

L’operatore differenziale Nabla
Dott. Daniele Gregori
Corso di Fisica LA
Facoltà di Ingegneria
Aerospaziale e Meccanica
Università di Forlì
Divergenza
Molto spesso useremo l’operatore differenziale Nabla la cui rappresentazione in
coordinate cartesiane è:

 ˆ  ˆ 
ˆ
i
 j k
x
y
z
Consideriamo un campo vettoriale generico:

v  iˆ v x  ˆ
j v y  kˆ v z
Dove le componenti possono dipendere
sia dalla posizione x,y,z che dal tempo t.
Può essere applicato come divergenza e restituisce un numero reale:
 



v 
vx 
vy 
vz
x
y
z
Rotore e gradiente
Può essere applicato come rotore e restituisce un’ altro campo vettoriale
ˆj
iˆ
kˆ
 
  v   x  y  z  iˆ y v z   z v y   ˆj  x vz   z v x   kˆ x v y   y vx 
vx
vy
vz
Dove per comodità si è posto:
Data una funzione

 x
x

 y
y

 z
z
f ( x, y , z )
Il gradiente è:

 ˆ  ˆ  ˆ
f 
fi
f j
fk
x
y
z
Esempi
Dato il campo vettoriale
ˆj
iˆ
 
  v  x y
yz z
Dato il campo vettoriale
iˆ
 
  v  x
1
ˆj
y
z

v  yziˆ  zˆj  ykˆ
calcolarne il rotore.
kˆ
 z  iˆ1  1  ˆj ( y )  kˆ z   y ˆj  z kˆ
y
 ˆ ˆ
v  i  zj  ykˆ
calcolarne il rotore.
kˆ
 z  iˆ1  1  ˆj (0)  kˆ0  0
y
Esempi
Data la funzione
f ( x, y, z )  x  yz
calcolarne il gradiente




f  ( x  yz ) iˆ  ( x  yz ) ˆj  ( x  yz ) kˆ  iˆ  zˆj  ykˆ
x
y
z
Calcolare la divergenza di

v  xy2iˆ  3 yz ˆj  5kˆ
   2 

  v  xy  3 yz  5  y 2  3z
x
y
z