Determinare l’energia dello stato fondamentale e dei primi livelli eccitati di un
elettrone in una buca di potenziale infinita di larghezza a nei casi che a abbia dimension
1) microscopiche, di larghezza 1 Amstrong
2) microscopiche, di larghezza 10 Amstrong
3) macroscopiche, di larghezza 30 cm
per una buca di potenziale infinita di larghezza L si era ottenuto
in questo caso si avra’:
En 
n 
n c

2me a 2
2me c 2 a 2
2
2
2
2
2
2 2
E
2
2
2
2mL
c  1.973 KeV  A
me c 2  511 KeVc2
o
se a  1 A
 2 2c 2
9.869  (1.973) 2
2
E1 


3
.
76

10
KeV  37 eV
2 2
2me c a
2  5111
9 2  2 c 2
E3 
 9  37  333 eV
2 2
2me c a
con n = 1, 2, 3..
0
1) Elettrone in una buca di potenziale microscopica :
4 2  2 c 2
E2 
 4  37  148 eV
2 2
2me c a
n2
E2  E1  111 eV
E3  E2  185 eV
o
se a  10 A
π 2 2c 2
9.869  ( 1.973 )2
4
2
E1 


3
.
76

10
KeV

37

10
eV
2 2
2me c a
2  511100
E2  E1  111102 eV
E3  9E1
E2  4E1
E3  E2  185 10 2 eV
3 ) Elettrone in una buca di potenziale macroscopica
o
se a  30 cm  3 10 A
9
 2 2c 2
9.869  (1.973) 2
 21
18
E1 


4
.
18

10
KeV

4
.
18

10
eV
2 2
9 2
2me c a
2  511 (3 10 )
E2  E1  12.5 1018 eV
E2  4E1 E3  9E1 etc.
E3  E2  24.9 10 18 eV
da notare come al crescere delle dimensioni della buca di potenziale il livello fondamentale diminuisca ed i
livelli eccitati siano sempre piu’ ravvicinati tra loro
infine se la massa delle particelle confinate nella buca fosse via via maggiore, per es. se nella buca vi fosse
un protone al posto di un elettrone , si avrebbe :
o
se a  30 cm  3 10 A e m  massa del protone  0.938 GeV
 2 2c 2
9.869  (1.973) 2
 24
 21
9
E1 
2 2
2me c a

2  0.938 10  (3 10 )
6
9 2
 2.28 10
KeV  2.28 10
eV
chiaramente al crescere della massa della particella l’effetto di quantizzazione e’ sempre meno
evidente.
riprendendiamo in esame l’esempio dell’elettrone in una buca di potenziale macroscopica
fornendolo ora di una certa energia e domandiamoci a quale livello eccitato si portera’
l’elettrone.
o
se a  30 cm  3 10 A
9
E1 
 2 2c 2
2me c 2 a 2
 4.18 10 18 eV
consideriamo di inserire un elettrone nella buca di potenziale fornendolo di una certa di energia . Per
es. 1 eV.
a quale livello eccitato dell’elettrone corrispondera’ questo valore ? Ossia a quale numero quantico n ?
dalla :
n 2 2 2 n 2 2 2c 2
En 

2
2me a
2me c 2 a 2
2me c 2 a 2 En
n
 2 2c 2
se En=1 eV = 10-3 KeV
2  511 (3 109 ) 2 103
8
n

4
.
89

10
9.869  (1.973) 2
n e’ evidentemente un numero enorme !
l’energia dell’elettrone deve essere quantizzata e ci si puo’ domandare quale sarebbe il
minimo salto di livello quantico verso il basso ? Corrisponderebbe alla minima diminuzione di
livello energetico ossia al passaggio allo stato caratterizzato dal numero quantico n-1
il salto quantico relativo , cioe’ (Efinale –E iniziale )/Einiziale sarebbe dell’ordine di
(n  1) 2  n 2
2 1
2
9






4

10
n2
n n2
n
ossia di una frazione infinitesima dell’energia dell’elettrone che pure era veramente piccola.
difficile evidenziare gli effetti della quantizzazione in questi casi.