Presupposti storici
Presupposti logici
Teoremi
(di incompletezza)
di Gödel
implicazioni logiche e
logico-filosofiche
… rilevanti in filosofia
della mente e dell’I.A.
… rilevanti in filosofia
della matematica
Presupposti storici
Hilbert e il programma hilbertiano
Hilbert vs intuizionismo
Matematica intuizionista:
costruire mentale trasparente a se stesso
Conseguenza: revisionismo
a oppure  a
aa
() a : disporre di una costruzione mentale che produca
a (o che mostra a  assurdo)
  a: disporre di una costruzione mentale che confuta  a
(che mostra  a  assurdo)
Presupposti storici
Hilbert e il programma hilbertiano
•
Hilbert: 1922, Nuova fondazione della matematica.
Prima comunicazione
•
Salvare la matematica classica dagli attacchi che la
vorrebbero non legittima  porre la consistenza
come condizione necessaria e sufficiente della sua
legittimità
•
Programma hilbertiano: formalizzazione delle teorie
matematiche note e dimostrazione della loro
consistenza (condizionata dalla dimostrazione della
consistenza dell’aritmetica)
Presupposti storici
Hilbert e…
Consistenza dell’aritmetica?!?
Aritmetica finitaria: dai contenuti immediatamente evidenti e dalle
operazioni garantite nella loro affidabilità (inhaltlich,
anschaulich cioè contenutistica, intuitiva)
|, ||, |||, …
Aritmetica non finitaria: implica un riferimento ad infinità attuali
Sia p un numero primo sufficientemente grande.
“esiste un numero primo tra p+1 e p!+1”
è finitariamente significante
Ma per n un numero naturale qualsiasi
“esiste un numero primo tra n e n!+1”
non è finitariamente significante
Presupposti storici
Hilbert e…
Dimostrare la consistenza:
dimostrare che 0=1 non è derivabile logicamente dagli assiomi
aritmetici
Assiomi: configurazioni finite di segni
Regole logiche: manipolazioni che constano di un numero finito di
passaggi che si applicano alla forma dei segni
A  (A B) si trasforma in B
Dimostrare la consistenza:
dimostrare che le manipolazioni finite di segni finiti che posso
attuare non producono quale esito la configurazione 0 =1
Ciò è simile alle operazioni dell’aritmetica finitaria! La dimostrazione
della consistenza della aritmetica è un problema risovibile con
le procedure dimostrative dell’aritmetica finitaria!
Presupposti storici
Hilbert e…
1931: Gödel dimostra (quale corollario) che la
consistenza dell’aritmetica non è dimostrabile con gli
strumenti deduttivi della aritmetica finitaria
Implicazioni del programma hilbertiano:
la natura della mente
L’idea fondamentale della mia teoria della dimostrazione non è
nient’altro che descrivere l’attività del nostro intelletto, di creare
un protocollo delle regole secondo le quali la nostra attività di
pensiero di fatto procede. Pensare, si dà il caso, è analogo a
parlare e scrivere: formiamo enunciati e li disponiamo uno dopo
l’altro
(Hilbert 1927)
regole di pensiero = regole logiche
Regole logiche: procedure che si attivano in virtù della forma dei
segni a cui si applicano (A, AB si trasforma in B)
Pensiero: trasformazioni di simboli che si applicano alla loro
forma
Se è possibile costruire un meccanismo materiale capace di
sfruttare aspetti concreti dei segni, è possibile costruire una
macchina pensante! Solo che…
Implicazioni del programma hilbertiano:
consistenza
La consistenza è dimostrabile e se non è
dimostrabile, è conoscibile?
Se è conoscibile come lo è?
Tale conoscenza della consistenza è una modalità di
conoscenza specificamente matematica?
E se la consistenza non fosse conoscibile?
E se le teorie matematiche fossero inconsistenti?
Presupposti logici
Logica dei predicati del primo ordine:
mostra il funzionamento del linguaggio nella
sua componente assertiva,il linguaggio
corrente in quanto linguaggio in cui si dice
che le cose stanno così e così,
formalizzandolo e individuando regole
Presupposti logici
Formalizzare:
isolare le unità assertive minime del
linguaggio ed esprimere le componenti di
tali unità attraverso controparti simboliche
•
per rendere totalmente esplicita la forma del
linguaggio nella sua componente assertiva
•
individuare regole di derivazione che
consentano di stabilire nessi o relazioni
formali tra le proposizioni del linguaggio
Presupposti logici
• Proposizioni complesse risultanti da proposizioni semplici:
Parigi è la capitale della Francia e la Francia si trova in Europa
• Struttura predicativa e quantificazionale delle proposizioni:
Parigi è la capitale della Francia: C(P, F)
Tutti gli uomini sono mortali: x (U(x)  M(x))
Qualche uomo è sapiente: x (U(x) S(x))
• Formalizzazione simbolica delle componenti predicative e
quantificazionale degli enunciati
Variabili per individui: x, y, z
Costanti per predicati: … Pi1…, … Pi2 …, … Pi3 …
Quantificatori: , 
Connettivi:  (non),  (e),  (o),  (se… allora)
Perché mancano costanti per individui e variabili per predicati?
Presupposti logici
Linguaggio della logica dei predicati del primo ordine L
consta di:
-
un alfabeto (che include variabili individuali, costanti predicative e
segni logici)
regole di formazione per formule (indicazioni su come costruire
formule ben formate)…
… che lo rendono al limite pensabile come “autonomo”
rispetto alle sue controparti non formali, come linguaggio
che si autocrea combinando segni nei modi indicati dalle
regole di formazione.
In più si pensi alle regole di derivazione come regole che
consentono di stabilire nessi o relazioni formali tra
proposizioni del linguaggio
La sintassi logica studia L come linguaggio che “si autocrea”
indipendentemente dal suo significare
Presupposti logici
Ma resta che…
… le configurazioni di segni dell’alfabeto (formule)
possono essere intese naturalmente come tali da
avere un s i g n i f i c a t o (quello delle loro
controparti non-formali) e come tali sono oggetto
di studio della semantica logica.
Presupposti logici
Che una configurazione di segni abbia un significato
viene precisato dicendo che tale formula
può essere interpretata su individui di un dominio
oggettuale,
ovvero che le sue variabili individuali possono essere
viste come tali da stare per individui del dominio, le sue
costanti predicative per proprietà di individui o coppie,
triple, quadruple ordinate di individui, ecc., che stanno
tra loro in determinate relazioni
Interpretazione:
<dominio oggettuale, assegnazione>
Presupposti logici
Esempio:
x y Pi2 (y, x)
Interpretazione sul dominio dei numeri naturali ove
x, y: stanno per numeri naturali
Pi2: sta per la relazione “essere maggiore di” definita su
numeri naturali
L’interpretazione rende vera la formula!
Ma se Pi2 fosse intepretata sulla relazione “essere minore di” tra
numeri naturali …
Presupposti logici
Modello (di un insieme di L-formule ):
Interpretazione nella quale
tutte le formule di  sono vere
Essere conseguenza logica:
A è conseguenza logica di 
╞ A
se e solo se ogni modello di  è modello di A
Presupposti logici
Domanda: dato  come ne derivo le conseguenze
logiche?
Le regole di derivazione possono essere intese come
regole che consentano di stabilire nessi di
conseguenza logica tra le L-formule?
Riescono le regole di derivazione a “catturare” ovvero
produrre meccanicamente tutte le conseguenze
logiche di un insieme  di L-formule?
Presupposti logici
Se
├ A
significa che A è derivabile da  applicando alle L-formule di  le
regole D, ci si sta domandando se sia vero:
se ╞ A allora  ├ A
(il calcolo è semanticamente completo)
Ci si può anche domandare:
se  ├ A allora ╞ A
(il calcolo è corretto)
Presupposti logici
5-7 Ottobre 1930, Koenigsberg:
Dato un insieme  di L-formule è possibile derivare
da  ogni conseguenza logica di  e, in particolare,
ogni tesi logica ovvero il calcolo del primo ordine è
semanticamente completo
ovvero
un computer, opportunamente programmato, è in grado
di derivare ogni conseguenza logica di un insieme di
L-formule e ogni tesi logica
Il teorema di Gödel
Il calcolo logico del primo ordine è
semanticamente completo ma…
“Assumendo la consistenza formale della matematica
classica uno può dare esempi di proposizioni (dello
stesso tipo che quelle di Goldbach e di Fermat) che
sono vere ma non provabili nel sistema formale della
matematica classica”
ovvero la matematica classica come sistema formale
è incompleta
Il teorema di Gödel
…ogni teoria matematica formale che includa l’aritmetica del primo
ordine
Aritmetica del primo ordine (A)
teoria assiomatica espressa in un linguaggio formale LA che
include, oltre a L e alle regole del calcolo logico, specifiche
costanti non logiche, individuali e predicative (0, S, +, •) e i
seguenti assiomi:
x (S(x)  0)
x y (S(x) = S(y)  x = y)
(P(x)  x (P(x)  P(S(x)))  x P(x)
x (x + 0 = x)
x y (x + S(y) = S(x + y))
x (x • 0 = 0)
x y (x • S(y) = x • y + x)
Il teorema di Gödel
La dimostrazione dei teoremi di Gödel muove da due
assunzioni:
• che l’aritmetica del primo ordine sia consistente
• che LA possa parlare, oltre che di numeri naturali, di se
stesso come linguaggio e delle proprietà sintattiche sue
e di A
(codificare predicati come: “essere una
variabile/costante di LA” “essere una formula di LA”,
“essere una formula atomica/molecolare di LA”,“essere
una prova in A”, “essere provabile in A”, …).
Ovvero LA è capace di fungere da
metalinguaggio di se stesso.
Il teorema di Gödel
LA è capace di fungere come metalinguaggio di se
stesso grazie alla definizione della
funzione di gödelizzazione (¯ ¯)
che, sulla scorta di una preliminare assegnazione di
codici numerici ai simboli primitivi del linguaggio,
attribuisce, in funzione di questi ultimi, codici numerici
alle formule del linguaggio e consente la definibilità in LA
dei predicati sintattici sopra indicati
Il teorema di Gödel
Esempi di gödelizzazione (di “0+xi=xi”)
¯0¯ = (S(0)) = 1
¯+¯ = (S(S(0)) = 2
¯=¯ = … = 3
¯xi¯ = … = <1, i>
¯0 + xi ¯ = … = (¯+¯, ¯0¯, ¯ xi ¯) = … = (2, 1, <1, i>)
¯0 + xi = xi ¯ = (¯=¯, ¯0 + xi ¯, ¯xi¯ ) = …= (3, (2,1, <1, i>), <1, i>)
Il teorema di Gödel
Con ciò le formule aritmetiche vengono a poter
giocare un doppio ruolo nel contesto di una teoria
aritmetica in cui la funzione di gödelizzazione è
definita,
il ruolo di se stesse come formule aritmetiche e
il ruolo di codici di formule aritmetiche,
in analogia con attori di teatro che fuori dal
palcoscenico sono le persone che sono e sul
palcoscenico recitano una parte in genere diversa
da ciò che essi sono.
Il teorema di Gödel
Ad un attore può però anche capitare
di dover recitare se stesso.
Analogamente una formula aritmetica può venire a recitare il
ruolo di codice aritmetico di se stessa, ovvero può codificare
se stessa come formula aritmetica.
Ciò è anzi assicurato dal lemma di diagonalizzazione seguente:
Per ogni LA formula P(x) con esattamente la variabile x libera
esiste una formula di LA n tale che n = P(¯ n ¯ ) ovvero
la formula ottenuta da P(x) sostituendo in essa la variabile x
con ¯n ¯ parla di se stessa, è codice di se stessa
Il teorema di Gödel
Anche il predicato “essere derivabile in A” è
codificabile nel linguaggio dell’aritmetica.
Data una formula a di LA,
PrA(¯ a ¯ )
codifica l’esistenza di una prova per a in A (afferma
l’esistenza di una relazione tra due formule
aritmetiche di cui l’una viene ad essere il
gödeliano di una derivazione in A e l’altra il
gödeliano di a)
Il teorema di Gödel
Sia PrA(x) la formula “x non è derivabile in A”.
Si applichi ora a  PrA(x) il lemma di diagonalizzazione.
Si otterrà come risultato un g tale che
g = PrA(¯ g ¯)
Indichiamo ora con  la formula g ovvero PrA(¯ g ¯)
È  derivabile in A o no?
Il teorema di Gödel
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
A├
ipotesi
A ├ PrA(¯ g ¯)
prima condizione di derivabilità
A ├   PrA(¯ g ¯) lemma di diagonalizzazione
A ├   PrA(¯ g ¯) eliminazione 
A ├ PrA(¯ g ¯)    contrapposizione
A├
mp
A├ 

Se A ├  allora A ├     cioè Cons (A)
Il teorema di Gödel
Se Cons (A),  non è derivabile in A, ovvero
Cons(A)  PrA(¯ g ¯)
Anche   non è derivabile in A (sotto un’assunzione più
forte della consistenza di A)
A⊬ 
A⊬
A è sintatticamente incompleta!
Il teorema di Gödel (corollario)
Cosa accadrebbe se A ├ Cons (A)?
A ├ Cons (A)
A ├ Cons (A)  PrA(¯ g ¯)
A ├ PrA(¯ g ¯)
A├
Quindi: A
⊬ Cons (A)
Il teorema di Gödel
PrA(¯ g ¯) dice della formula g che non
è derivabile in A
La formula g è PrA(¯ g ¯)
PrA(¯ g ¯) non è derivabile in A,
quindi PrA(¯ g ¯) è vera!
A è semanticamente incompleta!
Implicazioni logico-filosofiche
Interpretazione “inflazionista”
Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile
in A attraverso gli strumenti del calcolo logico
La verità aritmetica sporge
sulla derivabilità logica in A
Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità
aritmetica…
Implicazioni logico-filosofiche
Interpretazione “deflazionista”
La formula PrA(¯ g ¯) gioca un doppio ruolo:
• è una formula dell’aritmetica (PrA(¯ g ¯) )
• parla di una formula dell’aritmetica, è un
“messaggio sintattico in codice” (PrA(¯ g ¯) )
(Si pensi all’espressione S.O.S. È, come tale, un’espressione
del nostro linguaggio corrente formulato in italiano, ma è anche
il codice di un’espressione più lunga formulata in inglese “save
our souls”)
Implicazioni logico-filosofiche
PrA(¯ g ¯), presa nel suo ruolo di formula aritmetica,
si configura come una formula aritmetica non decidibile
in A, che non riusciamo a dimostrare né a confutare.
Con ciò essa si configura come un
“esempio di proposizioni (dello stesso tipo che quelle di Goldbach e
di Fermat) che sono […] non provabili nel sistema formale della
matematica classica”
Ma gli inflazionisti non si limitano a considerare
PrA(¯ g ¯) una formula aritmetica né derivabile né
refutabile, dicono che è una verità aritmetica non
dimostrabile né refutabile
Implicazioni logico-filosofiche
è vera PrA(¯ g ¯) ?
PrA(¯ g ¯) è la formula aritmetica g
di cui PrA(¯ g ¯) dice che non è derivabile in A.
È PrA(¯ g ¯) derivabile in A?
No
Allora PrA(¯ g ¯) è vera …
…ma il codice PrA(¯ g ¯) parla di se stesso perché la formula aritmetica g è
PrA(¯ g ¯) che è notazionalmente identico a PrA(¯ g ¯) ;
PrA(¯ g ¯) è ad un tempo codice e codificato, è ad un tempo vero e non
dimostrabile, è una verità indimostrabile!
Implicazioni logico-filosofiche
Davvero si possono identificare
PrA(¯ g ¯) e PrA(¯ g ¯) ?
PrA(¯ g ¯) come codice non è PrA(¯ g ¯) come
formula aritmetica
PrA(¯ g ¯) non parla di sé, parla di una formula
aritmetica, è riconosciuto da noi come vero ma non
propriamente come non derivabile …
PrA(¯ g ¯) è non derivabile ma non vero, per essere
vero dovrebbe essere inteso come codice
L’incompletezza semantica scaturisce per illusione!
Implicazioni logico-filosofiche
Come si caratterizza la formula di cui parla PrA(¯ g ¯) ?
 PrA(¯S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0))))¯ ) parla della formula
S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0)))) intepretabile su 2+1=4
PrA(¯ g ¯) parla di PrA(¯ g ¯) dato che g = PrA(¯ g ¯)
È PrA(¯ g ¯) una proposizione aritmetica
come S(S(0))+ S(0) = S(S(S(S(0))))”?
Sì e no.
Implicazioni logico-filosofiche
È PrA(¯ g ¯) una proposizione aritmetica come “S(S(0)+ S(0) =
S(S(S(0)))”?
Si e no.
È una formula espressa nel linguaggio dell’aritmetica,
esprime una relazione tra gödeliani e i gödeliani sono formule di LA
interpretabili su numeri naturali
A differenza di “S(S(0)+ S(0) = S(S(S(0)))”, PrA(¯ g ¯) non è
“semanticamente” esaurita da un’intepretazione sui numeri
naturali ché i numeri naturali su cui è interpretata sono codici di
oggetti sintattici,
PrA(¯ g ¯) è una proposizione naturalmente sintattica e non
naturalmente aritmetica.
PrA(¯ g ¯) è una formula aritmetica solo per illusione,
l’incompletezza sintattica dell’aritmetica è solo un’illusione!
Implicazioni logico-filosofiche
In più:
PrA(¯ g ¯) dice  PrA (¯ PrA(¯ g ¯) ¯)
PrA(g) quando la interpreto, la interpreto come formula non
aritmetica bensì sintattica parla della formula codificata da
¯ g ¯… per cui ho
 PrA (¯  PrA(¯ PrA(¯ g ¯) ¯) ¯)
……
PrA(¯ g ¯) è una formula metaritmetica
solo per illusione!
Implicazioni logico-filosofiche
1)
2)
3)
non si può confondere il codice col codificato, PrA(¯ g ¯)
con PrA(¯ g ¯) : l’incompletezza semantica scaturisce
per illusione
PrA(¯ g ¯) non si può trattare come genuina formula
aritmetica: l’incompletezza sintattica scaturisce per
illusione
PrA(¯ g ¯) non si può trattare come una formula, è una
formula solo per illusione! Il teorema di Gödel è un
teorema solo per trucco
Implicazioni logico-filosofiche
L. Wittgenstein, Grammatica filosofica
La matematica consiste tutta di calcoli
Ho detto “calcolo” non è un concetto matematico. Questo vuol dire
che la parola “calcolo” non è una pedina della matematica. Non
c’è bisogno che compaia in matematica
In matematica non si può parlare di sistemi in generale ma solo entro
sistemi. Questo sono proprio ciò di cui non si può parlare
In matematica tutto è algoritmo, niente è significato; anche là dove par
così è perché ci sembra di stare parlando delle cose
matematiche con parole. Anzi allora costruiamo un algoritmo
proprio con queste parole.
La proposizione dice che questo numero non può essere ottenuto da
questi altri numeri in questo modo. Ma sei sicuro di averla
tradotta bene […]? Certo sembra di sì. – Ma non è possibile che
ti sia sbagliato?
Implicazioni logico-filosofiche
Interpretazione “inflazionista”
Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile
in A attraverso gli strumenti del calcolo logico
La verità aritmetica sporge
sulla derivabilità logica in A
Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità
(meta)aritmetica…
…allora…
…mente umana è diversa dalla macchina
L’interpretazione “teologica” di Gödel
ripresa da Lucas e Penrose
Così è inevitabile la seguente disgiunzione: o la
matematica è incompleta nel senso che i suoi
assiomi evidenti non possono mai essere
compresi in una regola finita, cioè la mente
umana (persino nell’ambito della matematica)
sorpassa infinitamente la potenza di qualsiasi
macchina finita, oppure esistono problemi […]
del tipo specificato assolutamente indecidibili
[…]
Gödel 1951
L’intepretazione di Gödel
Ha comunque significato “anti-materialistico”
- rispetto alla natura della mente («l’attività della mente non
può essere ridotta all’attività del cervello, il quale ha tutte
le sembianze di una macchina finita con un numero finito
di parti, vale a dire i neuroni e loro connessioni»)
- Rispetto alla matematica, che non sarebbe solo una
creazione nostra («infatti il creatore conosce
necessariamente tutte le proprietà delle sue creature,
perché queste non possono averne altre da quelle
ricevute. Così questa alternativa, secondo la quale
esistono proposizioni matematiche assolutamente
indecidibili sembra implicare che gli oggetti e i fatti
matematici […] esistono oggettivamente e
indipendentemente dai nostri atti e decisioni mentali, vale
a dire, sembra implicare, qualche forma di Platonismo o
realismo nei confronti degli oggetti matematici»)
L’interpretazione di Gödel
In che senso la mente sorpassa la potenza di qualsiasi
macchina?
Che la mente sia assimilabile ad una macchina
significa dire che:
- esiste un sistema formale T che rappresenta tale
macchina
- conoscere P da parte della mente significa conoscere
che P è derivabile in T
- La mente conosce formule come PrT (¯ g ¯) e sa
che essa non è derivabile in T, e quindi vera, se T è
consistente
- La mente sorpassa la macchina…
L’intepretazione di Gödel
La mente sorpassa la macchina…
… se conosce la consistenza di T
La mente conosce: Cons(T)  PrT(¯ g ¯) ,
Conosce PrT(¯ g ¯) , e la sua verità, se conosce
Cons(T)
L’interpretazione di Gödel
Conosce la mente umana Cons (A)?
Esistono dei mezzi formali per dimostrare Cons (A) collocabili ad un livello
formale più complesso di A (a livello di qualche teoria più potente T che
include A come sottoteoria) ma comunque accessibili anche alla
macchina! Quindi, riguardo ad A, la mente umana non conosce di più
della macchina!
T (e la macchina) può dimostrare la consistenza di A non quella di T. In
generale, la macchina non può sapere nulla della sua consistenza.
Sapere o credere per la macchina significa derivare e derivare la
consistenza è precluso dal secondo teorema di Gödel…
… mentre la mente sa di essere consistente
Davvero la mente sa di essere consistente?
Può darsi che la mente non sappia di più ma che sappia diversamente?
la macchina dimostra la consistenza di A,
la mente intuisce la consistenza di A…
Intuizione matematica
Che cosa significa intuire la consistenza di A?
Intuire il modello di A, intuire un’infinità attuale
Quale teorie dell’intuizione matematica rendono
ragione dell’intuizione del modello di A?
Che cosa significa intuire
in matematica?
intuizione platonista
vs.
intuizione quasi-costruttiva
vs.
credenza nella consistenza
Interpretazione platonistica
Con ciò [Platonismo] intendo il punto di vista che la matematica
descrive un realtà non sensibile che esiste indipendentemente
sia dagli atti che dalle disposizioni della mente umana e che è
percepita, e probabilmente percepita in maniera assai
incompleta, dalla mente umana. [Goedel 1951, p. 323]
Nonostante la loro distanza dall’esperienza sensoriale, abbiamo
in qualche modo una percezione degli oggetti della teoria degli
insiemi, come appare dal fatto che gli assiomi si impongono
come veri. Non vedo motivi per avere meno fiducia in questo
tipo di percezione, cioè nell’intuizione matematica, che nelle
percezioni sensoriali che ci inducono a costruire le teorie fisiche
[…] si deve fare continuamente appello all’intuizione in
matematica […] anche per risolvere problemi della teoria dei
numeri finitista (del tipo della congettura di Goldbach) […]
[Goedel 1947, pp.133-6]
Interpretazione platonistica
ma…
il Platonismo è filosoficamente problematico
Quale evidenza dell’ammissione di un regno di enti
matematici mind-independent?
Non sono possibili spiegazioni della matematica (o
dell’assunzione della sua consistenza) più
economiche?
Interpretazione quasi costruttiva
Gerarchia cumulativa di tutti gli insiemi ovvero l’universo
matematico:
intuitivo perché correlato di atti mentali che possiamo
intendere come possibilità di una mente più che
umana
L’universo insiemistico
Interpretazione costruttivista (infinitaria)
[…] La stessa interpretazione della teoria iterativa degli insiemi
richiederebbe che gli stadi fossero pensati come una sorta di
“super-tempo” di una struttura più ricca di ogni struttura che può
essere rappresentata nel tempo secondo ogni resonconto
intellegibile di costruzione nel tempo. È difficile vedere quale
nozione di mente idealizzata potrebbe fare al caso qui; essa
differirebbe non solo da ogni mente finita ma anche dalla mente
divina come descritta dalla teologia razionale, ché quest’ultima o
è pensata come nel tempo […] o, altrimenti, è completamente
libera da successione.
[Parsons 1975, in BP 507]
Alternativa?!?
We must at some point say that we believe in the soundness
of our mathematics in a way that is not at all dissimilar to
religious belief
V. F. R. Jones, Fields Medal
Credenza nella consistenza
Se di fede si tratta, si tratta di fede ragionevole…
Teoria degli insiemi: successive estensioni di sistemi
assiomatici ove
- i più “forti” implicano la consistenza dei più “deboli”
Cons (A)  Cons (ZFC)  Cons (ZFC + CI)  …
- la consistenza dei più forti resta non dimostrata
“appoggiamo il piano terra di un edificio al primo piano, questo ancora al
secondo piano, ecc.”, Skolem 1922
ma la assunzione della stessa è fondata, tra l’altro sul
successo delle teorie così estese…
Credenza nella consistenza
E se il corpus della matematica “fondato” sulla
teoria degli insiemi rivelasse delle contraddizioni
– ciò che non siamo nelle condizioni di
escludere?
Non è forse più sensato interpretare i teoremi di
Godel come tali da mostrare che il corpus delle
matematiche è contraddittorio – e, ciò nonstante,
non da buttare?
Credenza nella consistenza
Matematica: unica e include A, ZFC, ZFC + IC e i rispettivi linguaggi
ecc.
Provare = provare in una qualsiasi teoria matematica
Verità = provabilità in una qualsiasi teoria matematica
esiste una prova matematica di PrA (¯ g ¯),
PrA (¯ g ¯) è vero
non esiste una prova matematica di PrA(¯ g ¯),
Cioè la matematica è contraddittorio.
Che male c’è?
Credenza nella consistenza
11. Supponiamo che io provi che P non può essere provata (nel
sistema di Russell): con questa prova ho provato P. Ora, se questa
proposizione appartenesse al sistema di Russell – avrei
contemporaneamente provato l’appartenenza e la non appartenenza
di questa proposizione al sistema di Russell. – Ecco cosa capita a
costruire proposizioni di questo genere – Ma qui c’è una
contraddizione. Ebbene sì, qui c’è una contraddizione. Nuoce a
qualcuno qui?
(Wittgenstein, Considerazioni sui fondamenti della matematica)
Ma da p   p qualsiasi asserto è derivabile
Nel sistema di Frege si può arrivare a p   p. Se da questo puoi trarre
le conclusioni che vuoi allora per quanto ne so questa è l’unica difficoltà
a cui si può andare incontro. E io direi: “Ebbene evita di trarre
qualsisasi conclusione da una contraddizione”
(citato in F. Berto, 2008, p. 245)
Esistono sistemi formali per l’aritmetica incoerenti (formalizzati in una logica
diversa da quella classica) ma non triviali (tali da dimostrare qualsiasi cosa),
sintatticamente completi e decidibili.
Implicazioni logiche…
• Benchè PrA (¯ g ¯) abbia un significato aritmetico solo derivato,
è già qualcosa di notevole relativamente all’aritmetica che LA
sia capace di “parlare di se stesso” e produrre così enunciati
aritmetici in senso “derivato” che non sono dimostrabili né
confutabili in A e, in più, passibili di interpretazioni (benchè
metaritmetiche e non aritmetiche) che la rendono vera.
Cosa significa ciò alla luce della
completezza della logica del primo ordine usata in A?
 A ha modelli diversi (non isomorfi)
 Non siamo in grado di dominare con mezzi puramente
formali il modello dell’aritmetica
Riferimenti bibliografici
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N.B. I testi contrassegnati da  sono in italiano o disponibili in traduzione
italiana