PER ANDARE AVANTI
FAI UN CLIC CON IL TASTO SINISTRO DEL MOUSE
Osserva i solidi geometrici disegnati
sfera
POLIEDRI
Se consideriamo le loro facce
•alcuni solidi sono limitati da SUPERFICI PIANE
•alcuni da SUPERFICI PIANE e da SUPERFICI CURVE
•uno di essi da una sola SUPERFICIE CURVA : la sfera
Circondiamo con una linea rossa tutti i solidi delimitati solamente da facce piane.
Abbiamo formato l’insieme dei POLIEDRI
I POLIEDRI
PRISMI
Possiamo distinguere:
•Quelli che hanno una sola base di appoggio: le PIRAMIDI
•Quelli che hanno due basi di appoggio CONGRURENTI e PARALLELE
Circondiamo con una linea rossa tutti i poliedri che hanno
due basi congruenti e parallele.
Abbiamo formato l’insieme dei PRISMI
I PRISMI
PARALLELEPIPEDI
Circondiamo con una linea rossa tutti i prismi che hanno per basi dei parallelogrammi
Abbiamo formato l’insieme dei PARALLELEPIPEDI
RIASSUMIAMO CON IL DIAGRAMMA AD ALBERO
SOLIDI GEOMETRICI
POLIEDRI
PIRAMIDI
NON POLIEDRI
PRISMI
PARALLELEPIPEDI
CUBO
I solidi
Un solido è una parte di spazio delimitata
da una superficie chiusa.
I solidi delimitati da
poligoni vengono
chiamati poliedri.
I solidi che hanno superfici
curve vengono chiamati
solidi rotondi.
I poliedri
Si dice poliedro un solido delimitato
da poligoni, situati su piani diversi e
disposti in modo che ognuno dei lati
sia comune a due di essi.
I poligoni si dicono
facce del poliedro;
i loro lati si dicono
spigoli del poliedro.
i loro vertici si dicono
vertici del poliedro;
due facce
con uno
spigolo
comune si
dicono facce
adiacenti.
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
/1
5
1. I POLIEDRI
DEFINIZIONE
Poliedro
Un poliedro è una figura solida limitata da un
numero finito di poligoni appartenenti a piani
diversi e tali che il piano di ogni poligono non
attraversi il solido.
Prisma
La distanza fra il vertice (o la base superiore) e
il piano della base (inferiore) si chiama altezza.
L’altezza delle facce laterali di una piramide
retta è detta apotema.
Piramide
Copyright © 2011 Zanichelli editore
Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
2. POLIEDRI REGOLARI E SOLIDI DI ROTAZIONE /1
5
DEFINIZIONE
Poliedro regolare
Un poliedro si dice regolare quando
le sue facce sono poligoni regolari
congruenti e anche i suoi angoloidi
e i suoi diedri sono congruenti
DEFINIZIONE
Solido di rotazione
Si chiama solido di rotazione un solido
generato dalla rotazione di una figura
piana intorno a una retta r
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Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
Relazione di Eulero per i poliedri
Osserviamo il poliedro della figura a fianco.
Indichiamo con:
• V il numero dei vertici
• F il numero delle facce
• S il numero degli spigoli
Osserviamo che per tutti i poliedri vale la seguente relazione:
RELAZIONE DI EULERO
V+F−S=2
o anche V + F = S + 2
Alcuni esempi
• Quanti spigoli ha il poliedro a fianco?
I vertici sono 12 e le facce 8.
Sostituiamo i numeri che conosciamo
nella relazione di Eulero:
V+F=S+2
12 + 8 = S + 2
Il numero degli spigoli è:
S = 12 + 8 − 2 = 18
Prova tu
• Quanti spigoli ha un poliedro con
6 facce e 8 vertici?
…………………………….
V+F=S+2
S=V+F−2
S = 8 + 6 − 2 = 12
Il poliedro ha 12 spigoli
I prismi
Si chiama prisma un
poliedro delimitato da
due poligoni congruenti,
detti basi, situati su piani
paralleli e da tanti
parallelogrammi quanti
sono i lati di ciascuno
dei due poligoni.
Un prisma prende
il nome dal
numero dei lati
del poligono
di base.
TRIANGOLARE
QUADRANGOLARE
PENTAGONALE
I prismi retti
Un prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono
perpendicolari ai piani delle basi.
Un prisma si dice regolare se è retto
e ha per basi due poligoni regolari.
QUADRATO
TRIANGOLO
EQUILATERO
ESAGONO
REGOLARE
Apriamo… un prisma
Consideriamo il modello in cartone di
un prisma retto a base triangolare.
Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in
modo da poterlo distendere su un piano,
otteniamo una figura piana che si chiama
sviluppo della superficie del prisma.
La superficie di tutte le facce
di un solido è detta
superficie totale, mentre
quella delle sole facce laterali
è detta superficie laterale.
Alcuni esempi
Il solido P è un prisma quadrangolare
regolare, quindi è retto, le facce laterali
sono 4 rettangoli R congruenti e le
sue basi sono due quadrati Q congruenti.
P
Qui sotto è disegnato lo sviluppo della
superficie del solido P.
Prova tu
Disegna lo sviluppo della superficie
di un prisma triangolare regolare.
Le piramidi
Si dice piramide un
poliedro limitato da un
poligono qualunque,
detto base, e da tanti
triangoli quanti sono i
lati del poligono, aventi
tutti un vertice comune.
faccia
laterale
Una piramide
prende il nome dal
numero di lati del
poligono di base.
PIRAMIDE
PIRAMIDE
PIRAMIDE
TRIANGOLARE
QUADRANGOLARE
PENTAGONALE
Piramidi rette e regolari
Una piramide si dice retta se ha per
base un poligono circoscrittibile
a una circonferenza, il cui centro
coincide con il piede dell’altezza.
Una piramide si dice regolare
se è retta e se ha per base
un poligono regolare.
QUADRATO
TRIANGOLO
EQUILATERO
PENTAGONO
REGOLARE
Alcuni esempi
Il solido P è una piramide quadrangolare
regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza
coincide con il centro della circonferenza
inscritta nel poligono di base.
Le sue facce laterali sono
quattro triangoli T isosceli congruenti,
la sua base è un quadrato Q.
Prova tu
• Quante sono le facce laterali di una piramide regolare
esagonale? ……. 6
Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati?
…………………….. isoscele
Poliedri regolari
Un poliedro si dice regolare se: tutte le sue facce
sono poligoni regolari congruenti; tutti gli angoli diedri,
formati da facce adiacenti, sono congruenti.
Tetraedro regolare
4 facce
(triangoli equilateri)
4 vertici, 6 spigoli
Dodecaedro regolare
12 facce (pentagoni regolari)
20 vertici, 30 spigoli
Cubo
(esaedro regolare)
6 facce (quadrati)
8 vertici, 12 spigoli
Ottaedro regolare
8 facce
(triangoli equilateri)
6 vertici, 12 spigoli
Icosaedro regolare
20 facce (triangoli equilateri)
12 vertici, 30 spigoli
Esercitati
solido
• Un poliedro è un ......................... delimitato da
poligoni
piani
........................ posti in .............. diversi e disposti in modo
due
che ognuno dei lati sia comune a .................
di essi.
vertici
Indicando con V il numero di .......................,
con F quello
spigoli
facce
delle ........................ e con S quello degli ......................., la
relazione di Eulero stabilisce che: V + F − S = ....... 2
• Osserva la figura del poliedro
e inserisci i nomi che indicano
le sue parti.
Determina il numero di spigoli,
vertici e facce del poliedro in
figura e verifica per questo la
relazione di Eulero.
vertice
spigolo
S = 12
V=6
F=8
6 + 8 − 12 = 2
faccia
Esercitati
• Collega il nome dei solidi con la loro definizione e con il loro sviluppo.
2), b)
3), a)
1), c)
Esercitati
• Completa scegliendo tra i termini e i simboli regolare, retta,
poligono circoscrivibile, poligono regolare.
retta
Una piramide si dice ................ se ha per base un ................
poligono circoscrivibile
..................................... e il piede dell’altezza coincide
con il centro della circonferenza circoscritta.
retta
regolare
Una piramide si dice ...................... se è ............. e ha per
poligono regolare
base un .................................
• Traccia le altezze delle seguenti piramidi e stabilisci quale
delle tre è regolare e quale è retta:
…………..
retta
…………..
regolare
…………..
I solidi rotondi
Alcuni solidi hanno una caratteristica forma “rotonda” e la
loro superficie non è costituita da poligoni. Per esempio:
CILINDRI
Facendo ruotare di 360° una
figura piana intorno a una
retta (detta asse di rotazione)
otteniamo i solidi di rotazione.
Non tutti i solidi rotondi sono
solidi di rotazione.
CONO
SFERA
Solidi di rotazione
Ruotando di 360° un
rettangolo attorno a un
suo lato, si genera un
cilindro retto.
Ruotando di 360° un
triangolo rettangolo attorno
a uno dei suoi cateti, si
genera un cono retto.
Ruotando di 360° un
semicerchio attorno
al suo diametro, si
genera una sfera.
Apriamo… un solido di rotazione
È sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie
di un cilindro o di un cono.
CILINDRO
RETTO
CONO
RETTO
Esercitati
• Collega il nome dei diversi solidi con la figura piana che li genera
(ruotando di 360° attorno a un proprio lato) e con l’opportuno sviluppo
della superficie. Perché gli sviluppi delle superfici sono soltanto 2?
1), b)
3),a)
2)
SOLIDI DI ROTAZIONE
SI OTTENGONO FACENDO RUOTARE UN
POLIGONO, PER 3600, INTORNO AD UN SUO
LATO
UN RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UNA
DIMENSIONE
CILINDRO RETTO
ASSE DI ROTAZIONE
RAGGIO DI BASE
UN TRIANGOLO RETTANGOLO RUOTA
INTORNO AD UN CATETO
CONO
APOTEMA
ASSE DI
ROTAZIONE
RAGGIO
DI BASE
QUALI POLIGONI HANNO GENERATO QUESTI SOLIDI DI
ROTAZIONE?
INTORNO A QUALE LATO E’ AVVENUTA LA ROTAZIONE?
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
I SOLIDI
/1
5
4. CALCOLO DELLE AREE
DEFINIZIONE
Superficie di un poliedro
La superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce.
Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale:
Al = 2p . h
Ricordiamo che alla superficie laterale va
aggiunta la superficie delle basi.
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Al = π . r . a
5. CALCOLO DEI VOLUMI
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
/1
5
TEOREMA
TEOREMA
TEOREMA
Volume del cubo
Volume del prisma
Volume del cilindro
La misura del volume del La misura del volume del
La misura del volume del
Vediamo
che,
in
generale,
il
volume
delle
tre
figure
può
essere
espresso
come prodotto
cubo è uguale alla misura del prisma è uguale al prodotto
cilindro
è uguale
ap prodotto
tra
superficie
l’altezza.
suo l’area
spigolodella
elevato
alla terzadi base
dellaemisura
dell’area di base
dell’area del cerchio di base per
potenza:
per la misura dell’altezza:
la misura dell’altezza:
3
.
V=a
V = Ab h
V =π .r2 . h
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LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
I SOLIDI
5. CALCOLO DEI VOLUMI
/1
5
Volume della piramide e volume del cono.
La piramide e il cono sono equivalenti, rispettivamente, alla terza parte di un prisma o di
un cilindro di base equivalente. Quindi:
TEOREMA
Volume della piramide
La misura del volume di una piramide è uguale alla
terza parte del prodotto della misura dell’area di base
per la misura dell’altezza: V =⅓.Ab . h
TEOREMA
Volume del cono
La misura del volume di un cono è uguale
alla terza parte del prodotto della misura
dell’area del cerchio per la misura
dell’altezza.
V =⅓.Ab . h
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Al = Pb x h
Ac
C
Al
Al = C x h
Al = 2πrh
Ab
Pb = C
At = Al + 2Ab
At = 2πrh + 2πr2
Area
cerchio
Superficie del cilindro
At = 2πr x ( r + h )
apotema
Al = pb x a
2
Al
Al = 2πra
2
Ab
Pb = C
At = Al + Ab
Al = πra
At = πra + πr2
Superficie del cono
At = πr x ( a + r )
1
2
3
h1 = h2 = h3
Ab1 = Ab2 =Ab3
V1 = V2 = V3
VOLUME DEL CILINDRO
V = Ac x h
V = πr2h
volume del cilindro
Volume del cono
1
2
h1 = h2
Ab1 = Ab2
V1 = V2
VOLUME DEL
CONO
V = πr2 x h
3
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
/1
5
3. LA SFERA
La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio
attorno al suo diametro…
… ma, aumentando il numero di lati delle
facce di un poliedro regolare, si approssima
sempre meglio una sfera…
Quindi, la sfera è un solido di rotazione o un
poliedro?
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4. CALCOLO DELLE AREE
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
Area della sfera.
La misura dell’area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo
cerchio massimo:
Ssfera = 4 π r2
Riscrivendo l’espressione della superficie sferica
come Ssfera=2πr . 2r, troviamo che la superficie di
una sfera è equivalente alla superficie laterale
del suo cilindro circoscritto.
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5
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
I SOLIDI
5. CALCOLO DEI VOLUMI
TEOREMA
Volume della sfera
La misura del volume di una sfera è uguale al prodotto di (4/3 π) per
la misura del raggio della sfera elevaro al cubo: V =4/3 . π. r3
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5. CALCOLO DEI VOLUMI
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