Precorso (seconda parte)
Cos’e’ la Dinamica?
Concetto di forza
Principi della Dinamica / Leggi di Newton
esercizi
Esempi di forze
1
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Che meccanismo causa la variazione del moto?
Dinamica
La forza è una grandezza vettoriale cioe’ caratterizzata da
una intensità (il modulo)
una direzione
un verso
Esse modificano lo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme di un corpo.
Quindi producono un’accelerazione (effetto dinamico) anche se non sono a contatto del
corpo su cui agiscono; oppure una deformazione (effetto statico). Esempi: forza
gravitazionale (o forza peso), forza elastica(legge di Hooke), forze elettromagnetiche,
ecc...
Semplificando:
forze di contatto: esprimono risultato di contatto fisico tra corpi
forze a distanza: agiscono attraverso
lo spazio vuoto (campi di forze)
forza gravitazionale
forza elettrica
forza magnetica
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
2
3
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Le interazioni fondamentali :
1) gravitazionale
interazione tra masse (es.: pianeti,stelle, galassie…);
forza attrattiva; raggio d’azione infinito
2) Elettromagnetica
interaz. tra cariche elettriche;
repulsiva ed attrattiva, raggio d’azione infinito;
ruolo fondamentale nella struttura atomi e molecole
processi chimici e biologici
3) interazione forte
interaz. tra “quarks”, a “corto raggio” (-5 m);
Struttura dei nuclei atomici;processi di fissione e fusione nucleare
4) interazione debole
decadimenti radiativi, dinamica stellare
4
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Leggi della dinamica(1)
Principio di inerzia
Ogni corpo mantiene il suo stato di quiete o di
moto rettilineo uniforme se non e’ costretto a
modificare il suo stato per effetto di una forza
risultante non nulla.
Esperienza: un corpo in moto dopo un po’ si ferma.
Ma sulla Terra nessun corpo è isolato: c’è sempre attrito.
Riducendo l’attrito si prolunga il moto.
Se non ci fosse attrito il moto continuerebbe all’infinito.
5
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Sistemi di riferimento inerziali
La prima legge di Newton
non vale in tutti i sistemi di
riferimento
un sistema di riferimento è
inerziale se in esso vale
la prima legge di Newton
qualunque sistema di riferimento in moto con velocità costante
rispetto ad un riferimento inerziale e anch’esso inerziale
la terra non è un sistema inerziale:
ac = 4.4 10-3 m/s2
sole)
ac = 3.37 10-2 m/s2
accelerazione centripeta
verso il Sole (moto attorno al
accelerazione centripeta
verso il centro della terra
(moto attorno all’asse terrestre)
sono accelerazioni piccole rispetto a g = 9.8 m/s2
 si suppone che un sistema di riferimento vicino alla
superficie terrestre sia un riferimento inerziale
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Leggi della dinamica(2)
Seconda legge di Newton
L’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza
risultante su di esso e inversamente proporzionale alla sua massa



Fris  F  ma
 Fx  m a x

 Fy  m a y

 Fz  m a z
[N.B. si considerano solo le forze che agiscono sul corpo
non tutte le forze presenti nel problema!!]
un corpo è in equilibrio quando
la somma di tutte le forze agenti è nulla
Questo principio introduce il concetto di massa: una conseguenza del fatto che
l’effetto dinamico di forze diverse sullo stesso corpo produce accelerazioni
diverse, ma tali da avere un rapporto costante tra forza e accelerazione:
7
F1/a1 = F2/a2 =....= costante = m
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Vale il principio di sovrapposizione delle forze (proprieta` additiva);
Fi = m ai
 proprietà intrinseca di un corpo
massa
 indipendente da ciò che lo circonda
 indipendente dal metodo di misura
 grandezza scalare fondamentale
massa  peso
 obbedisce alle regole di aritmetica
Nel S.I. il Kg e` l’unita` di massa e il Newton e` l’unita` delle forze:
1N = 1kg·1m/s2
Nel sistema cgs l’unita` derivata della forza e` la dina (1 N = 105 dine).
densità
densità =
In simboli
massa
volume
r= m/V
U.D.M. in S.I. kg/m3
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8
Esercizio di conversione di unità di misura
Densità dell’acqua:
1 g/cm3 = (10-3 kg)/(10-6 m3) = 103 kg/m3
= (10-3 kg)/(10-3 dm3) = (10-3 kg)/(10-3 l) = 1 kg/l
= (1 g)/(10-3 dm3) = (1 g)/(10-3 l) = 103 g/l
9
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Problema: un disco di massa 1Kg che scorre su una sup.orizzontale priva d’attrito
viene colpito contemp. con due bastoni che esercitano due forze parallele alla
superficie orizz., con direz. e verso in fig..Determinare l’accelerazione impressa al disco
se i modulo delle forze sono F1=6 N; F2=10 2 N
y
F2
45°
Suggerimento: scomporre in componenti
20°
F1
x
Che terza forza bisogna applicare al disco perche’ la sua accelerazione sia nulla?
10
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Leggi della dinamica (3)
Principio di azione e reazione
Se un corpo B esercita una forza su un corpo C, a sua
volta C esercita su B una forza uguale e contraria
FBC = - FCB
esempio:
libro B appoggiato
su cassetta C
FBC = forza esercitata
dal libro sulla cassetta
FCB = forza esercitata
dalla cassetta sul libro
le forze di azione e reazione agiscono sempre su corpi diversi:
non si combinano in una forza risultante;
non si elidono a vicenda.
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esempio:
F = 36 N
mastronave = 11000 kg
muomo = 92 kg
36
 0.0033 m / s 2
11000
- 36
auomo 
 -0.39 m / s 2
92
aastronave 
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Fapp
C
D
Fapp=30 N
MC=5 kg
x
Fapp
C
MD = 10 kg
FDC
x
FCD
D
x 2) Francesca De Mori
Corso propedeutico di Fisica (Parte
13
Esercizi
1) Un corpo di massa 3.00 kg subisce un’accelerazione data da

a  (2.00iˆ  5.00 jˆ)m / s 2
Deeterminare la forza che la provoca e il suo modulo.
2) Su un corpo di massa 2 kg inizialmente fermo nel punto P di coordinate
(-2.00m,4.00 m) agiscono due forze:

F1  ( -6iˆ - 4 jˆ)N

F2  ( -3iˆ  7 jˆ)N
Determinare dopo t=10s
a)Le componenti della velocita’
b) La direzione del moto
c) Lo spostamento
d) Le coordinate della particella
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3)Ho due forze (F1=20 N,F2=15N) applicate ad un corpo di massa m=5 kg
con direzioni e verso indicate in figura:
F2
F2
6°
m
m
F1
F1
Determinare modulo,direzione e verso della forza risultante e modulo,direzione
e verso dell’accelerazione
4)Tre forze:

F1  ( -2.00iˆ  2.00 jˆ)N

F2  (5.00iˆ - 3.00 jˆ)N

F3  ( -45.00iˆ)N
Agiscono su un corpo imprimendogli un’accel. a=3.75 m/s2
a)Qual’e’ la direzione e il verso dell’accel.?
b)Qual’e’ la massa del corpo?
c)Se il corpo e’ inizialmente fermo, qual’e’ la velocita’ dopo 10 s?
d) Quali sono le componenti della vel. dopo 10 s?
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Oltre al suo peso un oggetto di 2.8 kg e’ soggetto ad un’altra forza costante.
L’oggetto parte da fermo e in 1.20 s compie uno spostamento:

s  ( 4.2iˆ - 3.3 jˆ)m
Calcolare modulo, direzione e verso della forza costante applicata.
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Esempi di forze
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Forza gravitazionale
Tra due corpi di massa m1 e m2, posti a distanza r,
si esercita sempre (non solo sulla Terra! )
una forza di attrazione:
ATTRAZIONE


Gm1m2 r
F r2 r
m1

r
m2
G = 6.67•10–11 N•m2/kg2 costante di gravitazione universale
- diretta lungo la congiungente tra i due corpi
- proporzionale alle due masse
- inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza
se il secondo corpo è la terra:
diretta verso il centro della terra


Fg  m1 g
Forza Peso
g varia con la posizione geografica (~ 9.8 m/s2 sulla sup. della terra)
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diminuisce all’aumentare
dell’altezza
h
dalla
superficie
terrestre
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
La regione di spazio vicina alla superficie della Terra è sede di un campo di forza
gravitazionale: ogni corpo di massa m che si trova in quella regione risente di una
forza peso diretta verticalmente verso il centro della terra
L’intensità del campo gravitazionale si estende fino a infinito (ma varia come r-2)
ed una massa m viene attratta con intensità g = F/m.
Quanto vale la forza gravitazionale tra la Terra e un corpo di massa m= 1 kg
posto sulla superficie della Terra? Dati Terra: MT = 5.98 •1024 kg, RT = 6.38 •106 m
mM
r2

6.67  10-1 1 Nm 2 kg 2 )  1 kg )  5.98  1024 kg )

6.38  106 m )2
 9.799 N
FG



P  -mg j  mg
n.b.:
gterra  9.8 m / s 2 
gluna  1.7 m / s 2
m
F
R
MT
pterra  pluna
mterra  mluna
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Bilancia a bracci uguali
Bilancia a molla [dinamometro]
Il peso del corpo allunga
molla tarata in unità di massa o peso,
muovendo un indice su scala graduata
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Esercizi
Moto di caduta di un grave( trascurando l’attrito dell’aria): sempre uniformemente
accelerato con accelerazione di modulo(g=9.8 m/s2).
Se m= 2kg in 10 s quanto spazio h percorre e che velocita’
raggiunge?
m
P
v = g t ; h = ½ g t2
se m=2 Kg quanto tempo ci mette a raggiungere terra se
cade da altezza h=100 m ?
t =  2h/g
v =  2gh
E se invece il corpo di massa m viene lanciato verso l’alto con una velocita’
iniziale v0 =5 m/s a che altezza inizia a ricadere verso terra?
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Reazioni vincolari
Se un corpo preme su una superficie:
la superficie si deforma (anche se apparentemente rigida)
spinge il corpo con forza normale N
N è sempre perpendicolare alla superficie stessa
Fy  N - Fg  m ay
N - mg  m ay
N  mg  may  m ( g  ay )
ay  0
N
 mg
la forza normale bilancia il peso e determina l’equilibrio
La presenza di “vincoli” che limitano le possibilità di movimento di un corpo determina lo
sviluppo di forze dette “reazioni vincolari”, dipendenti dalle altre forze agenti sul corpo
(es., forza peso) e dal moto che il corpo è vincolato a compiere:
22
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
che differenza c’è tra forza normale e forza peso ?sono sempre uguali ?
y
In componenti:
N
N – Py = may=0
Px= max
x
In cui :
Px=mg sin q
Py=mg cos q
Dunque :
N = Py =mg cos q e ax =g sin q
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Tensione
filo fissato ad un corpo soggetto ad una forza
il filo è sotto tensione
il filo esercita sul corpo una forza di trazione T diretta lungo il filo nel verso
di allontanamento del corpo con modulo
PULEGGIA
Assumo: filo privo di massa(trascurabile rispetto alla massa del corpo)
e inestensibile.Esso e’ solo un collegamento tra i corpi.
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Esercizio
M
N
Calcolare la tensione T e l’accelerazione
del blocco di massa m e quella del blocco di
massa M appeso:
se m=6 kg e M=2 kg
se m=20kg e M=2 kg
 se m=2 kg e M=20kg
T
PM
T
[puleggia priva di massa e senza attrito,
corda insestensibile]
m
M
Pm
y
N
DIAGRAMMI
DELLE FORZE
a
T
a
x
PM
y
m
T
Pm
x
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Quali sono modulo direzione e verso della forza T applicata
al blocco dalla corda e della forza normale N applicata
al blocco dal piano? [m1=10 kg]
Se la corda viene tagliata
il blocco scivola giu.
Con che accelerazione?
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Per che valore di m2 i blocchi rimangono fermi(equilibrio)?
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
mB
T
T
Fapp=50N
Fapp
mA
mB=15 kg
ma=10 kg
NB
PB
T
T
PA
NA
Fapp
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Forza di Attrito
Si oppone al moto
N
fd
v
f s  s N
f d  d N
s coefficiente attrito statico
d coefficiente attrito dinamico
s, d dipendono dai materiali a contatto [0.05 <  < 1.5]
d < s
s, d non dipendono dall’area di contatto
fs, fd
parallele alla superficie e opposte al moto
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
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1)Ho un blocco di 10 kg sul pavimento orizzontale per cui s=0.3.
Determinare la forza di attrito(modulo direzione e verso) e l’eventuale acc.
se lo spingo con una forza parallela al pavimento di:
a) 0N
b) 10 N
c) 20 N
d) 30 N
e) 40 N
Se vogliamo tenere fermo un blocco premendolo con una forza F
perpendicolare alla parete senza che esso scivoli sotto l’effetto della
forza peso. Quale deve essere il rapporto tra la massa e la forza
applicata
Fa
Fapp
N
P
Fapp
P
Fa
N
30
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Se s.4 fino a quale angolo ail blocco rimane fermo?
y
Fs,max=sN

 
Fas  N  P  0
h
a
d
x
Fas  0 - mg sin a  0
0  N - mg cos a  0
N  mg cos a
Fas  mg sin a
Fas
tga 
 s
N
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
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La slitta(m=100 kg) viene tirata su una sup.orizzontale
(coeff. d’attrito din tra pattini e neve k.e f4°)
a velocita’ cost. Qual’è il modulo della tensione della fune
di traino?
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Ammettendo che il coeff. d’attrito sia cost. A che vel. stava andando l’auto
Al momento del bloccaggio delle ruote se lo spazio di frenata è stato di 290 m?
33
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Forza elastica
legge di Hooke
esempio: molla
F  -k ( x - x0 )
osservabile x indica l’attuale estensione
della molla, x0 la sua lunghezza a riposo
COSTANTE ELASTICA
STATO DI RIPOSO
Principio di azione e reazione:
la forza esercitata dalla molla ha
modulo e direzione uguali, verso opposto
a quella da noi applicata per comprimerla
o estenderla
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Forza centripeta [moto circ. unif.]
Moto circ.unif.:
corpo con velocità v costante in modulo
lungo traiettoria circolare
subisce accelerazione centripeta:
esempio: disco su traiettoria circolare

2

v R
ac  R R


v2 R
Fc  -m
R R
inerzia del disco: moto su linea retta
T
tensione del filo: mantiene
traiettoria circolare
v2
 Fc  mac  m
r
se rompo il filo il disco si muove lungo
linea retta tangente alla circonferenza
esempio: satellite attorno
alla terra (F = mg)
Corso propedeuticor di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
35
Se ho una palla di 70 g legata all’estremita’ di una corda che ruota
di moto circ. uniforme su R=0.5 m compiendo 2 giri al secondo,
qual’e’ l’accelerazione centripeta?Qual’e’ la forza centripeta?
Quali sono direzione e verso delle stesse? Qual’e’ la velocita’
della palla?
Cosa cambia se R raddoppia?
Un’automobile di 1200 kg fa una curva di raggio 45 m.
Se il coefficiente di attrito statico tra i pneumatici e la strada e’ s=0.82
qual’e’ il valore max per il modulo della velocita’ perche’ l’auto possa
Curvare senza slittare?
N
Fa
P
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Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Esempio :curva di una strada
Una curva sopraelevata di raggio 190m è inclinata di un angolo tale da
permette di percorrerla senz'attrito alla velocità di 50km/h..Calcolare
l’angolo
N
Fa
P
N cos   P  mg
mv
N sin   Fc 
r
2
v2
tan  
rg
Q  5.92o
Se un'automobile percorre questa curva a 100km/h, qual è il minimo
coefficiente di attrito tra pneumatici e strada perchè l'auto non slitti ?
N cos  - f sin   mg
N cos  - N sin   mg
mv 2
N sin   f cos  
r
mv 2
N sin   N cos  
r
Risolvere
rispetto a 
37
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Centrifuga
Utilizza una forte acc.centripeta per svolgere compiti come la separazione
dei globuli bianchi e rossi del sangue dal siero,separare materiali con caratteristiche diverse etc..etc.
Essa puo’ produrre una acc.centripeta molte migliaia di volte quella di gravita’.
Le ultracentrifughe oltre 106 g.
Nel nostro esempio il rotore della centrifuga ruota a 50000 rpm(rivoluzioni
al minuto).Il bordo superiore di una provetta lunga 4 cm si trova a 6 cm dall’asse
di rotazione rispetto a cui la provetta e’ disposta perpendicolarmente. Il fondo
della provetta si trova a 10 cm dall’asse di rot. Calcolare in unita’ di g l’acc.centr.
all’estremita’ superiore e a quella inferiore della provetta.
ROTORE
v
ac 
R
2
A R
38
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Quantità di moto
Talvolta, anzichè la velocità, si preferisce usare
una grandezza ad essa collegata, l'impulso (o
quantità di moto), definito come p = mv.
Da questa definizione segue che, se la massa si
può ritenere costante, q è costante se F è nulla,
in quanto:
F = ma = mdv/dt = dp/dt.
39
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Precorso 2: parte seconda
Lavoro
Energia
Conservazione dell’energia totale
Energia cinetica e potenziale
Conservazione dell’energia meccanica
Forze conservative e dissipative
Potenza
esempio: corpo soggetto a forza variabile con la posizione
[forza di gravità, forza della molla] oppure traiettoria complicata
utilizzando le leggi di Newton non posso
calcolare la velocità del corpo in fondo alla
pista, pur conoscendo la velocità iniziale:
devo conoscere nel dettaglio la traiettoria:
molto complicato!!!
Scorciatoia: concetto di energia/lavoro
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
40
Lavoro (forza cost.)
Il lavoro L è una grandezza scalare, prodotto scalare dei
due vettori forza F e spostamento s, ossia L = Fs cos, il
cui segno è dato dal segno di cos. Si ha L = 0 per  = p/2:

il lavoro è nullo quando F e s sono ortogonali.
F
L’unità di misura del lavoro è il joule
1J = 1N·1m = 105 dine·100 cm = 107 erg
LAB   Fi si
lavoro: energia trasferita a un corpo
o da un corpo per mezzo di una forza
 lavoro > 0
cedo energia
 lavoro < 0
prelevo energia
a

s
Camminando con una
valigia in mano:
in piano  L=0
in salita  L<0
in discesa
 L>0
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
41
“Lavoro” compiuto da una forza :
v(t3)
v(t2 )
ds
v(t 1)
m
B

F

A

lavoro infinitesimo : dL  F  ds  Fds cos 
lavoro da A a B :
LAB
Esempio:


  dL   F  ds
lavoro della forza d’attrito dinamico:

ux
v
A
s
B
B
A
A
attr
LAB


attr
 F
 ds 
B
A

ˆ
 - D mgi  sAB  - D mgsAB
B
x
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
42


forza F(x) varia con la posizione x
suddivido il percorso in
x piccoli, così che F(x) = costante in x
= valore medio di F(x) in x
Lj  Fj x

espressione approssimata del lavoro:
L   Lj   Fj x

risultato esatto:
L  lim
x 0
 [F x ]   F (x ) dx
xf
j
xi
Corso =
propedeutico
di Fisicadalla
(Parte curva
2) Francesca
Morixi e xf
lavoro
area sottesa
F(x)Detra
43
lavoro fatto dalla forza peso [ in salita ]:
 
Lg  Fg  s  mg s cos( 180 0 )  -mg s
dopo avere raggiunto la
massima elevazione il corpo cade:
lavoro fatto dalla forza peso [ in discesa ]:
 
Lg  Fg  s  mg s cos( 00 )   mg s
44
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Energia
Energia =
capacità potenziale di compiere
lavoro meccanico
stessa unità di misura
del lavoro: joule
- cinetica
-
potenziale gravità
potenziale elastica
potenziale elettrica
termica (calore)
chimica
nucleare
...............
45
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Energia cinetica
Ogni punto materiale in movimento è dotato di energia in base alla sua
massa e alla sua velocita’
Energia cinetica: T = ½ mv2
[N.B.
più un corpo è veloce, maggiore è la sua energia
 corpo a riposo ha energia cinetica nulla ]

Da L = F·s = ma·s si ricava(forza cost., moto unif.accel.)
L
ma (v22 - v12 )
2a
1
 m(v22 - v12 ) T2 -T1
2
Teorema dell’energia cinetica( o delle forze vive)
L = T = T2-T1 = ½ mv22 – ½ mv21
il lavoro svolto da una forza nello spostare un corpo puntiforme
è pari alla variazione di energia cinetica del corpo(sia per forza costate
che variabile)
N.B. il teorema dell’energia cinetica è correlato ad una variazione del modulo della
velocità non ad una variazione del vettore velocità  risolvo molti problemi
46
maneggiando solo grandezze scalari
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Esempio: moto lungo un piano inclinato privo d’attrito
la reazione vincolare non compie lavoro
N
a
0
mg
condizioni iniziali:

l
dalla legge di Newton:
d 2x (t )
a
 g sin 
2
dt
x0  0,v 0  0
Integrando l’equazione
del moto:
x
v (t )  g sin t
x (t ) 
1
g sin t 2, x (tf )    tf 
2
2
g sin 
vf  v (tf )  g sin tf  2g sin 
Utilizzando il teorema dell’energia cinetica, si giunge allo stesso risultato:
=0
T T
f
1
-T  mvf2  Li f  mg sin 
2
i
vf 
2g sin 
lavoro della forza peso
47
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Forze conservative
Si tratta di forze per le quali il lavoro compiuto per
spostare un corpo da un punto A ad un punto B (o
viceversa) non dipende dal percorso effettuato.
Cio’ implicano l’esistenza di un’energia potenziale W.
A
(1)
(3) (2)
B
Sono conservative, per esempio le forze elastiche (F =
- kx, W = - ½kx2), le forze gravitazionali (F = mg, W =
48
mgh), e altre.
Corso propedeutico di Fisica (Parte 2) Francesca De Mori
Energia potenziale
Per un campo di forza conservativo, si definisce “energia potenziale”
quella funzione dei punti dello spazio tale che la sua differenza tra due
qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza
del campo per andare da A a B (lungo un qualsiasi percorso):
B
 




AB
W (r )  W (rB ) -W (rA )  -LA B  -  F (r )  ds
A
B
 




ossia:W (rB )  W (rA ) - LA B  W (rA ) -  F (r )  ds
A
W A W (xA , yA , zA )
A
ˆ
r
k
A
iˆ
o
jˆ
rB
F( r )
l’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria
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(= al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario)
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Poichè il lavoro compiuto da forze conservative è
L = W1 – W2, dal teorema delle forze vive si
ricava W + K = 0 per cui
W  T  0  (W T )  0
W T  Etot  E  0  Etot  costante
l’energia totale di un sistema può variare solo se viene
trasferita energia dal di fuori o al di fuori del sistema
Nella pratica, sono però anche presenti sempre forze non
conservative (per es. attrito, lavoro fisiologico, calore,
ecc...).Sono chiamate forze dissipative.
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Energia potenziale gravitazionale
Lavoro compiuto
da/contro la forza peso
• nella caduta da A a B
• nel sollevamento da B a A
F = mg || s=h=hA-hB
 L = mg•(hA-hB)
linee di forza
A
z
hA
x
y


p = mg
suolo
B
Energia potenziale gravitazionale:
W = mgh = mghA-mghB
h = hA–hB
hB
Dipende solo dall’altezza
h rispetto al suolo
(coord.z), non dalle
coord. orizzontali x e y
L’energia potenziale è relativa a un punto di riferimento arbitrario
(dipende dal “dislivello” tra due punti, non dall’altezza assoluta)
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ESEMPIO
Trascurando gli attriti, l’energia totale (meccanica) è costante:
Etot = Tin + Win = Tfin + Wfin
all’inizio: Tin=0,
Win=mgh
alla fine: Tfin=
Wfin=0
½mv2,
Etot = mgh =
altezza iniziale
h = v2/2g
m
h
½mv2
velocita’ finale
v = 2gh
(indipendenti dalla massa)
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Lavoro ed energia potenziale di una “forza elastica”
Forza elastica:

F (x )  -kxiˆ
0.
x
“costante elastica”: [k] = N / m
iˆ
Lavoro:
x
2


1
1
L12   F (x )  ds  -  kxdx  - kx 2  k (x12 - x22 )
2
2
1
1
x
2
2
1
Energia potenziale:
1
W W (x2 ) -W (x1 )  -L12  k (x22 - x12 )
2
1
W (x ) W (x1 )  k (x 2 - x12 )

2
1
2
W
(
x
)

kx
Scelto x 1= 0. e posto W (x  0.)  0.

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2
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lavoro fatto dalla molla tra le posizioni xi ed xf:
xf
Fapp
1
1
2
Lm   ( -k x ) dx  kxi - kxf2
2
2
x
i
[se xi = xf  Lm = 0 ]
lavoro fatto da forza applicata Fapp tra
le posizioni 0 ed xa:


Fapp  -Fm  -( -kx )  kx
Lapp
1
  (k x ) dx  kxa2
2
0
xa
lavoro uguale e contrario
alla molla !!!
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Potenza istantanea:
lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante:
dL(t )
P (t ) 
dt
Unità di misura (S.I.) :
[P] = [W] / [t] = J / s = W (“Watt”)
Se F è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v,
la potenza sviluppata dalla forza F è:




F (t )  ds
P (t ) 
 F (t ) v (t )
dt
Potenza media:
 P 
L
t
lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato.
Altre unità di misura di uso pratico:
Lavoro:
KWh  1KW  3600s  3.6  106J “chilowattora”
Potenza:
h .p .  745.7W
“cavallo vapore”
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esempio: potenza erogata da
motore ascensore
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