Seconda Università degli Studi di Napoli
Dipartimento di Ingegneria Civile
Aversa (CE)
SULLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI MULTIDOMINIO
MEDIANTE EQUAZIONI INTEGRALI
T. Colella, V. Minutolo
Equazioni integrali:
recenti sviluppi numerici e
nuove applicazioni
27-28 SETTEMBRE 2007
PARMA
T. Colella, V. Minutolo
CONTENUTI

ATTIVITA’ DI RICERCA

PROCEDURA MULTIREGIONE

LE EQUAZIONI AUSILIARI

ESEMPI NUMERICI

CONCLUSIONI
27-28 Settembre Parma
Equazioni Integrali: recenti sviluppi numerici e nuove
applicazioni
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MATERIALI A PROPRIETA’ VARIABILI
FUNZIONALMENTE
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FGM
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FGM
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FGM
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FBEM
Constitutive relation
 ij ( x)  Cijhk ( x) ( x)
hk
Equilibrium equation of the structure
(Cijhk ( x)uh,k ( x)), j  bi ( x)  0
Field Boundary Integral Equation
*
J li  y  ui  y    bi ( x)uli* ( x, y )dV   ti ( x)uli* ( x, y )dS   Cijhk ( x) lhk
( x, y )n j ( x)ui ( x)dS
V
V
V
*
*
  Cijhk ( x) lhk
, j ( x, y )ui ( x) dV   Cijhk , j ( x) lhk ( x, y )ui ( x) dV
V
V
Sistem of Equations
ˆ
u B  H
H     B
ˆ
uV  H
VB
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ˆ  u  G 
H
b B 
BV
B
B
    P   
ˆ  uV  GV 
H
bV 
V 
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Confronto con il FEM
FBEM vs FEM
1,79
1,78
1,77
E(x)
1,76
1,75
FEM
FBEM
1,74
1,73
2
4
6
8
10
Q
y
x
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RECTANGULAR PLATE WITH HOLE, ISOTROPIC AND HETEROGENEOUS
MATERIAL, EXPONENTIAL MATERIAL VARIATION ALONG X DIRECTION ,
UNIFORM LOAD CONDITION, VERTICAL DISPLACEMENT DEPENDING ON THE
NUMBER OF DIVISION OF THE CONSTRAINED BOTTOM SIDE.
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Applicazione alla frattura elastica per
materiali FGM
.
The displacement at crack tip is extrapolated by means of radial expansion:
u y (r )
r
where u y  r 
 C1  C2 r
is the Mode I displacement and r is the distance from crack tip.
The numerical value of SIF is calculated assuming, that within a small neighbourhood of the crack tip,
the elastic modulus of the material is Et and can be assumed to be constant.
KI 
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2 Et
4 1  
2

lim
r 0
uy  r 
r

2 Et
4 1   2 
C1
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Alcuni Risultati
q
l
q
E(x)
l
E(0)
y
x
a
a
E(l/2)
x2
x1
l
a
l/2
q
A quarter of the plate where solution is sought,
geometry, load, and modulus variation
l
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Alcuni Risultati
8.00
7.00
KI
6.00
5.00
2 a/l = 0.75
4.00
2 a/l = 0.5
3.00
2 a/l = 0.25
2.00
1.00
0.00
0.00
0.20
0.40
0.60
1
E /E
0.80
1.00
0
Mode I Stress Intensity Factor, KI, Vs Young modules ratio for different crack length, a.
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Alcuni Risultati
q
E(x)
l
1
0.8
y
x
A
B
a
0.6
a
0.4
l
0.2
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
q
l
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Alcuni Risultati
uy
SIF
2,50E-04
0,017
0,016
2,00E-04
0,015
1,50E-04
22
1111
0,014
Ka
KI
uy
55
Kb
2222
5555
1,00E-04
0,013
0,012
5,00E-05
0,011
0,010
0,00E+00
6,00E+00 6,50E+00 7,00E+00 7,50E+00 8,00E+00 8,50E+00 9,00E+00 9,50E+00 1,00E+01 1,05E+01 1,10E+01 1,15E+01 1,20E+01
x
1
2
3
4
5
0022
0055
1111
2222
5555
n
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Tecnica multidominio
Tale formulazione è utilizzata di consuetudine quando il dominio è
omogeneo a tratti ma essa risulta utile in altri casi al fine di evitare problemi
numerici o migliorare l’efficienza computazionale. Nella meccanica della
frattura le difficoltà numeriche che nascono a causa della vicinanza dei nodi
della cricca scompaiono nel caso in cui si decida di utilizzare la tecnica di
decomposizione del dominio. Nell’analisi elasto plastica si rivela opportuno
separare le zone soggette a deformazioni plastiche, che necessitano quindi
di discretizzazione sul dominio, dalla restante zona elastica. Per problemi con
un elevato numero di incognite la suddivisione permette di ottenere matrici
risolutive bandate, computazionalmente più agevoli da trattare. In tali casi
l’incremento del numero delle incognite incide lievemente sui vantaggi legati
all’utilizzo di tale procedura. Per gli FGM permette di trattare separatamente
le zone gradate e quelle omogenee.
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Tecnica multidominio
La procedura di base consiste nell’applicare la formulazione integrale in ogni singola
regione, imporre le condizioni al contorno in forma locale ed ottenere il sistema risolutivo
finale mediante un insieme di equazioni d’interfaccia. Particolare attenzione va rivolta però
nella scrittura di tali equazioni per le interfacce sul contorno e per gli spigoli ed i bordi
interni. Nascono infatti singolarità a causa della discontinuità dei flussi su contorni non
regolari e della dipendenza tra le equazioni d’interfaccia tra le variabili di campo. Un
semplice modo per evitare il problema è quello di regolarizzare i contorni (Jaswon e Symm,
1977) ma evidentemente ciò non è sempre possibile per problemi multi regione.
Alternativamente, è possibile assumere un unico valore della traction, cioè imporre che le
tensioni superficiali sono uguali su superfici contigue (Cruse, 1974), ciò però viola la
condizione di equilibrio. Alcuni autori propongono di introdurre nodi addizionali e quindi
sviluppare equazioni ausiliari che permettono la risoluzione del problema in esame. Per
l’elasticità bidimensionale, Chaudonneret (1978) derivò equazioni ausiliari, basate sulla
simmetria del tensore delle tensioni e sull’invarianza della traccia del tensore di
deformazione. Wardle and Mustoe (1980) usarono un’interpolazione polinomiale per stabilire
relazioni tra le tensioni superficiali e gli spostamenti. Rudolphi (1983) descrisse un
implementazione per problemi con sottodomini usando elementi quadratici, includendo
discontinuità sulle componenti di tensione. Zang e Mukherjee (1991) generarono equazioni
ausiliari, per stati piani di deformazione, esprimendo le tensioni agli spigoli come una
combinazione lineare delle traction e delle derivate tangenziali degli spostamenti. Alcuni
autori assumono un unico valore dello stato di tensione agli spigoli, cosa non valida in
generale (Zang e Mukherjee, 1991). Eliminare tali problematiche con l’utilizzo di “elementi
discontinui”, comporta significanti svantaggi in termini di stabilità della soluzione, sforzo
computazionale
e
accuratezza
(Wilde
1998).
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Formulazione multi dominio
in elastostatica bidimensionale
H
i
j
ij
i
H
j





u j 

p j 

H ji    G j G ji  


u ji 

p ji 




uij  u ji
pij  p ji
i
Esempio di dominio multiregione bidimensionale
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j
ui 
pi 
Hij    G i G ij  
uij 
pij 
H i

 0
ui 
pi 
H ij 0     G i G ij 0   
 u ji   
 pij 
H ji H j     0  G ji G j   
u j 
p j 
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Le equazioni ausiliari per i nodi interni
Nell’elastostatica bidimensionale l’applicazione di una
procedura multidominio può creare problemi quando c’è
la presenza di nodi interni in cui convergono più di due
regioni. Alle intersezione infatti, gli spostamenti sono
univocamente definiti ma le tensioni superficiali hanno
in generale più valori in funzione delle differenti normali.
In tal caso due delle equazioni d’interfaccia sulla
congruenza degli spostamenti diventano linearmente
dipendenti e non è più possibile risolvere il problema
con tecniche standard.
k
i
j
Nodo interno d’intersezione tra tre regioni
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Le equazioni ausiliari per i nodi interni
E’ possibile costruire altre due equazioni cosiddette “ausiliari” da
semplici considerazioni di equilibrio dell’intorno del nodo
d’interfaccia. Definito un cerchio di raggio r con centro nel punto
d‘intersezione e scelto un verso positivo di percorrenza, traslando i
contorni di ogni singola regione e possibile costruire un intorno del
punto in esame.
Al limite per il raggio del cerchio che tende a zero i contorni di tale
intorno vanno a coincidere con gli originali contorni delle regioni in
esame.
Scrivendo l’equilibrio alla traslazione dell’intorno così costruito
lungo le due direzioni coordinate, si ottengono le seguenti due
equazioni ausiliarie che eliminano la singolarità del sistema
risolutivo finale:
nk
k
nj
r
i nk
ni
ni
nj
j
  ik 
  jk 
  jk 
 ij  
 ij  
 ik  
tix  cot    cot     t jx  cot    cot     t kx  cot    cot     0






 2 
 2 
 2 
 2
  2 
  2 
  ik 
  jk 
  jk 
 ij  
 ij  
 ik  
tiy  cot    cot     t jy  cot    cot     tky  cot    cot     0






 2 
 2 
 2 
 2
  2 
  2 
.
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Intorno del nodo d’interfaccia
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Esempi numerici
q=1000 daN/cmq
P
G=800000 daN/cmq
=0.3
ux=0
uy=0
l/2=6 cm
Lastra quadrata soggetta a trazione, modello analizzato
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Esempi numerici
Il problema è stato analizzato prima mediante una formulazione a dominio singolo
successivamente mediante una serie di schemi multiregione al fine di testare le suddette equazioni
ausiliari e di mostrare la sensibilità del metodo nei confronti della suddivisione interna.
SCHEMA 2
SCHEMA 1
SCHEMA 0
SCHEMA 3
SCHEMA 4
SCHEMA 5
Schemi analizzati
SCHEMA
0
1
2
3
4
5
UP
1.13E-03
1.12E-03
1.12E-03
1.46E-03
1.24E-03
1.19E-03
VP
2.63E-03
2.64E-03
2.64E-03
2.62E-03
2.75E-03
2.66E-03
Spostamento del punto P al variare dello schema
Si nota come nella maggior parte dei casi la variazione sul risultato rispetto alla formulazione
standard riguarda la terza cifra significativa. In particolare i risultati sono fortemente influenzati
dalla differenza degli angoli concorrenti nel nodo. Ciò è dovuto all’irregolarità del risultante
intorno del nodo interno. Da notare che l’equazioni in esame divergono quando un angolo
tende a  , cioè nel caso che uno dei contorni sia regolare.
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Conclusioni
Si è proposta una metodologia per la scrittura di equazioni ausiliari per
la risoluzione di problemi multiregione nell’ambito del metodo agli
elementi di contorno. Essa presuppone solo la condizione di equilibrio
e non dipende né dalla legge costitutiva né dal campo di spostamenti. Il
concetto di equilibrio dell’intorno del punto d’interfaccia è stato
applicato per l’elastostatica bidimensionale di materiali omogenei,
ulteriori sviluppi potranno riguardare problemi tridimensionali, analisi
non lineari e materiali eterogenei.
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GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE
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