Indici di posizione
Dove si trova la distribuzione?
Qual è l’ordine di grandezza
dei dati?
x
La media aritmetica
X assume n valori
x1, x2, …, xn
1
1 n
x   x1  x2    xn    xi
n
n i1
La media indica qual è l’ordine di
grandezza dei dati
Esempio 3.1a
Tabella 2.10 – Consumi alimentari pro-capite
(consumo annuo in chilogrammi) 1992-93.
Burro
Belgio
7
Danimarca
3
Germania
7
Grecia
1
Spagna
1
Francia
9
Irlanda
3
Italia
2
Paesi Bassi
3
Portogallo
1
Regno Unito
3
Finlandia
6
Austria
4
Svezia
2
Norvegia
2
Svizzera
6
Consumo medio di burro
1
x  7  3  7  1  1  9  3  2 
16
3  1  3  6  4  2  2  6
60

 3.75.
16
Esempio 3.1b:
In una test di apprendimento
le risposte sono state
codificate 0 o 1 a seconda
che siano errate oppure
esatte.
1–0–0–1–1–1–1–1–0–1
– 0 – 1 – 1 – 1 – 0 – 0 -1
La media aritmetica, pari a
11/17, rappresenta la
proporzione di risposte
esatte e si definisce “indice
di difficoltà dell’item”
Media
da distribuzione di frequenza
X assume
k valori
x1, x2, …, xk
con frequenze n1, n2, …, nk
1 k
x   xi ni
n i1
Ciascuna osservazione è ponderata
per la frequenza corrispondente
Esempio 3.2
Tabella 3.1 –
Anni impiegati per laurearsi.
xi
ni
xi ni
4
2
42
5
21
521
6
51
651
7
58
758
8
46
846
9
7
97
11
1
111
15
1
151
187
1282
1
x
 4  2  5  21  6  51  7  58
187
8  46  9  7  11 1  15  1  6.86
Tempo medio: 6 anni, 10 mesi e 10 giorni
Media da distribuzione di
frequenza relativa
X assume
k valori
x1, x2, …, xk
con frequenze f1, f2, …, fk
k
1 k
ni
x   xi ni   xi
n i1
n
i1
k
x   xi fi
i1
Esempio 3.2 – media da distribuzione di
frequenze relative
Tabella 3.1 –
Anni impiegati per laurearsi.
xi
ni
fi
4
2
0.0107
5
21
0.1123
6
51
0.2727
7
58
0.3102
8
46
0.2460
9
7
0.0374
11
1
0.00535
15
1
0.00535
187
x  4  0.0107  5  0.1123  6  0.2727
 7  0.3102  8  0.2460  9  0.0374
 11 0.00535  15  0.00535  6.86.
Media da dati
raggruppati in classi
o k classi
(x0 – x1), (x1 – x2), … , (xk-1 – xk)
o con frequenze n1, n2, … , nk
1) Per ogni classe di calcola il
valore centrale
x0  x1
x1  x2
xk 1  xk
x1 
, x2 
,  , xk 
2
2
2
2) Quindi si ottiene
un’approssimazione della media
x
k
1 k
xi ni   xi fi

n i1
i1
Esempio 3.3 – Media rendimenti
Tabella 3.3 – Calcolo della media per
i rendimenti dei fondi.
xi
x i ni
ni
Classi
-1.0 |– 1.0
0.0
9
0.0
1.0 |– 2.0
1.5
23
34.5
2.0 |– 3.0
2.5
24
60.0
3.0 |– 4.0
3.5
8
28.0
4.0 |– 6.0
5.0
9
45.0
6.0 |– 8.0
7.0
3
21.0
8.0 |– 10.0
9.0
3
27.0
10.0 |– 12.0
11.0
1
11.0
Totale
80
226.5
x
1 k
226.5
xi ni 
 2.831

n i1
80
x  2.834
La mediana
Def: E’ il valore centrale: divide i dati in
due parti di eguale numerosità
1.
Si ordinano i dati
x1  x(2)   x(n)
2. Si calcola la profondità della
mediana
n 1
prof(med) 
2
3. La mediana è l’osservazione
corrispondente
alla
posizione
individuata dalla profondità.
n dispari
med  x n 1 


 2 
n pari
xn /2  xn /21
med 
2
Mediana - esempi
n 1
prof(med) 
2
n dispari
med  x n 1 


 2 
n pari
xn /2  xn /21
med 
2
(4, 7, 12, 23, 61)  n=5 dispari
prof(med) = (5+1)/2=3
med = x(3) = 12
(5, 7, 12, 22, 36, 61)  n=6 pari
prof(med) = (6+1)/2=3.5
med = (x(3) + x(4))/2 = (12+22)/2=17
Esempio 3.4 – mediana cereali
Cereali
x7 
( 58, 64, 68, 70, 71, 71, 72, 74, 76, 78, 87,
103, 121 )
x  77.92
n=13
prof(med) 
13  1
7
2
Med = x(7) = 72
Esempio 3.5 – mediana consumi di carne
Carne
( 55, 61, 62, 66, 68, 75, 85, 86, 88, 91, 97,
107, 152, 231, 299, 329 )
n=16
16  1
prof(med) 
 8.5
2
Med = (x(7) + x (8))/2= (86+88)/2=87
x  122
Mediana da dati raggruppati
in classi
Tabella 2.5 – Distribuzione
rendimenti dei fondi.
Rendimento
-1.0 |– 1.0
1.0 |– 2.0
2.0 |– 3.0
3.0 |– 4.0
4.0 |– 6.0
6.0 |– 8.0
8.0 |– 10.0
10.0 |– 12.0
Totale
in classi dei
ni
9
23
24
8
9
3
3
1
80
Prof(med)=(80+1)/2=40,5
Mediana da dati raggruppati
in classi
Tabella 2.5 – Distribuzione in classi dei
rendimenti dei fondi.
Rendimento
ni
Ni
-1.0 |– 1.0
9
9
1.0 |– 2.0
23
32
2.0 |– 3.0
24
56
3.0 |– 4.0
8
64
4.0 |– 6.0
9
73
6.0 |– 8.0
3
76
8.0 |– 10.0
3
79
10.0 |– 12.0
1
80
Totale
80
Prof(med)=(80+1)/2=40,5
2.0 |- 3.0 è la classe mediana
Resistenza della media e della
mediana
Osservazione anomale: osservazione
distante dalla maggioranza degli altri
dati.
xxxxx
x
La mediana è resistente rispetto alle
osservazioni anomale
(1, 2, 3, 4, 5)  med  x  3
xxxxx
(1, 2, 3, 4, 50) 
x
med  3
x  12
N.B.
Nelle applicazioni in ambito
educativo, in cui si effettuano
valutazioni attraverso punteggi
(es. numero di risposte esatte in
prove di apprendimento), può
essere utile il confronto tra
mediana e media aritmetica,
perché è possibile dire in tal modo
se sono sopra (mediana maggiore
della media aritmetica) o sotto la
media (mediana minore della
media aritmetica) oltre il 50% dei
soggetti valutati.
La moda
Considerata una variabile statistica X che
assume
•
k valori
x1, x2, …, xk
•
con frequenze
n1, n2, …, nk
La moda è il valore che ha massima
frequenza
Tabella 3.1 – Anni impiegati per laurearsi.
moda
xi
4
5
6
7
8
9
11
15
ni
2
21
51
58
46
7
1
1
187
Moda per caratteri qualitativi
Considerato un carattere statistico che
assume
• k modalità
m1, m2, …, mk
• con frequenze
n1, n2, …, nk
La moda è la modalità che ha massima
frequenza
Telespettatori (in migliaia) delle emittenti televisive.
Emittente
Telespettatori
RAI 1
7873
moda
RAI 2
2377
RAI 3
2664
Canale 5
7665
Rete 4
2007
Italia 1
3162
La Sette
910
Altre emittenti terrestri
1857
Altre emittenti satellite
687
I quartili
I quartili dividono i dati in quattro parti
di eguale numerosità.
Q1  x 1 
Q2  med
 
4
1/4
E1
1/4
Q1
Q3  x 3 
 
4
1/4
med
1/4
Q3
Profondità del quartile
prof  med    1
prof  Q1  
2
o Ottili
o Sedicili
o etc.
E2
Esempio – quartili -cereali
Cereali
5
6
7
8
9
10
11
12
n=13
8
48
0112468
7
Med=72
prof  med   7
prof  Q1  
3
7 1
4
2
Q1=70 Q3=78
1
M
Q
E
Sintesi
72
70
58
78
121
Esempio – quartili –consumi di carne
Carne
( 55, 61, 62, 66, 68, 75, 85, 86, 88, 91, 97,
107, 152, 231, 299, 329 )
n=16
prof  Q1 
Med=85
prof  med   85
.
8.5  1


 4.5
2
66  68
Q1 
 67
2
107  152
Q3 
 129.5
2
Sintesi
M
Q
E
85
67
55
129.5
329