Lezione II
Esperimenti sulla massa
classica
Riassunto Lezione Precedente
Legge della Gravitazione Universale
B
rAB
GmA mB
FA  mB aB 
rA2 B
A
Misure di G
GM T
g
2
RT
Scarsa accuratezza nella conoscenza
di masse e raggi dei pianeti
Cavendish Experiment
(1798)
Misure di G
E’ considerato il primo esperimento moderno !!!
Miglioramenti
1) Fibre di quarzo, Leve Ottiche (Boys, 1889)
2) Periodo invece che angoli (Heyl, 1942)
Accuratezza di qualche parte per mille
Misure di G
Source of the CODATA internationally recommended values
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/bibliography.html
G
Riassunto Lezione Precedente
ax
M Passiva
M Inerziale
a1kg
mI  def
ax
m p   mI
2
2
a
r
1kg
m
a
r
_ Inerziale 1kg
m A  1kg
def
mA def
G
MP=1 kg
M Attiva
a x mI r 2
GM A
MA=1 kg
x
m1kg
r
mP  def
M I a1kg
MI=1 kg
r
x
(Azione-Reazione)
(UFF)
m p  m A
G
MI = MA = MP
Contenuto della Lezione 2
1) Misure di Proporzionalità tra Massa Attiva e Passiva : Saranno
discusse le due verifiche più importanti, dovute a Kreuzer e Bartlett-Van Buren
2) Misure di Unicità del Free Fall: Saranno discusse le principali tecniche
sperimentali per verificare l’unicità del Free Fall, con particolare attenzione al
funzionamento degli esperimenti con la bilancia di torsione.
3) Effetti di gravitazione Classica: le forze mareali
Verifiche mpassiva
mattiva: Kreuzer
ANALISI DELLE DISCREPANZE SULLE MISURE DI G CON PENDOLI DI
TORSIONE
La misura di G si basa su misure di 1) Distanza 2) Peso 3) Costante di torsione del pendolo
Il risultato di G dipende dal valore mattiva della grande massa attraente. Valori di G diversi
ottenuti con masse di diversa natura possono essere interpretati come limite superiore alla
dipendenza di mattiva dalla composizione dei materiali.
Errore tipico
.002/6.67 ~ 3 10-4
Indicazione della presenza di un
errore sistematico o di un effetto di
violazione?
Verifiche mpassiva mattiva:
l’esperimento di Kreuzer
L.B.Kreuzer, Phys. Rev.,
169, nr.5 (1007-1012), 1968.
Verifiche mpassiva
mattiva: Kreuzer
Teflon (76% di Fluoro) immerso in una
mistura di Triclorotilene e Dibromometano
(74% di Bromo)
1) Densità uguali tra liquido e solido
2) Massa chimicamente inerte ed omogenea
3) Diverse composizione nucleare (E/A) e (Z/A)
La strategia di misura
1) Bilancia di torsione
2) Misura di zero
3) I segnali devono dipendere
direttamente dalle differenze di
massa per ridurre l’errore.
Verifiche mpassiva
mattiva: Kreuzer
I Segnali
1) La forza d’attrazione gravitazione misura la differenza di
massa attiva tra fluido e solido
2) La differenza di densità misura la differenza di massa passiva tra
fluido e solido
Il Metodo ed il suo Limite
Rivelazione sincrona al moto del cilindro
Misura della temperatura per monitorare la densità, essendo noti i
coefficienti di dilatazione del solido e del liquido
Errore sistematico: filo di nylon che trascina il corpo diversa da Teflon
m
 5 10 5
m
L’errore y nel punto dell’intersezione
definisce il limite superiore
Densità uguali
Verifiche mpassiva
r
mattiva: Bartlett-Van Buren
2




X1  X 2
 3  F1
mI 1a1  GmP1mA2 
| X1  X 2 |




X 2  X1
 3  F2
mI 2 a2  GmP 2 mA1 
| X 2  X1 |
1
3a Legge della dinamica: Ad ogni
azione corrisponde una reazione uguale
e contraria
mP1mA2  mP 2mA1


| F1 || F2 |
m P1 m P 2

m A1 m A 2
Verifiche mpassiva
mattiva: Bartlett-Van Buren
Crosta ricca di
Alluminio
(2350 kg/m3 )
dOC = 10 km
Mantello ricco
di Ferro,
(3350 kg/m3 )
D.F.Bartlett & D.Van Buren, Phys. Rev. Lett.,
57, nr.1 (21-24), 1986.
Verifiche mpassiva
mattiva: Bartlett-Van Buren
Se la forza gravitazionale esercitata dal mantello
sulla crosta fosse diversa da quella esercitata
dalla crosta sul mantello (violazione del principio
d’azione e reazione) esisterebbe una forza
residua sul Centro di Massa che determinerebbe
una deviazione dall’orbita classica.
S(A,B) = mpA/maA - mpB/maB
Metodo
Lunar Laser Ranging  Accuratezze dell’ordine del cm nella misura dell’orbita
Limite concettuale
Modelli Accurati composizione Lunare
Il rapporto tra M_attiva / M_passiva è lo stesso per Fe
ed Al con un accuratezza di una parte su 1012
Verifiche mpassiva
mattiva: Bartlett-Van Buren
B - centro di massa
O - centro geometrico
a = raggio lunare
Indice a ==> crosta
Indice b ==> mantello
OB=s
OC=t
Forza della crosta sul mantello Fb = [-(4 /3)G t a] Vb b
(a - b ) tVb = M s
Se e’ violato il 3o principio della dinamica allora
S(a,b) = 0
e sul centro di massa sarebbe applicata la forza
Fs=-S(a,b)[(4 /3)G a b M s ] / (a - b )
con una componente tangenziale rispetto all’orbita di Ft= Fs sin 14o,
che determina una variazione di velocita angolare orbitale.
Verifiche mpassiva
mattiva: Bartlett-Van Buren
Fmoon= G Mearth M /r2 , b
Fs/Fmoon ~ S(a,b) (M/Mmoon) (r/a)2 (s /a) (
( s/a=0.0011 , r/a=220, (M/Mmoon)=80
Fs/Fmoon ~ 5 S(a,b)
Energia =1/2 Fmoon r = 2 r Ft
r/r =4  Ft/ Fmoon
r3=cost ( legge di Keplero)
/ = 6  Ft/ Fmoon
Misure con il satellite LAGEOS dell’effetto delle maree oceaniche
sul moto lunare
d dt secondi d'arco/secolo / < 1.10-12 /mese
S(a,b) < (1/5) (1/6 )(1/sin14o ) 1.10-12=5.10-14
Tenendo conto della frazione di composizione di Fe e Al ( fattore
0.08)
S(Al,Fe)= S(a,b)/0.08 = 7.10-13
Materiale Didattico Lezione 2
TESTI FONDAMENTALI
1) UFF: D.V.Sivuchin, Fisica Generale per l’illustrazione della bilancia di torsione.
2) MASSA ATTIVA E PASSIVA: Leggere le idee fondamentali dei due esperimenti negli
articoli originali (non viene richiesta la conoscenza dettagliata). Gli articoli sono disponibili in rete.
TESINA POSSIBILE
Verifiche dell’UFF
Verifiche UFF: Pendolo
q
..
mI l q  m p g lsin q  m p g lq
2
l
mp g
q 
q
mI l
..
mPg sinq
2

mPg
mI l
T
 2

mP g
mp g
 
mI l

Se il rapporto fosse diverso
da corpo a corpo il periodo
cambierebbe a seconda
del tipo di pendolo
Verifiche UFF: Pendolo
Ideato da Newton (1642-1727)
Bessel (1784-1846)
q
Il rapporto è lo
stesso per tutti i corpi esaminati
con un’accuratezza di una
parte su 60.000
l
mPg sinq
mPg
Si può usare il pendolo per ricavare
informazioni sull'attrazione gravitazionale in
un particolare luogo. Questo tipo di misura
era servita proprio per verificare la legge di
gravitazione universale: le osservazioni
venivano eseguite al livello del mare e su
una montagna per vedere se l'accelerazione
di gravità diminuiva come previsto da
Newton.
Verifiche UFF: Eotvos
FCentrifuga  mI  2 r 
r
Fgrav=g mP
mI  2 RT cos qθ
q
RT
Verifiche UFF: Eotvos
r
q
RT
Deviazione del filo
a piombo
mI  2 r sin q mI  2 RT sin q cos q


mP g
mP g
Se il rapporto variasse la
deviazione dipenderebbe dal corpo
utilizzato come massa del filo a
piombo
Verifiche UFF: Eotvos
r
q
RT
Deviazione del filo
a piombo
mI  2 r sin q mI  2 RT sin q cos q


mP g
mP g
 =1.7 x 10-3 a 450 di latitudine
Verifiche UFF: Eotvos
N
Zenit
r
LABORATORIO
S
Fcentrifuga
TERRA
S
N

Frisultante
Fgravitazionale
Verifiche UFF: Eotvos
N

l
2

| FCentrifuga | mI  2 r
S
(r = RT cosq
Verifiche UFF: Eotvos

| FCentrifuga | mI  2 r
q
r
z
FCentrifuga_ z  mI  2 r cosq
N

l
2
Equilibrio della bilancia
lungo l’asse verticale
S
Verifiche UFF: Eotvos
mP1g  mI 1 2r cosq  mP 2 g  mI 2 2r cosq
Equilibrio dei pesi
(ipotesi di bracci uguali)
z
N

S
l
2
Verifiche UFF: Eotvos
mP1g  mI 1 2r cosq  mP 2 g  mI 2 2r cosq
Equilibrio dei pesi
(ipotesi di bracci uguali)
mP1
mP 2
2
mI 1 (
g   r cos q )  mI 2 (
g   2 r cos q )
mI 1
mI 2
Se i due corpi avessero rapporti diversi tra massa inerziale
e gravitazionale passiva, la relazione di equilibrio potrebbe
essere verificata solo se le due masse inerziali fossero diverse.

l

Questo implicherebbe però che le due forze
centrifughe sarebbero diverse e quindi le diverse
componenti orizzontali indurrebbero una
torsione intorno all’asse verticale
Verifiche UFF: Eotvos
I risultati nulli ottenuti da Eotvos ci dicono che il rapporto
tra massa inerziale e massa gravitazionale è lo stesso per tutti
i corpi a meno di qualche parte per miliardo

N
l
2
S
Verifiche UFF: Eotvos
mP1g  mI 1 2r cosq  mP 2 g  mI 2 2r cosq
Equilibrio dei pesi
(ipotesi di bracci uguali)
mP1
mP 2
2
mI 1 (
g   r cos q )  mI 2 (
g   2 r cos q )
mI 1
mI 2
Se i due corpi avessero rapporti diversi tra massa inerziale
e gravitazionale passiva, la relazione di equilibrio potrebbe
essere verificata solo se le due masse inerziali fossero diverse.

l

l 2
M z  mI 1  mI 2   r sin q
2
Rotazione intorno
all’asse verticale
  k M z
Verifiche UFF: Eotvos
q
r
z

N
l
2
S
Verifiche UFF: Eotvos
Ruotando il sistema di 1800
si dovrebbe invertire il segno del momento
e si otterrebbe una rotazione dalla parte opposta

N
l
2
S
Verifiche UFF: Eotvos
Verifiche UFF: Dicke
Roll-Kroktov e Dicke utilizzarono lo stesso apparato in un “contesto
differente” misurando la proporzionalità tra Massa Inerziale e
Massa Gravitazionale Passiva con un’accuratezza di 1 10-11
Fg1
g sole
1
Le componenti discusse sopra, dovute al campo
gravitazionale terrestre ed alla forza
centrifuga ad una data latitudine
sono costanti nel tempo.
Fin1
Fg2
2
Fin2
Sono considerate le forze dovute al sole Fg e la forza di inerzia traslatoria Fin collegata al
moto accelerato del centro della terra verso il sole
Verifiche UFF: Dicke
Fg1
1
Fin1
g sole
Fg2
2
Fin2
P.G. Roll, R.Kroktov and R.H.Dicke,
Ann. Phys.(N.Y.) 26, 442-517, (1964).
Realizzato all’ Università di Princeton
Verifiche UFF: Dicke
Fg1
1
Fin1
h1
h2
g sole
Fg2
2
Fin2
M  (m1P g  m1I a)h1  (m2 I a  m2 P g )h2
Se la bilancia è sospesa nel suo centro di massa:
m1I h1  m2 I h2
m1I h1
M  (m1P g  m1I a )h1  (m2 I a  m2 P g )
m2 I
Verifiche UFF: Dicke
Fg1
1
Fin1
g sole
Fg2
M  (m1P g  m1I a )h1  (m2 I a  m2 P g )
2
Fin2
m1I h1
m2 I
m1P
m2 P
M  m1I (
g  a )h1  m1I (a 
g )h1
m1I
m2 I
M  m1I h1 (
m1P m2 P

)g
m1I m2 I
Verifiche UFF: Dicke
Fg1
1
Fin1
Fg2
2
Fin2
Vantaggio: Si evita la rotazione dell’apparato
Svantaggio: Il campo del sole è più piccolo (0.59 cm/s2 contro 1.67 cm/s2)
Rumori: Rumore Sismico, Gradienti termici, Rumore Gravitazionale,
Accoppiamento con il campo magnetico esterno
Accuratezza sul rapporto: (0,96 + 1.04) x 10-11
Verifiche UFF: Dicke
Riassunto del metodo
- Se vale WEP, tutto l’apparato cade verso il Sole: assenza di torsione del filo
-Violazione di WEP: Au è accelerato diversamente da Al e l’effetto ha una periodicità giornaliera.
Verifiche UFF: Dicke
Verifiche UFF: Dicke
Verifiche UFF: Dicke
Accorgimenti sperimentali
- Il triangolo è equilatero (6 cm) e la misura remotizzata per limitare gli
accoppiamenti gravitazionali spuri
- L’intensità luminosa è bassa per limitare l’effetto di pressione di radiazione
- La luce riflessa modulata a 3000 Hz dal moto del filo
- Il segnale del fotomoltiplicatore viene demodulato ed utilizzato per
applicare un segnale quasi statico al condensatore per bloccare la rotazione
(sistema controreazionato)
- Il segnale d’errore di controreazione è analizzato nel dominio di Fourier
per estrarre la periodicità di 24 ore.
Massimizzazione del segnale
Al
-Numero di Neutroni/Numero di Protoni
1.08
-Kcin eletr. livello K/Massa a riposo eletr.
0.003
-Energia elettrostatica Nuclei/Massa Atomica
0.001
Specifiche dell’apparato
- Sensibilità angolare 10-9 rad
- Stabilità in temperatura T < 10-4 K
- Assenza di impurezze di ferro (accoppiamento con il HTerra )
-Inomogeneità nel gas: se t ~ 10-8 g/day ==> F ~ 10-7 g cm /s2
Au
1.5
0.16
0.004
Verifiche UFF: Dicke
Verifiche UFF: Dicke
Verifiche UFF: Braginsky & Panov
Fg1
1
Fin1
Fg2
2
Fin2
V.B.Braginsky and V.I.Panov
Sov. Phys. JEPT 34, 463-466 (1972)
Realizzato all’Università di Mosca
Accuratezza: 1 parte su 10-12
Verifiche UFF: Braginsky & Panov
Al
Vista dall’alto
Pt
Miglioramenti
1) Fibra più lunga
2) Disposizione delle masse
Limite sperimentale
della tecnica raggiunto ?
Un’analisi del rumore
intrinseco dell’apparato è
necessaria. La rimandiamo a
più tardi, quando avremo i
mezzi analitici per farlo!
Verifiche UFF: Adelberger et al.
Phys Rev. D 50 (1994) 3614
Pendolo di torsione ben simmetrizzato con masse intercambiabili
e a geometria variabile per anullare i momenti di multipolo di ordine superiore
Verifiche UFF: Adelberger et al.
Compensatori dei gradienti
gravitazionali
a) compensa Q21
b) b) compensa Q22
Verifiche UFF: Adelberger et al.
Risultati ottenuti in funzione della
sorgente di campo gravitazionale
utilizzata
(1,2) def
Terra
Centro Galattico
2 | a1  a2 |
| a1  a2 |
 ~ 3 10-12
 ~ 1 10-13
Sorgente di laboratorio  ~ 1 10-10
Verifiche UFF: STEP
Barlier et al.  STEP (“Satellite Test for the Equivalence Principle”)
STEP will compare the accelerations of four pairs of test masses in orbit. The
free-floating test masses will be isolated from disturbances inside a cryogenic
dewar with superconducting shielding and ultra-high vacuum, and their
accelerations will be measured by a superconducting circuit using a quantum
interference device (SQUID) for the best sensitivity. The dewar is part of a "dragfree" satellite, i.e. a satellite compensated for drag by proportional thrusters,
using the test masses as reference. This technique reduces low-frequency
acceleration disturbances from air drag, magnetic field, and solar pressure to an
acceptable level. Gravity gradient disturbances are eliminated by precise
placement of the mass centers on each other. The mission will be flown in a
near-circular sun-synchronous orbit, to minimize temperature variations, for
period of six months. The best altitude is approximately 550km.
Accuracy Goal: 1 parte su 1017
Verifiche UFF: Eotvos e la Vo Forza
Una ri-analisi dell’esperimento originale di Eotvos sviluppata da E. Fischbach e dai suoi
collaboratori [Phys. Rev Lett. 56, 3-6,(1986)] mostrò una suggestiva deviazione da UFF. o La
violazione di UFF viene interpretata in termini dell’esistenza della 5o interazione fondamentale
che dipenderebbe dalla composizione degli oggetti.
Torneremo su questo
argomento prossimamente!
Gravitazione Classica:
le forze di marea

Le forze di marea
Teoria Newtoniana
G(x ') 3 '
(x )   
d x
x  x'
 2  4 G
Sviluppando in serie attorno all’origine
k l
1
1
x k x'k 1
'k 'l
2 l x x
 
 (3x x  r' k ) 5  ......
x  x' r k r 3
2 k,l
r


r2   x k
quindi
k
k l
GM G
1
k k
kl x x
(x)  
 3  D x  Q
 ......
5
r
r k
2 k,l
r


dove
M
2
 (x')d 3 x'
Monopolo
Dk 
 x ' (x')d x
k
3 '
Qkl 
Dipolo

 (3x
'k
x'l  r'2 kl )(x')d 3 x'
Quadrupolo

Se l’origine coincide con il centro di massa Dk=0
Le forze di marea
Esempio semplice: campo a simmetria
sferica generato dalla massa M
m
Componente dell’accelerazione lungo l’asse z
della massa di prova, posta nel punto di
coordinate (0,0,z), nel sistema di riferimento in
caduta libera (ovvero l’origine è accelerata
rispetto a Terra di GM/r2 )
az  
z
y
x
GM
GM
GM


2z
(r0  z) 2
r0 2
r0 3
ro
Supponendo la particella disposta in (0,y,0) o in (x,0,0) possiamo
ricavare le altre componenti della forza di marea
R
GMm
f x  x
3
ro
f y  y
GMm
3
ro
GMm
f z  2z 3
ro
M
 potenziale corrispondente a questo campo di forza
GMm  2 1 2 1 2  GMm 23cos2 q 1

x  y 
R 

3 z 
3


2
2
2
ro
ro


r  x 2  y 2  z2
cos q  z /r

Le forze di marea
Consideriamo una
piccola sfera di massa
m posta sulla Terra,
che risente anche del
campo delle forze di
marea prima calcolato.
Il potenziale associato alla forza di marea + quallo
dovuto alla gravitazione Terrestre sarà:
V(h,q) = mgh - [(G ML m) /ro 3] [ (3 cos2 q - 1)/2]
Alta marea q0, q Bassa marea  q 
Assumendo il sistema in equilibrio V(h,q) = = costante
gh - [(G ML ) /ro 3] [ (3 cos2 q - 1)/2] = costante
h = h(q0) – (q  ) = (3/2) (GMLR2/gro3)
Terra
L’accelerazione gravitazionale dovuta alle forze
autogravitanti sulla superficie della Terra si può
riscrivere intoducendo la densità  della Terra di
massa MT :
2R
ro
g = G {MT /R2 }= G {[(4/3)  R3 ]/R2 }=G (4/3)  R 
Luna
ML
La deformazione di una sfera, tenuta insieme solo
dalle forze auto gravitanti, è
h/R = (9/8) (ML /  ro3 )
Indipendente dalle dimensioni dalle dimensioni della
massa m
Le forze di marea
Effetto di torsione
Poniamo una bilancia di torsione in un punto dello spazio ove è presente un campo
gravitazionale a simmetria sferica.
La componente del momento torcente lungo l’asse x è

GM
GM  3
3GM
3GM
M x   y(2z 3 )  z(y 3 )d x  3  y z d 3 x   3 Iyz
ro
ro 
ro
ro

Ikl è il generico elemento del tensore momento d’inerzia della bilancia
I kl 

 (r 
2 k
l
 x k x l )d 3 x
Per un campo gravitazionale generato da una qualunque distribuzione di masse
M c
n

2

kl
nkl
1
R k 0l 0 (Ilk  lk I lk )
3
123   231   312  1
 321   213  132  1
Il momento torcente mareale cambia localmente iI momento angolare della
bilancia. L’accelerazione angolare che ne risulta, è una misura locale dell’effetto
mareale 
Le forze di marea
Indichiamo con Fk il campo di forze Newtoniano generato da una
qualunque distribuzione di masse. Se la particella è in (x,y,z) , nel
caso generale le forze di marea possono essere espresse
k
2

F


f k   x l ( l ) x  0   x l m( l k ) x  0
x
x x
l
l

x
k
0l 0
R

1 F k
1  2
  2 ( l )x  0  2 ( k l )x  0
mc x
c x x
k
f k  mc2  R0l0
xl

l
k
a k  c 2  R0l0
xl
l
Nel vuoto il campo f k è solenoidale
f k
 xk  4mG(x)
k
nel vuoto
f k
k x k  0
Le forze di marea
Un metodo
alternativo per
la misura dei
gradienti di
campo
gravitazionale
Sensibilità tipiche in accelerazione
differenziale
10-11 m/s-2 su metro
 a (r ) 
Il Gradiometro triassiale
Superconduttore di Paik
ax (r ) a y (r ) az (r )


0
x
y
z
Misure Indipendenti dei 3 componenti forniscono
un test della legge quadratica inversa