Meccanica dei Sistemi e Termodinamica
modulo di: Urti e Reazioni
Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica, Tecnologie Fisiche Innovative
Lezioni ( docente: Savrié Mauro )
lunedì : 10:30-12:30 aula G10
martedì: 14:30-16:30 aula G10
Esercitazioni ( docente:M.Stancari)
giovedì : 10:30-12:30 Aula G10
Le copie delle presenti trasparenze saranno disponibili in rete all’ indirizzo:
www.fe.infn.it/~savrie
.........cercare...ma occhio agli errori
obbligo di registrazione on-line
Inizio lezioni: 02 aprile 2007
Fine lezioni: 15 giugno 2007
ricevimento studenti:
tutti i venerdì 14:30-18:30 su
appuntamento
A.A. 2006-2007
- prova scritta: esito positivo:
p ≥18/30
(valida 1 A.A.)
sconsigliato: 15/30≤p<18/30
non ammesso:
p<15/30
- prova orale : esito positivo:
p≥18/30
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1
CALENDARIO ESAMI ANNO ACCADEMICO 2006-2007
CORSO DI LAUREA IN FISICA ED ASTROFISICA _ Riforma (trimestri)
CORSO DI LAUREA IN Tecnologie Fisiche Innovative _ Riforma (trimestri)
MATERIA DI INSEGNAMENTO:
meccanica dei sistemi e termodinamica
PRIMA SESSIONE
Dal 2 dicembre 2006 al 5 gennaio 2007
Scritto
Orale
Giorno
4 dicembre
Ora
9:00
Giorno
Ora
6 dicembre
9:00
20 dicembre
9:00
SECONDA SESSIONE
Dal 20 marzo 2006 al 31 aprile 2006
Scritto
Orale
Giorno
Ora
Giorno
Ora
19 marzo
9:00
21 marzo
9:00
26 marzo
9:00
28 marzo
9:00
TERZA SESSIONE
Dal 16 giugno 2006 al 29 luglio 2006
Scritto
Orale
Giorno
A.A. 2006-2007
Ora
Giorno
Ora
18 giugno
9:00
20 giugno
9:00
2 luglio
9:00
4 luglio
9:00
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2
QUARTA SESSIONE
Dal 1 settembre 2007 a inizio lezioni a.a. 2007/08
Scritto
Orale
Giorno
Ora
17 settembre
9:00
Giorno
19 settembre
Ora
9:00
COMMISSIONE GIUDICATRICE
Professore ufficiale della materia: Prof. Savrié Mauro
Secondo membro: Dr. Michelle Stancari,
SUPPLENTI: Dr. Ricci Barbara Prof. Zini Grazia, Prof. Luppi
Eleonora, Dr. Wander Baldini,Dr. Michele Marziani, Dr Guido Zavattini
IL PRESIDENTE DELLA COMMISSIONE D’ESAME
Prof. Savrié Mauro
A.A. 2006-2007
Rivisto finqui 020407
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3
Principali Argomenti Trattati:
• calore e temperatura
• primo principio della termodinamica
• trasmissione del calore
• secondo principio della termodinamica
• funzioni termodinamiche: energia interna, entalpia, energia libera di
Gibbs, energia libera di Helmotz, transizioni di fase
• cenni di teoria ceinetica dei gas
Testi consigliati:
1)
2)
3)
4)
A.A. 2006-2007
Mazzoldi,Nigro,Voci:
FISICA (1° vol. ) ed. EdiSES Napoli
Mencuccini,Silvestrini:
Fisica I Meccanica Termodinamica ed. Liguori
H.C. Ohanian:
FISICA ( 1° e 2° vol. ) ed. Zanichelli Bologna
Borgia,Grilli
FISICA Meccanica Termodinamica ed. C.I.S.U. Roma
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4
p  Ag
  Au    Au
2
4
79
196
2
4
79
47
196
urto
25MeV
n  p  e  e

 0  
107
   Pd
2
4
10 18 s
46
104
reazione
  n


decadimenti
• le forze seguono leggi molto complesse
• sono molto intense in intervalli di tempo molto brevi
• intervallo eccezionale
• impulsive
F
impulso
Forze impulsive
t1
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t2
t (s )
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I  F  t
Intervallo
eccezzionale
Forza impulsiva
5
Avevamo già visto:
se integriamo:
impulso


dv

F  ma  m
dt
v2




F
t
dt

md
v


t2
t1
v1

 F t dt


Fdt  mdv
Variazione della
Quantità di moto
(impulso)


I  p
t2
Media temporale della forza:

F 
t1
t2
 dt
F
1 

F t dt

t t1
t2


I
F 
t
t1
Forze esterne
t  intervallo eccezional e
F
t1
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t2
In questo modo confrontiamo la forza impulsiva
con le altre forze in gioco per verificare la validità de:
t (s )
L’ approssimazione dell’ impulso
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6
L’ approssimazione dell’ impulso
In un urto:
1. La forza media esercitata è molto grande
2. Intervallo eccezionale molto piccolo
quindi:
1. Le forze esterne sono trascurabili
2. La quantità di moto si conserva (perchè?)
3. Il moto dei corpi durante l’ urto è trascurabile

F1
Se le forze esterne sono assenti
( o trascurabili):
t2


p1   F1 t dt
t1


F1   F2
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t2


p2   F2 t dt
t1


p1  p2
 
F1 , F2
m2
m1

F2
Coppia “azione-reazione”
  
P  p1  p2



P  p1  p2  0
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La quantità di moto
si conserva
7
Esempio
Un proiettile di massa mp =10g si muove orizzontalmente con v=400ms-1 e penetra in un blocco di
massa mb=390g inizialmente in quiete su una superficie priva di attrito.Quali sono le velocità finali del
proiettile e del blocco?
y
mp
mb
mb

vi

vf
mp
o
Oppure:
Pi , x  mp vi , x  10  4 102 gms1  4kgms1
Pf , x  m p  mb v f , x  0.4kg  v f , x
v f , x  10ms
x
Ptot, x  M totvcm, x   mi vi , x  m p v p , x  mb  0
vcm , x 
i
1
m p v p, x
m p  mb
Il risultante delle forze
esterne agenti lungo la
coordinata x è nulla!!!!!
 10ms 1
Interessante:
Ki 
1
m p v 2p , x  800 J
2
Kf 
1
m p  mb v 2f , x  20 J
2
cosa si è perso?
L’ energia meccanica non si conserva: calore, deformazione.
Qual’ è la vartiazione di Q.d.M. del proiettile?
v f , x  10ms1
E del blocco:


 


P  0.39 Kg 10ms   0  3.9 Ns
Pp  p f  pi  102 Kg 10ms1  102 Kg 400ms1  3.9 Ns
1
b
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Opposti!
8
Abbiamo visto che per i sistemi:
1
1
1
2
2
K  Mvc.m.   mi ui  Mvc2.m.  K rel
2
2 i 1,n
2
e sappiamo che negli urti:

Fext .  0


Fext .  Fimp.


 P   pi  cos t.

  i 1,n
vcm  cos t.
1
2
Mvcm
 cos t.
2
1. Urto perfettamente elastico:
2. Urto perfettamente anelastico
K rel  cost.
K rel  0
Non c’è moto relativamente al
Centro di massa ( i due corpi si
muovono con la vel. del C.d.M.)
K rel ,i  K rel , f  0
 
v1  v2   r̂1, 2
dell’ urto e’ diretta lungo la congiungente I due corpi
3. Urto né perfettamente elastico
nè perfettamente anelastico
4. Urto centrale: la velocita’ relativa prima
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Urti perfettamente elastici in una dimensione (sono centrali)
Quali proprietà devono avere m1 e m2 ?
m1

v1,i
m1
m2 v
2 ,i

v1, f
m2 v
2, f


v2, f  v1, f


v1,i  v2,i
Dopo l’ urto
Prima dell’ urto
Dalla conservazione dell’ energa (cinetica in questo caso).:
Dalla conservazione della q.d.m.:
1
1
1
1
m1v12,i  m2 v22,i  m1v12, f  m2 v22, f
2
2
2
2
m1v1,i  m2 v2,i  m1v1, f  m2 v2, f

A : m1 v1,i  v1, f   m2 v2, f  v2,i 

v1,i  v2,i  v2, f  v1, f
 m1  m2 
 2m2 


v2,i

v1,i  

 m1  m2 
 m1  m2 
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
B : m1 v12,i  v12, f  m2 v22, f  v22,i
B / A  v1,i  v1, f  v2, f  v2,i 
v1, f
Supponiamo:
1. velocità piccole
2. urto frontale
v2, f

La velocità relativa di
avvicinamento(prima) è
uguale alla velocità relativa
di allontanamento (dopo)
 2m1 
 m2  m1 


v2,i

v1,i  

 m1  m2 
 m1  m2 
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v1, f
 m1  m2 
 2m2 
v1,i  
v2,i
 
 m1  m2 
 m1  m2 
v2, f
 2m1 
 m2  m1 
v1,i  
v2,i
 
 m1  m2 
 m1  m2 
Alcuni casi intrerssanti:
1.
m1  m2
v1, f  v2,i
v2, f  v1,i
2.
v2 ,i  0
v1, f
Se poi è anche:
Le velocità delle due particelle si scambiano
 m  m2 
v1,i
  1
 m1  m2 
m1  m2
v2, f
 2m1 
v1,i
 
 m1  m2 
v1, f  0 v2, f  v1,i
Oppure se:
m2  m1
v1, f  v1,i
v2 , f  0
Infine se:
m2  m1
v1, f  v1,i
v2, f  2v1,i
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Energia trasferita ad un bersaglio in quiete
K 2, f
1
 m2 v22, f
2
K 2, f
4m12v12,i
1
4m1m2
 m2

K1,i
2 m1  m2 2 m1  m2 2
K 2, f
K1,i
Esempio

4m1m2
m1  m2 2
Quando è massima?
Un neutrone di massa m1 urta frontalmente, in modo perfettamente elastico, un bersaglio costituito da
un nucleo atomico di massa m2 inizialmente fermo. Qual’è la diminuzione percentuale dell’ energia del
neutrone? Fare il calcolo nei casi in cui il nucleo bersaglio sia:
1)Piombo(206); 2)Carbonio(12); 3)Idrogeno(1).
1
K i  m1v12,i
2
Ma per questo
tipo di urto:
v1, f
1
K f  m1v12, f
2
 m1  m2 
v1,i
 
 m1  m2 
K f %  
Ki  K f
Ki
Ki  K f
Ki
 1
v12, f
v12,i
2
 m  m2 
4m1m2
 
 1   1
2
m

m


m

m
2 
 1
1
2
Rapporti delle masse con il neutrone e calcolo:
1)206: m2=206m1 0.02=2%; 2)12: m2=12m10.28=28%; 3)1: m2=m 1=100%
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Urti perfettamente anelastici in una dimensione (sono centrali)
Quali proprietà devono avere m1 e m2 ?
m1

v1,i

m2 v2,i  0





vrel  v1,i  v2,i  v1,i  v1
m1  m2
Dalla conservazione della q.d.m.:


m1v1  m1  m2 v
m1 
v1
m1  m2
Dalla conservazione dell’ energa (cinetica in questo caso).:
KI 
1
m1v12
2
KF 
1
m1  m2 v 2
2


1
m12
m1
2
K F  m1  m2 
v

KI
2 1 
2
 m1  m2 
 m1  m2
K  K I  K F 
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Supponiamo:
1. velocità piccole
2. urto frontale
Dopo l’ urto
Prima dell’ urto

v


v1, f  v
m2
KI
m1  m2
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Urti perfettamente elastici in due dimensioni (in genere non centrali)
x2
m1

v1, f

v1

m2 v2,i  0
m1
1
2
Dopo l’ urto
Prima dell’ urto
x1 : m1v1  m1v1, fin. cos 1  m2 v2, fin. cos 2
x2 : 0  m1v1, fin. sen1  m2 v2, fin. sen2
m1 , m2 , v1
x1
Dalla conservazione dell’ energa cinetica
Dalla conservazione della q.d.m
Proiettata sugli assi:
Noti:

v2 , f
1
1
1
m1v12  m1v12, fin.  m2 v22, fin.
2
2
2
Abbiamo tre equazioni e quattro incognite:
v1. fin. , v2, fin. , 1 , 2
Se ad esempio “misuriamo”: v1, fin.

m1 2 2
v2, fin. 
v1  v1, fin.
m2

1  2 2
m22 2 
 v1  v1, fin.  2 v2, fin. 
cos 1 
2v1v1, fin. 
m1

m1 v1, fin.
sen2 
sen1
m2 v2, fin.
Utile per misurare m2 fisica nucleare e subnucleare
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Descrizione degli urti
A. Sistema del Centro di Massa
z

vT
  


u1  v1  vcm u1  vcm
m1
m1 
v1
m1  m2

u

 la Ptot  0 prima e dopo l’ urto;

u1'


vT  vC .M . 
m2
Prima dell’ urto




m1u1  m2u2  m1u1'  m2u2'  0

Dopo l’ urto
'
2
O=C.d.M.
y
z
x
 In un urto anelastico i corpi sono in
quiete dopo l’ urto;
 in un urto elastico le velocità si
invertono dopo l’ urto.
in un urto elastico le velocità si
invertono dopo l’ urto.
B. Sistema del Laboratorio
z

vT  0
O
x
y
z
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m1
m2

v1

v1'


v2'
Prima dell’ urto



m1v1  m1v1'  m2v2'
Dopo l’ urto
 uno dei corpi ( bersaglio) è in quiete
prima dell’ urto;
 in un urto elastico le velocità relative si
invertono dopo l’ urto
Come si passa dall’ uno all’ altro?
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m
z’
z

r'

r
 
r  r 'oo'
 ' 
vi  vi  vCM
C.M.
O’=C.M.
Lab
y’
x’
O
y
x
  
v1'  v1  vCM 

vCM
Nel caso di 2 corpi interagenti:


m1v1  m2 v2

m1  m2
m2 
v1
m1  m2
ma:


v2  0 vCM
'

v2  0  vCM  

m1v1

m1  m2
m1 
v1
m1  m2
Quanto vale la quantità di moto totale del sistema?
Che relazione c’e’ tra le velocita’ e gli angoli nei due riferimenti?
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16
m
z

u'

r'

r
'
o '  c.m.
Lab
A
y'
y

per il teorema dei seni:

rispetto alla direzione
di incidenza del
" proiettile " nel lab.
' ' 
v  u  vCM
 
r  r 'oo'
x

direzione di incidenza del " proiettile " nel lab.
 '  angolo di diffusione nel C.M.

'
  angolo di diffusione nel Lab.
x'
o

'
C.M .S.
z
C
B
'

sen  '   BC  sen AB


sen    vCM  sen u
'
'
vCM 
m1v1
m1  m2
Appena visto!
m1 v1
sen     
sen
'
m1  m2 u
'
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Sistema del Centro di Massa (1dim.): urti perfettamente elastici
(Nel laboratorio lo abbiamo visto prima)
 
v1',i ; v2' ,i
a) Prima dell’ urto
'
'  '
'
p1,i  m1v1,i ; p2,i  m2v2,i
Ma in questo sistema:


p1' ,i   p2' ,i


p1' ,i  p2' ,i
K i ,rel 
K i  K i ,rel
Solamente!!
 1
1
1
1 

m1v1'2,i  m2v2'2,i  p1'2,i 

2
2
 2m1 2m2 
b) Dopo l’ urto
 1
1
1
1 

K f ,rel  m1v1'2, f  m2v2'2, f  p1'2, f 

2
2
2
m
2
m
2 
 1
K i ,rel  K f ,rel
p p
'2
1,i
'2
1, f
p2'2,i  p2'2, f
Perchè?
 p1' ,i
  2 ,i 
p1' , f   '
 2 , f   p1,i
  2 ,i 
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v1' , f  v1' ,i
v2' , f  v2' ,i
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
v2' , f  v1' , f   v2' ,i  v1' ,i

Le velocità e le velocita’ relative
si invertono dopo l’ urto
18
Urti perfettamente anelastici (1dim.)
 tutta l’ energia cinetica del moto relativo è perduta
L’ energia perduta è la stessa in tutti i riferimenti
Nel C.d.M.:


p  0  v f'  0
a) Nel centro di massa: tutto è semplice
b) Nel Laboratorio :
Prima dell’ urto:
Dopo l’ urto:
1
1
1
Ei  m1v12,i  0  p12,i
 pi2
2
2m1
2m1
2
p
pi2
1
f
2
E f  m1  m2 v f 

2
2m1  m2  2m1  m2 
Ef
Ei

m1
m1  m2 
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E  E f  Ei   
m2
Ei
m1  m2 
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
E
m2

Ei m1  m2
19
Applicazioni:
1. pendolo balistico

vf  0
h
m1

vi
v f  v2 , f 
per m2:
1. v2,i=0
2. vale l’ approssimaz. dell’ impulso
3. v (subito dopo l’ urto)=v2,f
m2
m1
v1,i
m1  m2
dalla conservazione della Q.d.M.
dopo l’ urto:
1
m12
2
m1  m2 gh  m1  m2 v f 
v12,i
2
2m1  m2 
A.A. 2006-2007
finqui 12 Aprile 2007
Prof.Savrié Mauro
www.fe.infn.it/~savrie
m1  m2
v1,i 
m1
2 gh
20
2. Reazioni ( tipici urti anelastici)
Esempio:
p  p     D  137MeV
In generale:
a A BbQ
proiettile
bersaglio
Differenza (nel C.d.M.) tra Ek dei prodotti
e dei reagenti. Q>0 reaz. esotermica; Q<0
reazione endotermica
Prodotti della reazione
Nel sistema di riferimento del C.d.M. I due protoni si avvicinano con quantità di moto uguali e
contrarie. Se l’ energia cinetica totale è minore di 137 MeV la reazione non può avvenire.
p1H  p  p  e   13.6eV
Cosa succede se nel C.d.M.
l’ energia cinetica tot.:
 13.6eV ?
' 
K tot
 13.6eV ?
 13.6eV ?

Nel laboratorio invece ( 1H è in quiete), l’ energia del protone deve essere Ke>13.6eV.
In questo sistema l’ energia minima si chiama:soglia della reazione
m2

Ei 
m1  m2  

E  Q

E  
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m2
Ethr.  Q
m1  m2
Ethr. 
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 per Q  0
m1  m2
Q 
m2
 per Q  0 non c' è soglia
21
p1H  p  p  e   13.6eV
m1  m2
Ethr.
m  m2
 1
13.6eV  27.2eV
m2
Solo metà dell’ energia del protone
viene usata per la ionizzazione di 1H
l’ altra metà va in moto del C.d.M.
e  1H  2e  p  Q(13.6eV )
Ethr. 
m1  m2
 m 
m1  m2
Q  1  1  Q  13.6eV
m2
 m2 
n 3He2H  2H  Q
Ethr. 
dove
Q  3.27 MeV
m1  m2
4
Q  3.27 MeV   4.36MeV
m2
3
La reazione inversa: 2 H  2H
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In pratica tutta l’ energia dell’ elettrone
viene usata per la ionizzazione di 1H
 n 3He  3.27 MeV
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Produce enrgia! (fusione calda!)
22
Urto
di una particella in un campo centrale repulsivo

v0

y
b= parametro d’ impatto
B

v

r



F
Fy
k
r2
A : L  mv0b
L  momento angolare
M ( generico ) : L  I  mr 2

v0 A
M
b
mr 2
x
Nella direzione y:
Fy  Fsen 
dv
k
cos   m x 
2
r
dt
d
dt
Forza centrale  conservazione del momento angolare
particella
centro scatteratore
Fx  F cos  
F
dv y
k
sen


m
r2
dt
dv y
dt

d
 mv0b
dt
k
d
sen
mv0b
dt
Non altera il valore di v0!!!!!
…che va integrata tra due punti della traiettoria (opportuni):
•
A  v y  0;  0
•
B  v y  v0 sen ;    
cot
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v0 sen

2
k
dv

0 y mv0b
 
 send
0
v0 sen 
k
1  cos  
mv0b

1  cos  
 mv02

 cot 
b
sen
2
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k
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