Terza settimana
La sfera celeste
Sistemi di riferimento astronomici
Il Tempo siderale
Prime nozioni sui moti dell'equinozio
Trasformazioni di coordinate
Esercizio svolti
Esercizi per casa
02/05/2005
C.Barbieri Astronomia I AA 2004-05
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La sfera celeste - 1
Ritorniamo al modello di sfera celeste di raggio indeterminato. Ciò
significa anche implicitamente che il centro della sfera celeste, a tutto rigore
passante per l'osservatore (sfera topocentrica, sistemi di riferimento topocentrici),
all'atto pratico può essere trasferito nel centro della Terra, o del Sole, o del
baricentro del sistema solare (sfera geocentrica, eliocentrica, baricentrica) senza
che ci si debba preoccupare di tale traslazione a meno che la distanza al corpo
celeste in esame sia piccola. Dovremo pertanto fare attenzione per la Luna, i
pianeti, il Sole, gli asteroidi, le comete, le stelle vicine, ma per la gran parte delle
stelle, per le galassie e i corpi a distanza cosmologica l'origine del riferimento di
coordinate è irrilevante.
Sulla sfera celeste, possiamo misurare distanze angolari relative (ad es. tra due
stelle) ancor prima di aver istituito un vero sistema di riferimento, e dunque
possiamo usare cerchi massimi e angoli al centro. La Luna e il Sole forniscono
un grossolano indicatore per osservazioni visuali, avendo entrambi i corpi
diametro angolare apparente di circa mezzo grado.
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La sfera celeste - 2
Con dispositivi puramente meccanici, ad es. l'occhio più traguardi e livelle
(i soli mezzi disponibili fino agli inizi del XVII secolo), si potevano
raggiungere precisioni di 1 o 2 primi d'arco (una avvertenza, la visione
fornisce impressioni associate con archi, non con angoli; per questa
ragione per esempio la Luna all'orizzonte sembra molto più grande che
allo Zenit).
Con dispositivi ottici, la precisione sulla distanza e/o posizione relativa
può raggiungere il millesimo di secondo d'arco.
Molto più delicato è il problema di definire e mantenere un sistema di
riferimento assoluto, coerente su tutta la sfera celeste, in modo da operare
con angoli e direzioni dal centro. Il satellite europeo Hipparcos, i cui dati
divennero disponibili dal 1997, ha portato a sostanziali miglioramenti
rispetto ai cataloghi precedenti, grazie a due cruciali vantaggi, cioè
l'assenza di orizzonte e l'assenza di rifrazione atmosferica.
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Zenit e Polo Celeste
Da ogni località sulla terra, la
volta celeste appare ruotare
attorno a una direzione che
definisce i poli celesti, di cui solo
uno è visibile sopra all’orizzonte.
Si noti la località della
costruzione, ciascun luogo ha
associato un sistema di cerchi
verticali rispetto ai quali la volta
celeste ruota in continuazione.
Le stelle sorgono a Est e
tramontano a Ovest.
Una stella come X, il cui cerchio parallelo non va mai sotto l’orizzonte, si dice
circumpolare (per quella località), ed è visibile tutta la notte. V’è comunque
tutta una calotta sferica che non sorge mai sopra l’orizzonte, ed è invisibile da
quella data località (tranne che all'equatore).
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Il sistema Alt-Azimutale
Il sistema Alt- Azimutale (o orizzontale) si basa sul piano orizzontale e sulla
retta ad esso perpendicolare, cioe’ la verticale. Almeno in linea di principio,
questo sistema si puo’ realizzare immediatamente con dispositivi semplici,
quali il filo a piombo e la livella. I punti in cui la verticale taglia la sfera
celeste si chiamano rispettivamente Zenit Z (sopra alla testa), e Nadir (sotto i
piedi, inosservabile) Z’. Il piano passante per l’osservatore e perpendicolare
alla verticale (ad es. la superficie libera di un liquido) si chiama orizzonte
astronomico, da non confondere con l'orizzonte visibile ad es. da un aereo.
Consideriamo ora il polo celeste P, e conduciamo il grande cerchio per P e Z;
questo cerchio e’ il meridiano dell’osservatore, e ovviamente deve contenere
anche Z’ e l’altro polo S. Il meridiano taglia l’orizzonte in due punti, cioè il
vero Nord (dal lato di P rispetto a Z) e vero Sud. Ogni altro circolo passante
per Z, Z’ (cioe’ contenete la verticale) si chiama appunto circolo verticale. In
particolare quello a 90° dal meridiano si chiama ‘primo verticale’; esso
definisce sull’orizzonte i punti di vero Est (E) e vero Ovest (W). Questi
quattro punti sull’orizzonte N,S,E,W sono i punti cardinali.
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La sfera altazimutale
0h A 24h, 0° A 360°
0° h 90°
L’altezza del Polo celeste visibile sopra
all’orizzonte si dice latitudine astronomica  del
luogo. Con temine arabo, si dicono almucantarat,
o almucantar, i paralleli di altezza. Data la stella
X diremo azimut A l'arco SX' o l'angolo al centro
SOX', e altezza h l'arco X'X ovvero l'angolo
X'OX. La coppia (A, h) dipende dalla località e
cambia con il passare dei minuti causa la
rotazione della volta celeste. Se h < 0 l'oggetto è
invisibile (sotto all'orizzonte).
Due avvertenze: 1- in molte applicazioni l'azimut si conta da N e non da S, e in alcuni
sistemi il verso dell'angolo è antiorario. 2 - talvolta conviene usare l'angolo z = 90°-h,
detto distanza zenitale.
Per passare dalla sfera topocentrica a quella geocentrica si deve conoscere la posizione
della località sull’ellissoide, con il metodo visto in precedenza. Questo passaggio è
necessario quando si osservano corpi a piccola distanza dall’osservatore, ad es. quelli
del Sistema Solare (pianeti, asteroidi, comete).
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Angolo Orario e Declinazione (sistema orario)
Sulla sfera celeste, il meridiano taglia
l’equatore celeste dalla parte del
Sud nel punto M (mezzocielo). Per
ogni stella X, si conduca il cerchio
massimo passante per il polo visibile
P (detto cerchio orario di P), cerchio
che evidentemente passa anche per
l’altro polo, e che interseca l’equatore
in X’. Diremo angolo orario HA e
declinazione  di X la coppia di
coordinate angolari:
HA(X) = arco MX’
(X) = arco X’X
o i corrispondenti angoli al
centro.
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Sistema Orario
Ripetendo, sia X’ l’intersezione tra cerchio orario e equatore: si chiamerà
angolo orario di X, HA(X), l’arco MX’, usualmente contato verso Ovest da
M, e espresso in (h m s) tra 0h e 24h :
HA(X) = arco MX’ ,
0h HA(X) 24h
(sono possibili altre scelte, ad es. è intuitivo misurare HA positivo verso W
da 0h a 12h, e negativo verso E da 0h a –12h, così come si possono usare
gradi o radianti).
Quando HA = 0h , si dice che la stella è in culminazione superiore, quando
HA = 12h , la si dice in culminazione inferiore.
La seconda coordinata di X, chiamata declinazione , è l’arco X’X, contato
in (° ’ ”) da 0° a 90°, positiva verso il Polo celeste Nord, e negativa verso il
Polo celeste Sud:
 (X) = arco X’X , -90°   (X)  +90°
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L’eclittica
Consideriamo il luogo occupato dal Sole durante il suo moto annuale
sull’eclittica, cioè il cerchio maggiore descritto in un anno alla velocità
angolare di circa 1°/giorno, in senso diretto (verso Est). L’eclittica è inclinata
sull’equatore di un angolo   23°27’, angolo detto obliquità dell’eclittica.
Equatore e eclittica si intersecano in due punti opposti, detti equinozi; quello
vernale è dove il Sole (indicato con ⊙) transita all’inizio della primavera,
attorno al 21 marzo; quello autunnale si ha 6 mesi più tardi, attorno al 21
settembre. In entrambi i punti si ha  (⊙) = 0°, ma la derivata di  (⊙) è
positiva nel primo caso, negativa nel secondo. Il punto vernale si indica
usualmente con il segno astrologico dell’Ariete, graficamente approssimato
con la lettera greca  (gamma), il punto di autunno con il segno astrologico
della Libra , approssimato con la lettera greca  (Omega).
I punti sull’eclittica a 90° dagli equinozi si chiamano solstizi, rispettivamente
di estate (circa il 21 giugno) e di inverno (circa al 22 dicembre); la
declinazione del Sole in questi punti è ⊙ =  .
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Equatore celeste e eclittica
I grandi cerchi passanti per i
poli e gli equinozi o i solstizi,
si dicono coluro degli
equinozi (o rispettivamente
dei solstizi).
I poli dell’eclittica
appartengono al coluro dei
solstizi.
Il Polo eclitticale E e’ nella
costellazione del Draco,
vicino alla nebulosa gassosa
NGC 6543. La stella brillante
piu’ vicina a E e’  Draconis,
di quarta magnitudine visuale,
a circa 3° di distanza.
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Ascensione Retta e Declinazione
(sistema equatoriale)
Data una stella X, si conduca il grande cerchio per
il polo celeste NCP e X, che interseca l’equatore
in X’; come origine della prima coordinata
angolare si scelga il punto vernale (o equinozio)
, e si misuri l’arco X’ in senso diretto: questo
arco e’ la Ascensione Retta di X, indicata di
solito con la lettera greca , arco X’ = AR(X) =
(X), e misurata in (h m s) da 0h a 24h. Si noti il
verso di , opposto a quello di HA. L’ascensione
retta può anche essere definita come l’angolo al
polo tra l’angolo orario della stella e il coluro
vernale. Per il Sole, agli equinozi, ⊙ = 0h and 12h
La declinazione di X e’ definita come prima,  (X) = arco X’X, 0 | (X)| 90°.
Il polo nord dell’eclittica E ha  (E) = 18h,  (E) = 90° - .
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Il Tempo Siderale
Si definisca ora tempo siderale ST l'angolo orario del punto :
ST  HA(
)
che è quantità continuamente variabile tra 0h e 24h, a causa della rotazione della
Terra. Prendendo in considerazione il verso opposto di HA rispetto a quello di ,
per una qualunque stella X abbiamo la relazione fondamentale :
 (X)  ST  HA(X)
che fissa la trasformazione tra il sistema orario e quello equatoriale. L'applicazione
pratica della formula richiede che si consideri la convenzione adottata per HA,
perché per definizione 0h    24h. Ad ogni modo, quando la stella transita nel
meridiano superiore (HA = 0h), la sua ascensione retta coincide con il tempo
siderale. Questa importantissima relazione può essere letta in entrambi i versi: se
conosciamo bene ST allora determiniamo la  delle stelle che transitano in
meridiano; se invece abbiamo un catalogo di stelle fondamentali per le quali
conosciamo bene la , allora determiniamo bene ST misurando i transiti di tali
stelle.
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Il Tempo Siderale e la rotazione della Terra
ST è quantità variabile nel tempo, causa la rotazione della Terra, in modo
abbastanza regolare; anzi, per ora ignoriamo qualunque deviazione dalla
uniformità. Potremmo allora costruirci un orologio speciale la cui lettura
coincidesse ad ogni istante con ST. Per tutte le applicazioni pratiche potremmo
allora legittimamente identificare ST con un tempo, purché ci rimanga ben
presente la definizione rigorosa di ST come angolo istantaneo sull'equatore
celeste tra il meridiano e il punto .
Questo è il metodo usato negli ultimi secoli per costruire i cataloghi
fondamentali di stelle.
Le osservazioni mostrano tuttavia che la rotazione della Terra non è così
uniforme come si poteva supporre nel passato. Sia la direzione che il modulo
del vettore rotazione diurna mostrano andamenti secolari e fluttuazioni a corto
periodo (precessione, nutazione, nutazione euleriana, irregolarità varie) che
sono ben misurabili. Si deve dunque fare molta attenzione nell'uso di ST come
unità di tempo.
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I moti dell’equinozio - 1
L'ascensione retta rimarrà costante tanto quanto il punto vernale  rimane
fisso rispetto alle stelle. In realtà,  è soggetto a moti secolari e periodici
dovuti all'osservatore, e le coordinate stesse avranno piccole e lente
variazioni a causa del moto delle stelle rispetto al Sole (moti propri).
Anche l'obliquità dell'eclittica  non è proprio costante. Tuttavia, su corte
scale temporali (ad es. 1 anno), la coppia ordinata (, ) rimarrà quasi
costante, e per periodi più lunghi si possono derivare formule di correzione
accurate. Dunque, il sistema equatoriale è quello fondamentale
per ogni accurata descrizione della volta celeste, ed è quello usato dai
maggiori cataloghi stellari.
Alcuni cataloghi: AGK3 e FK4, SAO PPM, FK5, USNO, HIPPARCOS,
TYCHO, GSC (HST).
Tali cataloghi danno la coppia (, ) a un’epoca iniziale (oggi J2000.0, nel
passato recente B1950.0), e talvolta anche i moti propri, oltre alla
magnitudine e (non sempre) il tipo spettrale.
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I moti dell’equinozio - 2
Il punto vernale  ha tre tipi di moto:
•La precessione lunisolare, che lo fa scivolare incontro al Sole di circa 52”.3
all’anno, sull’eclittica; è dunque un moto periodico con lunghissimo periodo
(circa 26.000 anni, per cui lo si può considerare un effetto secolare)
•La precessione planetaria, che altera  a livello di –0”.47/anno, anche in
questo caso con lunghissimo periodo
•La nutazione, un insieme di fenomeni a corto periodo dovuti , alla
retrogradazione dei nodi dell’orbita lunare (18.6 anni), alla variabile distanza
Terra-Luna (periodo 1 mese lunare), alla variabile distanza Terra-Sole (periodo 1
anno), a un insieme di cause geofisiche. Servono oltre 110 termini per esprimere
la nutazione con sufficiente precisione!
Le coordinate equatoriali osservate a una certa data vanno pertanto corrette a
una certa epoca (ad es. al J2000.0) con opportune formule; se si tiene conto solo
dei fenomeni secolari (precessione luni-solare + precessione planetaria =
precessione generale) si hanno le cosiddette coordinate medie.
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Cataloghi fondamentali
La costruzione di un catalogo fondamentale è una operazione molto complessa.
Molti cataloghi stellari hanno infatti una natura differenziale, cioè danno posizioni
relative a un insieme di stelle fondamentali. Dal 1964 si usò il catalogo detto FK4,
contenente circa 1500 stelle brillanti. La sua revisione, FK5, pubblicata nel 1988
(Fricke et al.) dà le posizioni e moti propri di 1535 stelle brillanti, con una nuova
determinazione della posizione di , con l'adozione delle nuove costanti di
precessione raccomandate dalla International Astronomical Union (IAU) nel 1976,
e l'eliminazione della aberrazione ellittica dalle coordinate medie. Fu pubblicata
anche una estensione dell'FK5 contenente altre 3117 stelle secondarie più deboli,
fino alla mag. 9.5.
Dal 1997, è disponibile un nuovo riferimento fondamentale, chiamato International
Celestial Reference Frame (ICRF), basato sulle posizioni di un piccolo numero di
radiosorgenti extragalattiche. Il catalogo basato su questo riferimento, la cui
origine è stata traslata nel baricentro del Sistema Solare, è chiamato International
Celestial Reference System (ICRS). Il catalogo del satellite astrometrico europeo
Hipparcos è stato riferito a questo sistema, e così lo sono le effemeridi dei corpi del
Sistema Solare System pubblicate dal Jet Propulsion Laboratory.
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Coordinate eclitticali
Il sistema di coordinate
eclitticali ha l'eclittica come
piano fondamentale, piano
inclinato su quello dell'equatore
celeste dell'angolo  (obliquità
dell'eclittica).
L'origine del sistema di
coordinate è lo stesso punto
vernale  origine delle
coordinate equatoriali.
Le longitudini eclitticali l si danno di solito in (° ’ ”) tra 0° and 360°, nello stesso
verso diretto delle Ascensioni Rette.
Le latitudini eclitticali b si danno in (° ’ ”) tra 0° e 90°, come le declinazioni.
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Coordinate galattiche
Nel sistema galattico, il piano fondamentale
è determinato dalla distribuzione nello spazio
della materia cosmica. Dunque la costruzione
pratica del riferimento non dipende da misure
di direzione ma da conteggi di stelle (nel
vecchio sistema detto ( lI,bI)), oppure dalla
determinazione della brillanza superficiale
dell'Idrogeno interstellare, cioè della
intensità della riga 21-cm (1420 MHz) nel
nuovo sistem (lII,bII), che ora viene indicato
con (l,b).
Le coordinate equatoriali del Polo Nord Galattico G, l'angolo di posizione GC e le
coordinate equatoriali del centro galattico da tale polo sono (B1950.0) :
G = 12h49m, G = +27°.4, GC = 123°, GC = 17h45m, GC = -28°.6
Le coordinate galattiche non sono mai usate per dare posizioni di alta precisione.
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Coordinate galattocentriche
Non si confondano le coordinate
galattiche, il cui centro è sempre
l'osservatore (o il Sole all'atto pratico),
con le coordinate galattocentriche
(X, Y, Z), che hanno lo stesso piano
fondamentale, ma la cui origine è il
centro della Via Lattea. La distanza del
Sole da tale centro, situato nella
costellazione del Sagittario, si stima a
circa 8 kiloparsec.La direzione del CG
è individuata da una forte
radiosorgente. Probabilmente al centro
c'è un buco nero di massa di qualche
milione di masse solari.
Foto del Centro della Via Lattea
(Anglo Australian Observatory)
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La rotazione della Via Lattea
Il Sole, e così tutto il Sistema Solare, orbita attorno al Centro Galattico su
un'orbita quasi circolare (e quasi piana) alla velocità di circa 250 km/sec. La
durata di una rivoluzione completa è di circa 220 milioni di anni. Dunque, se
il Sistema Solare si è formato circa 4.6 miliardi di anni orsono, il Sole ha
compiuto una ventina di rivoluzioni complete.
In aggiunta a questa rivoluzione galattica, il Sole si muove rispetto alle stelle
vicine (moto peculiare del Sole) in direzione del cosidetto 'apice del moto
solare' (posizione approssimata  = 18:01,  = +26 al 2000.0) ) con una
velocità di circa 20 km/s. Questo moto fu scoperto da William Herschel nel
1783.
Si faccia attenzione che il verso della rotazione della Galassia fa sì che in
effetti quello che noi chiamiamo Polo Nord Galattico (situato nella
costellazione della Coma) sia il polo sud nella usuale definizione collegata
con il verso del vettore 'momento angolare'.
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Alcune galassie a spirale
M31 (sopra), M33 (a lato). Foto
Prese con i telescopi di Asiago
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Trasformazioni di coordinate
Questo Capitolo considera varie regole per trasformare le
coordinate da un sistema a un altro. Verranno usate due
tecniche, quella della rotazione di matrici e quelle della
trigonometria sferica.
E' utile ricordare che nella gran parte dei casi le trasformazioni
saranno rotazioni rigide attorno all'origine, con in più talvolta
una traslazione da un'origine all'altra.
Più avanti tuttavia incontreremo fenomeni che distorcono
(beninteso, lievemente) l'aspetto della volta celeste, ad es.
l'aberrazione, o la deflessione gravitazionale della luce.
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Trasformazioni mediante rotazione di matrici
Dati due riferimenti Cartesiani ortogonali (x, y, z) e (X, Y, Z) aventi la stessa origine
O, per trasformare l'uno nell'altro si possono usare le seguenti relazioni
 X  x cos xX  y cos yY  z cos zZ

Y  x cos xY  y cos yY  z cos zY
 Z  x cos xZ  y cos yZ  z cos zZ

o anche, con notazione matriciale:
X
x
 
 
Y

R
 
 y
Z 
z
 
 
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 cos xX

R   cos xY
 cos xZ

cos yX
cos yY
cos yZ
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cos zX 

cos zY 
cos zZ 
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Da cartesiane a polari
Dato il punto P(x, y ,z) = P(X, Y, Z) a distanza r da O, si introduca il sistema
polare (r, l, b), e il sistema ruotato (sempre per O) (R, , B) ( si è detto che
alcuni autori preferiscono usare il complemento of b come angolo polare):
 x  r cos b cos l

 y  r cos b sin l
 z  r sin b

 X  r cos B cos 

Y  r cos B sin 
 Z  r sin B

 cos B cos  
 cos b cos l 




cos
B
sin


R
cos
b
sin
l




 sin B

 sin b





dove la matrice di rotazione R deve essere specificata di volta in volta. Si noti la
scomparsa di ogni dipendenza da r, cosicché queste relazioni si applicano anche
alla sfera unitaria.
La trasformazione inversa si ottiene scambiando il ruolo di (x, y, z) con (X, Y, Z),
facendo attenzione a mantenere il verso positivo degli angoli. Cio' implica che la
matrice della rotazione inversa è la trasposta di R:
R  R 
1
T
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T
Rij  R ji

1
1
1
(
R
R
)

R
R
R ( )  R( )
i
j
j
i
1
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Successione di rotazioni
In generale, una qualunque rotazione si può sempre supporre come risultato di tre
diverse rotazioni successive, R1 attorno all'asse x, R2 attorno all'asse y, R3 attorno
all'asse z, R=R1R2R3, con:
0
0 
1


R1 (1 )   0 cos 1 sin 1 
 0  sin  cos  
1
1

 cos 2

R 2 (2 )   0
 sin 
2

0  sin 2 

1
0 
0 cos 2 
 cos 3

R 3 (3 )    sin 2
 0

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sin 3
0

0
1 
cos 3
0
25
Da equatoriali a eclittiche - 1
Come primo esempio, consideriamo la trasformazione da equatoriale (, ) a
eclittica (l, b), orientando gli assi x e X da O verso il punto , e dirigendo l'asse z
verso il polo nord celeste P, e l'asse Z verso il polo eclittico Nord E. I valori degli
angoli sono:
xX  0 , xY 

2
, xZ 

3
, yY   , zZ   , zY     , etc.
2
2
I due sistemi sono dunque connessi da una rotazione di 23°.5 (l'obliquità
dell'eclittica) attorno all'asse x, R1(), o inversamente di - attorno all'asse X:
0
1

R1 ( )   0 cos 
 0  sin 

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0  1
0
0 
 

sin     0 0.9171 0.3987 
cos    0 0.3987 0.9171 
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26
Da equatoriali a eclittiche - 2
cos b cos l  cos  cos 

cos b sin l  cos  sin  cos   sin  sin 
sin b   cos  sin  sin   sin  cos 

e l'inversa è (attenzione ai segni):
cos  cos   cos b cos l

cos  sin   cos b sin l cos   sin b sin 
sin   cos b sin l sin   sin b cos 

Si noti che sono necessarie tre equazioni per determinare due angoli e i loro
segni (quadranti).
Abbiamo anche già rilevato che ci vuole estrema cura nel fare i conti in
prossimità dei poli.
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27
Da Alt-Az a orarie e equatoriali -1
Con la stessa tecnica possiamo trasformare le coordinate Alt-Az (A, h) (con la nostra
origine dal Sud; si faccia attenzione anche al fatto che vari autori usano la distanza
zenitale z in luogo della altezza h) in Angolo Orario e Declinazione, (HA, ), e poi
dalla conoscenza del tempo siderale TS, in equatoriali (, ). In questo caso gli assi
x e X punteranno entrambi verso W, l'asse y a S, l'asse z verso lo zenit Z, l'asse Y a
M sull'equatore celeste e l'asse Z verso il polo celeste Nord. Chiaramente si deve
conoscere la latitudine astronomica  del sito. La matrice di rotazione sarà in tal
caso:
0
0 
1


R   0 sin  cos  
 0  cos  sin  


Tuttavia, per convenzione il verso degli angoli cartesiani è opposto a quello di HA
e A, entrambi crescenti in verso retrogrado, e dunque:
cos h sin A  cos  sin HA
sin HA cos   sin A cos h


cos h cos A  cos  cos HA sin   sin  cos 
cos HA cos   cos A cosh sin   sin h cos  
sin h  cos  cos HA cos   sin  sin 
sin    cos A cos h cos   sin h sin 


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Da Alt-Az a orarie e equatoriali -2
Supponiamo ora di conoscere le
coordinate equatoriali (, ) della
stella X e il tempo siderale ST,
cosicché HA è anche immediatamente
noto. Per puntare un telescopio avente
montatura Alt-Azimutale, dobbiamo
calcolare (A, h) dalle precedenti
relazioni; la terza equazione ci dirà se
la stella è visibile sopra all'orizzonte. Il
limite di visibilità h = 0° si raggiunge
quando:
cos HA   tan  tan 
(relazione che dà l'angolo orario del sorgere e del tramontare). Allo stesso modo,
l'Azimut del sorgere e del tramontare è dato da:
cos A   sin  sec 
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Da Alt-Az a orarie e equatoriali -3
Si trovano facilmente anche le due seguenti relazioni:
sin HA cos 
A  arctan
cos HA cos  sin   sin  cos 
h  arcsin  cos  cos HA cos   sin  sin  
la cui applicazione pratica esige la solita cautela sul quadrante di
arrivo.
Come utile esercizio si applichino tali relazioni a stelle
circumpolari, provando l'esistenza di una massima e una minima
digressione dal meridiano.
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Velocità Angolari - 1
E' utile derivare le velocità angolari usando il tempo siderale come variabile, e
trascurando gli effetti della rifrazione atmosferica (oltre a altri termini molto più
piccoli dovuti ai movimenti di equinozio e di polo):
dHA
1
dt
 0
h cos h   cos  sin HA cos 
Da queste e dalle precedenti relazioni otteniamo:
h   cos  sin A , A  sin   cos A tan h cos 
La velocità in altezza è sempre ristretta tra 1 (cioè  15°/(ora siderale), è nulla per
un telescopio ai poli geografici, ed è massima per un telescopio all'equatore. Più
complesso è il comportamento della velocità azimutale. All'orizzonte vale sin  , e
dunque è positiva nell'emisfero Nord e negativa in quello Sud, sia al sorgere che al
tramonto (e ovviamente stazionaria sull'equatore terrestre). Ciò si può capire anche
ricordando che abbiamo definito il verso apparente di rotazione della volta celeste
rivolgendo le spalle al polo visibile.
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Velocità Angolari - 2
Consideriamo un telescopio con montatura Alt-az, e notiamo che il campo di vista
è in continua rotazione con variabile velocità angolare, dato che la sfera celeste
ruota attorno a una direzione che non coincide con quella degli assi meccanici. Per
una data stella X, si chiami angolo parallattico q l'angolo:
ˆ
q  ZPX
sin A cos 
ˆ
q  ZPX 
cos 
La derivata temporale di q è:
cos  cos A
cos  cos A
q
A
cos  cos q
cos h
Nel caso particolare di una stella che transiti per lo Zenit ( = ) la velocità
azimutale diviene infinitamente grande quando la stella si avvicina al
meridiano; per questa ragione un telescopio in montatura Alt-az ha una zona cieca
attorno allo Zenit, dunque un cono la cui apertura si può rendere inferiore a 1° con
una attenta scelta dei motori e dei controlli.
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Velocità Angolari - 3
Per una stella circumpolare, alla massima digressione la
velocità è tutta in altezza; questo fatto può essere sfruttato per
determinare con esattezza il meridiano e la latitudine del luogo.
La rotazione di campo si incontra anche nei telescopi in
montatura equatoriale se parte della struttura è fissa rispetto al
suolo, ad es. nel cosiddetto fuoco Coudè, in cui la luce è portata a
un grande spettrografo sul pavimento dell'osservatorio.
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Trasformazioni mediante la trigonometria sferica - 1
La trigonometria sferica è il
secondo metodo di
trasformazione. Ad
esempio, la Figura dà gli
elementi necessari per
effettuare la trasformazione
tra coordinate equatoriali e
eclittiche per mezzo dei
gruppi di Gauss.
Troveremmo facilmente le
stesse equazioni già viste
prima, e le loro inverse.
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Trasformazioni mediante la trigonometria sferica - 2
Dato che la trasformazione da equatoriali a galattiche è più complicata, è meglio
vederla in dettaglio. Sia P il polo celeste Nord, G il centro galattico e CG il piano
galattico. Data la stella X, dai triangoli sferici otteniamo:
cos b sin( GC  l )  cos  sin(   GC )

cos b cos( GC  l )  cos  G sin   sin  G cos  cos(   G )
sin b  sin  sin   cos  cos  cos(   )
G
G
G

cos  sin(   G )  cos b sin( GC  l )

cos  cos(   G )  sin b cos  G  cos b sin  G cos( GC  l )
sin   sin b sin   cos b sin  cos(  l )
G
G
GC

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Trasformazioni mediante la trigonometria sferica - 3
Se uno preferisse la tecnica della rotazione di matrici, ricordi le coordinate
equatoriali dei 3 punti:  (0,0), G (192°.3, +27°.4), GC (265°.6,-28°.9)
(all'epoca B1950.0, secondo la definizione dell'IAU), e calcoli le distanze
angolari:
cos  G  cos xZ  0.86760
 G  xZ  150.2
cos  GC  cos xX  0.06690
 GC  xX  93.9
 0.06690 0.49273 0.86760 


R G   0.87276 0.45035 0.18838 
 0.48354 0.74459 0.46020 


Si noti che le coordinate equatoriali della stella si devono precessare al B1950.0
prima della trasformazione. Benché non siano state definite formalmente dall'IAU,
se teniamo conto che le coordinate galattiche non vengono mai usate in lavori di
alta precisione astrometrica, possiamo assumere i seguenti valori all'epoca J2000:
G (192°.84, +27°.13) = (12h51m, +27°07’.7),
GC (266°.41, -28°.94) = (17h45m.6, -28°56’.2) .
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La distanza angolare tra due stelle
Applichiamo le precedenti relazioni al calcolo della distanza angolare (sulla volta
celeste) tra due stelle X1 e X2, un numero che è ovviamente indipendente dal
particolare sistema di coordinate. Per essere specifici, consideriamo coordinate
equatoriali, e conduciamo il grande circolo per le due stelle (vedi Figura):
cos X1X2  sin 1 sin  2  cos 1 cos  2 cos  ,  = 1  2
Si chiami angolo di posizione p l'angolo
contato dal Nord verso Est, che è anche
l'angolo al vertice X1 del triangolo sferico
X1PX2. Dunque:
sin X1X 2 sin p  cos  2 sin 
sin X1X 2 cos p  cos 1 sin  2  sin 1 cos  2 cos 
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Da equatoriali a eclittiche per il Sole
Applichiamo le trasformazioni tra coordinate equatoriali e eclittiche al Sole
(assumendo che b⊙ = 0°, una approssimazione valida per gli scopi presenti):
sin   tan  / tan 
cosicché, con dovuta considerazione alla data (cioè al quadrante in cui si
situa il Sole), la misura di ⊙ dà ad ogni istante l'origine delle
Ascensioni Rette, cioè del punto .
Questa considerazione sottolinea il ruolo fondamentale giocato dal Sole (e
non dalle stelle!) nel definire il Tempo Siderale.
Si faccia attenzione che dopo il solstizio d'estate, l'arco tra il Sole e 
diventa maggiore di 180°.
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Esercizi svolti - 1
1 -Sia data una stella con ascensione retta  = 18h30m00.00s e declinazione  =
– 00o15’00”.0, all’equinozio della data. Per l’Osservatorio di Asiago–Cima
Ekar (longitudine 11o34’07”E, latitudine +45o50’58”, altezza s.l.m. 1395m) si
determinino gli angoli orari del sorgere e tramontare al 23 luglio 2003,
trascurando la correzione per rifrazione atmosferica.
Dalle Lezioni abbiamo che il limite di visibilità (h > 0) si ha quando:
cos HA   tan   tan 
Essendo la stella quasi equatoriale ci si aspetta che il sorgere e tramontare sia
praticamente nei punti cardinali E e W, e infatti il conto con l’equazione dimostra che
HA =  89°.74 =  5h.98 =  5h59m.
Si provi a rifare i conti per stelle con  variabile tra – 30° (il limite pratico di visibilità
da Asiago) fino alle stelle circumpolari.
Se poi l’astro fosse il Sole, oppure la Luna: le coordinate di catalogo si riferiscono ai
centri, per cui questa relazione darebbe l’istante del sorgere e tramontare del centro
dei due dischi (sempre a meno della rifrazione atmosferica).
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Esercizi svolti - 2
2) Distanza angolare tra due stelle
Determinare la distanza angolare tra due stelle di coordinate equatoriali note,
verificando il metodo nel seguente caso: (1,1)= (21h30m45s.15,
+40°20'50".2), (2,2)= (2h10m15s.58, -42°40'30".7) e discutendo la precisione
raggiungibile quando la distanza angolare tende a 0° o a 180°.
La distanza angolare d tra due astri di nota AR e Dec si trova dalla formula:
cos d  sen  1 sen  2  cos  1 cos  2 cos1   2 
e la stessa formula si può applicare per qualunque altro sistema di coordinate.
Mettiamo tutti i valori in gradi e decimali, mantenendo 8 cifre significative:
 2  42.67519444
  322.6881251  1  40.34727778  2  32.56491668
1
Nel caso particolare in linea di principio si deve solo fare attenzione alla
differenza di AR, dato che l'arco
1   2  15  (21h .512542  2 h .166667)  290.1232084
è maggiore di 180°; il suo coseno vale: 0.34404006.
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Esercizi svolti (cont.)
Usiamo allora come AR della prima stella il valore:
1 = - (360° - 322°.6881251) = -37°.31187490
da cui il valore  = 69°.87679158, il cui coseno vale come prima 0.34404006.
Quindi la formula automaticamente tiene conto di questa caratteristica; tuttavia è
utile ricordare che nella definizione di triangolo sferico intervengono sempre
archi di lunghezza minore di 180°.
A questo punto abbiamo:
cos d  0.64741888  (0.67784143)  0.76213437  0.73520813  0.34404006 
 0.24607227
d = 104°.2452106 = 104°14'42".758
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Esercizi svolti (cont.)
Non conviene usare la formula precedente quando la distanza tra le due stelle è
troppo vicina a 0° perché allora il coseno varia troppo lentamente; conviene
piuttosto considerare un triangolo piano. Se le AR sono espresse in ore minuti e
secondi di tempo allora converrà esprimere le differenze in AR e Dec
rispettivamente in secondi di tempo e secondi d'arco e ottenere la distanza d in
secondi d'arco dalla formula:
d
15  cos  2  ( ) 2
Come limite di validità si può porre un lato massimo sui 10' (cos d >
0.999995). Se proprio si vuole, si può anche porre:
cos   cos
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1   2
2
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Esercizi per casa
1) Discutere gli elementi dei triangoli sferici passanti per:
il punto vernale , il punto a (,) = (6h, 0°), il polo celeste Nord
il punto vernale , il punto a (,) = (18h, 0°), il polo celeste Nord
il punto vernale , il punto a (,) = (21h, 0°), il polo celeste Nord
A quali date il Sole avrà le dette ascensioni rette? E quali le declinazioni solari in
tali date?
2) le coordinate equatoriali del Sole al 26 gennaio sono:
 = 20h33m52s.89 ,
 = -18°44’55”.7
a) Ricavare la durata della notte astronomica per un sito a 56° di latitudine.
b) Ricavare le coordinate eclitticali del Sole alla stessa data
3) Si supponga che la posizione di Giove sia (11h40m30s.4, +9°44'39"), e che
quella del suo sesto satellite sia (11h38m05s.4, +10°10'57"). Si calcolino l'angolo
di posizione e la distanza relativa a Giove del satellite.
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