UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRIESTE
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Elementi didattici di matematica finanziaria
Aurelio Amodeo
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale
Montante
M
C0.r
Cn
I
C0.r
C0
0
1
2
n
Fig. 1
M = f ( t ) in regime di interesse semplice
M  C n  C o  C 0 rn  C 0 1  rn 
t
Sconto
V
Cn
D
C0
0
1
2
n
Fig. 2
V= f ( t )
in regime di interesse semplice
Cn
V  C0 
1  rn
t
Sconto
Regime di interesse semplice
1,2
1
r=4%
r=6%
0,8
V
r=8%
0,6
0,4
0,2
0
0
5
10
15
t
20
25
30
Montante
M
Cn
I
Cm .r
C0.r
C0
0
1
2
m
n
t
Fig. 3
M= f(t)
in regime di interesse composto
C n  C 0 (1  r ) n
M  Cn  C0  q n
Sconto
V
Cn
Cn.d
D
Cm.d
C0
0
1
2
m
n
Fig. 4
V= f ( t )
in regime di interesse composto
V  C0 
Cn
1  r n

Cn
qn
 Cn  q  n
t
Sconto
V
Cn
D
Cn.d
C0
0
1
n
2
Fig. 5
V= f ( t )
in regime di sconto commerciale
V  C0  Cn  D  Cn 1  dn
t
Montante
M
Cn
I
C0
0
1
n
2
Fig. 6
M= f(t)
in regime di sconto commerciale
M  Cn 
C0
V

1  dn
1  dn
t
Confronto
M
M = C.er.n
M = C / (1-d.n)
M = C.( 1+r )n
M = C.(1+r.n)
C=1
V = C.(1+r.n)-1
V = C.( 1+r )-n
V = C.e-r.n
V
V = C.(1-d.n)
0
1
Fig. 7
confronto fra regimi di posticipazione M = f(t)
e fra regimi di anticipazione V = f(t)
n
t
k
r
r’
annuale
1
0,06
0,06000
0,06000
semestrale
2
0,06
0,06090
0,05913
trimestrale
4
0,06
0,06136
0,05870
mensile
12
0,06
0,06168
0,05841
giornaliero
365
0,06
0,06183
0,05827
istantaneo
+
0,06
0,06183
d0,05826
Interesse
r’’
Confronto
M
C / (1-r.n)
C.er.n
C0
C.e-r.n
C.(1-r.n)
V
0
1
2
n
Fig. 8
Confronto fra: M = C / (1-r.n) e M = C.er.n
Confronto fra: V = C.(1-r.n) e V = C.e-r.n
t
M
Confronto
C0.er.n
C0.qn
I
I (er.n )
n
t
C0
0
1
2
Fig. 9
M= f(t)
Confronto in regime di interesse composto
Confronto
V
Cn
D ( e-d.n )
D
C0
0
1
2
n
Fig. 10
V= f ( t )
Confronto in regime di interesse composto
t
Confronto
d
dS,C = d / (1-d.n)
d=r
d i,C = ln (1+r)
d=d
d i,S = r / (1+r.n)
0
0,5
1
Fig. 11
Andamento della forza di interesse
nei regimi considerati
n
t
Cn  C0  e rn
Posticipazione di capitali
Regime
Interesse semplice
Interesse composto
Sconto commerciale
Montante
M=f(t) per t(0,n)
C n  C 0 1  rn 
C n  C0 1 r 
n
C0
Cn 
1  dn
Scindibilità
Tasso istantaneo di
interesse d
no
r
1  rn
si
lg e 1  r 
no
d
1  dn
Finanziario istantaneo
d=r=cost
Cn  C0  e rn
si
lg e 1  r 
d=f(t)
d t   dt
M (t )  C 0  e 0
si
d
lg e M t 
dt
n
Cn  C0  e rn
Anticipazione di capitali
Regime
Interesse semplice
Interesse composto
Valore scontato
M=f(t) per t(0,n)
Scindibilità
Tasso istantaneo di
sconto ρ
Cn
C0 
1  rn
no
r
1  rn
Cn
1  r n
si
lg e 1  r 
C0 
Sconto commerciale
C 0  C n 1  dn 
no
d
1  dn
Finanziario istantaneo
d=r=cost
C0  Cn  e  dn
si
 lg e 1  d 
d=f(t)
V (t )  C n  e
 0  t   dt
n
si

d
lg e V t 
dt
Confronto
M
M = (1+kn)r ; k = 10
I
M = (1+r)n
I
M = (1+kn)r ; k = 1
I
C=1
Fig. 12
0
1
2
n
C=1
D
-r
V = (1+kn) ; k = 10
V = (1+r)
D
-n
D
-r
V = (1+kn) ; k = 1
V
0
1
2
n
t
M
Uso bancario dei regimi
n'
n''
n'+1
V
n'
n''
n'+1
Fig. 13
capitalizzazione M = f(t) e sconto V = f(t)
in regime bancario misto
t
Annualità periodiche costanti illimitate
C
C=1/r
r = 0,03
C = 33,33
C = qn-1/r.qn
r = 0,03
C=1/r
r = 0,05
C = 20
C = qn-1/r.qn
r = 0,05
0
10
20
50
70
90
Fig. 14
Confronto fra: C = a / r e C = a.(qn-1)/(r.qn) per a = 1
100
120
n
Funzioni inverse
r
s0 = A0/a
1,0
10,00
7,72
6,14
0,50
4,19
0,20
1,96
0,10
0,05
0,99
0 0,999
1,96
4,19
6,14
7,72
Fig. 15
r = f ( A 0 / a ) per n = 10
10,00
s0 = A0/a
0 0,05 0,20
0,10
0,50
Fig. 16
A0 / a = f ( r ) per n = 10
1,00 r
Funzioni inverse
y = f(r)
b
8,317
8,000
a
7,913
0,03
0,035
x'
x'' 0,045
Fig. 17
y = f ( r ) per n = 10
x=r
Annualità variabili
0
m
Fig. 18
n
Annualità variabili - Esempio
32
24
478,7
16
A0
+10
8
- 0
2
4
6
8
10
12
14
16
-12
annualità
accumulazione
-25
An
4
2
+
451,04
P / qn-1
Fig. 19
18
20
22
24
26
28
n
Periodicità (Poliannualità)
P
n
m
h
0
k
m
P
n+m
2n
n+m
2n
P
tn
h
n
Fig. 20
(t-1)n
tn
Periodicità (Poliannualità)
P1
0
n1
P
n
Fig. 21
P
2n
P
tn
Elementi didattici di matematica finanziaria
Aurelio Amodeo