interno di un tubo rettilineo sotto vuoto lungo 2 m
1° Quesito: Supponendo costante l’accelerazione, quanto tempo rimane la particella
nel tubo, se vi entra con una velocità di 1000 m/s e ne esce con velocità 9000 m/s ?
2m
1000 m/s
9000 m/s
Di nuovo, scriveremo:
dove <v> = (v1
Da cui t
x = <v> t
+ v2)/2
= x / <v> =
= (9000+1000)/2 = 5000 m/s
2 m / 5000 m/s =
0,0004 s
2° Quesito: Determinare l’accelerazione
Dalla relazione:
a=
v2 = v1 +at
(9000 -1000) m/s
ricaviamo
a = (v2 –v1) / t
cioè:
/ 0.0004 s = 20 x 106 m/s2
Che si legge: 20 milioni di: metri al secondo quadrato
Esempio 6
Un oggetto cade liberamente partendo da fermo. Determinare la posizione e la
velocità dell’oggetto dopo 1; 2; 3 e 4 secondi.
Definiamo il nostro asse
y di riferimento e scegliamo il punto di partenza all’origine.
y
La posizione y in funzione del tempo t è data dalla formula:
0
y(t)
=
v0t
− ½ g t2 Dove g = 9,8 m/s2 e v0 = 0
Da cui si ricava per s=1:
E per la velocità si ricava:
y1 = − ½
9,8 = −4,9 m
v1 = vo –gt
= 0 – 9,8 = −9,8 m/s
Analogamente, applicando le stesse formule al caso t=2; 3 e 4 s si ricava
y2 = − ½
9,8 x 22 = −19,6 m
y3 = − ½
9,8 x 32 = −44,1 m
y4 = − ½
9,8 x 42 = −78,4 m
v2 = vo –gt
= 0 – 9,8 x 2 = −19,6 m/s
v3 = vo –gt
= 0 – 9,8 x 3 = −29,4 m/s
v4 = vo –gt
= 0 – 9,8 x 4 = −39,2 m/s
Esempio 7
Una palla è lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo con una velocità di 29,4 m/s.
1° Quesito: Quanto tempo impiega la palla a raggiungere il suo punto più alto ?
Dati del quesito:
y
v0
= 29,4 m/s
Inoltre risulta evidente che v
ymax
(ymax) = 0
Per ricavare il tempo t scriveremo:
v = v0 − g t
t = (v0 − v) / g
0
t = (29,4 -0) m/s / 9,8 m/s2 = 3 s
2° Quesito: determinare la massima altezza ymax raggiunta dalla palla.
Scriveremo:
y = v0 t – ½ g t 2
dove:
v0 = 29,4 m/s e t = 3 s
Quindi:
ymax = 29,4 x 3 − ½ 9,8 x 32 = 88,2 − 44,1 = 44 m
3° Quesito: A che istante la palla sarà ad una altezza
yk di
39,2 m dal suolo ?
Scriveremo nuovamente:
y = v0 t – ½ g t 2
dove:
v0 = 29,4 m/s e y = 39,2 m
Abbiamo quindi una equazione di secondo grado in t:
½ g t2 − v0t + yk = 0
4,9 t2 − 29,4 t + 39,2 = 0
a
b
c
t = (−b ± (b2 − 4ac)1/2) / 2a
t = ( 29,4 ± 9,8 ) / 9,8  t1 = 2
(b2 − 4ac)1/2 = 9,8
t1 = 4